Страница 275 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1129. Решите уравнение:

1) $0.11x + 0.08x = 45.6$;

2) $2.9x - 1.1x = 5.04$;

3) $x - 0.64x = 2.808$;

4) $7x + 9x + 0.32 = 2.72$;

5) $5y + 7y - 0.024 = 0.204$;

6) $2.4x - 1.5x + 47 = 1919$;

7) $0.8(x - 1.9) = 0.56$;

8) $0.32(x + 1.4) = 73.6$;

9) $1.7(5x - 0.16) = 0.238$;

10) $0.8(100 - 0.04x) = 8.64$;

11) $x \div 1.15 = 0.16$;

12) $0.408 \div x = 1.7$;

13) $(x + 9.14) \div 7.2 = 5$;

14) $2.2 - x \div 0.3 = 0.13$;

15) $5.6 \div (x + 1.6) = 0.08$;

16) $5.6 \div x + 0.16 = 0.3$;

17) $4.13 - 1.7x = 4.028$;

18) $64 \div (2.4y + 19.04) = 3.2$.

1) $0,11x + 0,08x = 45,6$. Сначала сложим коэффициенты при $x$: $(0,11 + 0,08)x = 0,19x$. Уравнение примет вид $0,19x = 45,6$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,19$: $x = 45,6 / 0,19 = 4560 / 19 = 240$. Ответ: 240

2) $2,9x - 1,1x = 5,04$. Приведем подобные слагаемые в левой части: $(2,9 - 1,1)x = 1,8x$. Получаем уравнение $1,8x = 5,04$. Теперь найдем $x$: $x = 5,04 / 1,8 = 50,4 / 18 = 2,8$. Ответ: 2,8

3) $x - 0,64x = 2,808$. Упростим левую часть уравнения: $(1 - 0,64)x = 0,36x$. Получаем $0,36x = 2,808$. Найдем $x$, разделив обе части на $0,36$: $x = 2,808 / 0,36 = 280,8 / 36 = 7,8$. Ответ: 7,8

4) $7x + 9x + 0,32 = 2,72$. Сложим слагаемые с $x$: $16x + 0,32 = 2,72$. Перенесем $0,32$ в правую часть, изменив знак: $16x = 2,72 - 0,32$, что дает $16x = 2,4$. Найдем $x$: $x = 2,4 / 16 = 0,15$. Ответ: 0,15

5) $5y + 7y - 0,024 = 0,204$. Сложим слагаемые с $y$: $12y - 0,024 = 0,204$. Перенесем $-0,024$ в правую часть: $12y = 0,204 + 0,024$, что дает $12y = 0,228$. Найдем $y$: $y = 0,228 / 12 = 0,019$. Ответ: 0,019

6) $2,4x - 1,5x + 47 = 1919$. Упростим левую часть: $0,9x + 47 = 1919$. Перенесем $47$ в правую часть: $0,9x = 1919 - 47$, что дает $0,9x = 1872$. Найдем $x$: $x = 1872 / 0,9 = 18720 / 9 = 2080$. Ответ: 2080

7) $0,8(x - 1,9) = 0,56$. Разделим обе части на $0,8$: $x - 1,9 = 0,56 / 0,8 = 0,7$. Перенесем $-1,9$ в правую часть: $x = 0,7 + 1,9 = 2,6$. Ответ: 2,6

8) $0,32(x + 1,4) = 73,6$. Разделим обе части на $0,32$: $x + 1,4 = 73,6 / 0,32 = 7360 / 32 = 230$. Перенесем $1,4$ в правую часть: $x = 230 - 1,4 = 228,6$. Ответ: 228,6

9) $1,7(5x - 0,16) = 0,238$. Разделим обе части на $1,7$: $5x - 0,16 = 0,238 / 1,7 = 0,14$. Перенесем $-0,16$ в правую часть: $5x = 0,14 + 0,16$, что дает $5x = 0,3$. Найдем $x$: $x = 0,3 / 5 = 0,06$. Ответ: 0,06

10) $0,8(100 - 0,04x) = 8,64$. Разделим обе части на $0,8$: $100 - 0,04x = 8,64 / 0,8 = 10,8$. Перенесем $-0,04x$ вправо, а $10,8$ влево: $100 - 10,8 = 0,04x$, что дает $89,2 = 0,04x$. Найдем $x$: $x = 89,2 / 0,04 = 8920 / 4 = 2230$. Ответ: 2230

11) $x : 1,15 = 0,16$. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: $x = 0,16 \times 1,15 = 0,184$. Ответ: 0,184

12) $0,408 : x = 1,7$. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: $x = 0,408 / 1,7 = 4,08 / 17 = 0,24$. Ответ: 0,24

13) $(x + 9,14) : 7,2 = 5$. Найдем неизвестное делимое: $x + 9,14 = 5 \times 7,2 = 36$. Теперь найдем $x$: $x = 36 - 9,14 = 26,86$. Ответ: 26,86

14) $2,2 - x : 0,3 = 0,13$. Найдем неизвестное вычитаемое $x : 0,3$: $x : 0,3 = 2,2 - 0,13 = 2,07$. Теперь найдем неизвестное делимое $x$: $x = 2,07 \times 0,3 = 0,621$. Ответ: 0,621

15) $5,6 : (x + 1,6) = 0,08$. Найдем неизвестный делитель $(x + 1,6)$: $x + 1,6 = 5,6 / 0,08 = 560 / 8 = 70$. Теперь найдем $x$: $x = 70 - 1,6 = 68,4$. Ответ: 68,4

16) $5,6 : x + 0,16 = 0,3$. Найдем неизвестное слагаемое $5,6 : x$: $5,6 : x = 0,3 - 0,16 = 0,14$. Теперь найдем неизвестный делитель $x$: $x = 5,6 / 0,14 = 560 / 14 = 40$. Ответ: 40

17) $4,13 - 1,7x = 4,028$. Найдем неизвестное вычитаемое $1,7x$: $1,7x = 4,13 - 4,028 = 0,102$. Теперь найдем $x$: $x = 0,102 / 1,7 = 1,02 / 17 = 0,06$. Ответ: 0,06

18) $64 : (2,4y + 19,04) = 3,2$. Найдем неизвестный делитель $(2,4y + 19,04)$: $2,4y + 19,04 = 64 / 3,2 = 640 / 32 = 20$. Теперь решаем уравнение $2,4y + 19,04 = 20$. Переносим $19,04$: $2,4y = 20 - 19,04 = 0,96$. Найдем $y$: $y = 0,96 / 2,4 = 9,6 / 24 = 0,4$. Ответ: 0,4

1130.1) К какому числу надо прибавить 4,2, чтобы произведение полученной суммы и числа 0,6 было равным 19,2?

2) Из какого числа надо вычесть 9,4, чтобы произведение полученной разности и числа 0,5 было равным 0,12?

3) На какое число надо умножить 12,3, чтобы сумма полученного произведения и числа 7,9 была равна 12,82?

4) Какое удвоенное число надо вычесть из 20,04, чтобы получить 9,1?

5) Какое число надо умножить на 0,4, чтобы сумма полученного произведения и числа 3,8 была равна произведению чисел 20,5 и 4?

1)
Пусть искомое число — это $x$. По условию, произведение суммы этого числа и 4,2 на число 0,6 должно быть равно 19,2. Составим и решим уравнение:
$(x + 4,2) \cdot 0,6 = 19,2$
Сначала найдём значение суммы в скобках, разделив произведение на известный множитель:
$x + 4,2 = 19,2 : 0,6$
$x + 4,2 = 192 : 6$
$x + 4,2 = 32$
Теперь найдём неизвестное слагаемое $x$:
$x = 32 - 4,2$
$x = 27,8$
Ответ: 27,8

2)
Пусть искомое число — это $x$. По условию, произведение разности этого числа и 9,4 на число 0,5 должно быть равно 0,12. Составим и решим уравнение:
$(x - 9,4) \cdot 0,5 = 0,12$
Найдём значение разности в скобках:
$x - 9,4 = 0,12 : 0,5$
$x - 9,4 = 0,24$
Теперь найдём неизвестное уменьшаемое $x$:
$x = 0,24 + 9,4$
$x = 9,64$
Ответ: 9,64

3)
Пусть искомое число — это $x$. По условию, сумма произведения числа 12,3 на $x$ и числа 7,9 должна быть равна 12,82. Составим и решим уравнение:
$12,3 \cdot x + 7,9 = 12,82$
Найдём значение произведения $12,3 \cdot x$, которое является неизвестным слагаемым:
$12,3x = 12,82 - 7,9$
$12,3x = 4,92$
Теперь найдём неизвестный множитель $x$:
$x = 4,92 : 12,3$
$x = 49,2 : 123$
$x = 0,4$
Ответ: 0,4

4)
Пусть искомое удвоенное число — это $y$. По условию, если вычесть это число из 20,04, то получится 9,1. Составим и решим уравнение:
$20,04 - y = 9,1$
Найдём неизвестное вычитаемое $y$:
$y = 20,04 - 9,1$
$y = 10,94$
Ответ: 10,94

5)
Пусть искомое число — это $x$. По условию, сумма произведения $x$ на 0,4 и числа 3,8 равна произведению чисел 20,5 и 4. Составим и решим уравнение:
$0,4 \cdot x + 3,8 = 20,5 \cdot 4$
Сначала вычислим правую часть уравнения:
$20,5 \cdot 4 = 82$
Получаем уравнение:
$0,4x + 3,8 = 82$
Найдём неизвестное слагаемое $0,4x$:
$0,4x = 82 - 3,8$
$0,4x = 78,2$
Теперь найдём неизвестный множитель $x$:
$x = 78,2 : 0,4$
$x = 782 : 4$
$x = 195,5$
Ответ: 195,5

1131. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

1) $x \xrightarrow{\cdot 2,8} 7,28 \xrightarrow{+y} 9 \xrightarrow{:z} 0,15;$

2) $a \xrightarrow{:1,4} 2,15 \xrightarrow{-b} c \xrightarrow{\cdot 0,03} 0,054;$

3) $1,2 \xrightarrow{+x} y \xrightarrow{:0,3} z;$

$z \cdot 4,5 = 1,2$

4) $a \xrightarrow{:b} 0,32 \xrightarrow{\cdot c} 40.$

$0,32 : 0,16 = a$

1)

Чтобы найти неизвестные числа в цепочке, будем выполнять действия в прямом и обратном порядке, используя обратные операции.

Начнем с $x$. По схеме $x \cdot 2,8 = 7,28$. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$x = 7,28 : 2,8 = 2,6$

Теперь найдем $y$. По схеме $7,28 + y = 9$. Чтобы найти неизвестное слагаемое $y$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$y = 9 - 7,28 = 1,72$

Наконец, найдем $z$. По схеме $9 : z = 0,15$. Чтобы найти делитель $z$, нужно делимое разделить на частное:
$z = 9 : 0,15 = 900 : 15 = 60$

Ответ: $x = 2,6; y = 1,72; z = 60$.

2)

В этой цепочке удобно двигаться с обоих концов к середине.

Найдем $a$. По схеме $a : 1,4 = 2,15$. Чтобы найти делимое $a$, нужно частное умножить на делитель:
$a = 2,15 \cdot 1,4 = 3,01$

Теперь найдем $c$, двигаясь в обратном порядке от конца цепочки. По схеме $c \cdot 0,03 = 0,054$. Чтобы найти неизвестный множитель $c$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$c = 0,054 : 0,03 = 5,4 : 3 = 1,8$

Зная $c$, найдем $b$. По схеме $2,15 - b = c$. Подставим найденное значение $c = 1,8$: $2,15 - b = 1,8$. Чтобы найти вычитаемое $b$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$b = 2,15 - 1,8 = 0,35$

Ответ: $a = 3,01; b = 0,35; c = 1,8$.

3)

Эта задача имеет два пути вычислений. Проще всего начать с нахождения $z$ по нижней стрелке.

$z = 1,2 \cdot 4,5 = 5,4$

Теперь, зная $z$, мы можем найти $y$ из основной цепочки, двигаясь в обратном порядке. По схеме $y : 0,3 = z$. Подставляем $z = 5,4$: $y : 0,3 = 5,4$. Чтобы найти делимое $y$, нужно частное умножить на делитель:
$y = 5,4 \cdot 0,3 = 1,62$

Зная $y$, найдем $x$. По схеме $1,2 + x = y$. Подставляем $y = 1,62$: $1,2 + x = 1,62$. Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$x = 1,62 - 1,2 = 0,42$

Ответ: $x = 0,42; y = 1,62; z = 5,4$.

4)

В этой задаче также удобнее начать с вычисления по нижней стрелке.

Найдем $a$, двигаясь в обратном порядке по нижней стрелке. По схеме $a : 0,16 = 40$. Чтобы найти делимое $a$, нужно частное умножить на делитель:
$a = 40 \cdot 0,16 = 6,4$

Теперь найдем $c$ из основной цепочки, двигаясь в обратном порядке. По схеме $0,32 \cdot c = 40$. Чтобы найти неизвестный множитель $c$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$c = 40 : 0,32 = 4000 : 32 = 125$

Наконец, найдем $b$. По схеме $a : b = 0,32$. Подставим найденное значение $a = 6,4$: $6,4 : b = 0,32$. Чтобы найти делитель $b$, нужно делимое разделить на частное:
$b = 6,4 : 0,32 = 640 : 32 = 20$

Ответ: $a = 6,4; b = 20; c = 125$.

1132. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

1) $12 \cdot 0.34$ и $(12 \cdot 34) : 100$;

2) $520 \cdot 0.05$ и $(520 \cdot 5) : 10$;

3) $0.3 \cdot 0.9$ и $(3 \cdot 9) : 100$;

4) $3.648 : 0.06$ и $364.8 : 0.6$.

1) Сравним выражения $12 \cdot 0,34$ и $(12 \cdot 34) : 100$.
Чтобы умножить число на десятичную дробь, можно умножить это число на целое число, которое получится из дроби, если отбросить запятую, и в результате разделить на $10$, $100$, $1000$ и т.д. в зависимости от количества знаков после запятой в исходной дроби.
В числе $0,34$ два знака после запятой, поэтому умножение на $0,34$ равносильно умножению на $34$ и делению на $100$.
Таким образом, $12 \cdot 0,34 = (12 \cdot 34) : 100$.
Значения выражений равны.
Ответ: $12 \cdot 0,34 = (12 \cdot 34) : 100$.

2) Сравним выражения $520 \cdot 0,05$ и $(520 \cdot 5) : 10$.
Преобразуем первое выражение. Умножение на $0,05$ эквивалентно умножению на 5 и последующему делению на 100 (так как в $0,05$ два знака после запятой):
$520 \cdot 0,05 = (520 \cdot 5) : 100$.
Теперь нам нужно сравнить $(520 \cdot 5) : 100$ и $(520 \cdot 5) : 10$.
В обоих случаях мы делим одно и то же число $(520 \cdot 5)$. В первом случае мы делим его на 100, а во втором — на 10.
При делении положительного числа на большее число результат получается меньше. Так как $100 > 10$, то $(520 \cdot 5) : 100 < (520 \cdot 5) : 10$.
Ответ: $520 \cdot 0,05 < (520 \cdot 5) : 10$.

3) Сравним выражения $0,3 \cdot 0,9$ и $(3 \cdot 9) : 100$.
По правилу умножения десятичных дробей, нужно перемножить числа, не обращая внимания на запятые (т.е. $3 \cdot 9$), а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их было после запятой в обоих множителях вместе.
В множителе $0,3$ — один знак после запятой, в множителе $0,9$ — тоже один. Всего $1+1=2$ знака.
Отделить два знака запятой в произведении $3 \cdot 9$ — это то же самое, что разделить его на 100.
Следовательно, $0,3 \cdot 0,9 = (3 \cdot 9) : 100$.
Значения выражений равны.
Ответ: $0,3 \cdot 0,9 = (3 \cdot 9) : 100$.

4) Сравним выражения $3,648 : 0,06$ и $364,8 : 0,6$.
Основное свойство частного заключается в том, что оно не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Используем это свойство, чтобы избавиться от дроби в делителе.
Для первого выражения $3,648 : 0,06$, умножим делимое и делитель на 100:
$3,648 : 0,06 = (3,648 \cdot 100) : (0,06 \cdot 100) = 364,8 : 6$.
Для второго выражения $364,8 : 0,6$, умножим делимое и делитель на 10:
$364,8 : 0,6 = (364,8 \cdot 10) : (0,6 \cdot 10) = 3648 : 6$.
Теперь сравним полученные частные: $364,8 : 6$ и $3648 : 6$.
Делители у них одинаковы (6), а делимое во втором случае больше, чем в первом ($3648 > 364,8$).
Следовательно, второе частное будет больше.
$364,8 : 6 < 3648 : 6$.
Ответ: $3,648 : 0,06 < 364,8 : 0,6$.

1133. Не выполняя вычислений, укажите корень уравнения:

1) $x \cdot 0,86 = (7 \cdot 86) : 100;$

2) $2,4y = (24 \cdot 16) : 100;$

3) $(54 \cdot z) : 10 = 5,4 \cdot 6;$

4) $a : 0,35 = (7,16 \cdot 100) : 35;$

5) $b : 6,5 = 130 : 65;$

6) $46,2 : c = 0,462 : 0,0007.$

1) Исходное уравнение: $x \cdot 0,86 = (7 \cdot 86) : 100$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство деления произведения на число: $(a \cdot b) : c = a \cdot (b : c)$.
$(7 \cdot 86) : 100 = 7 \cdot (86 : 100) = 7 \cdot 0,86$.
Теперь уравнение имеет вид: $x \cdot 0,86 = 7 \cdot 0,86$.
Чтобы равенство было верным, множители при $0,86$ в левой и правой частях должны быть равны.
Следовательно, $x = 7$.
Ответ: 7.

2) Исходное уравнение: $2,4y = (24 \cdot 16) : 100$.
Преобразуем правую часть уравнения. Представим число $24$ как произведение $2,4 \cdot 10$.
$(24 \cdot 16) : 100 = (2,4 \cdot 10 \cdot 16) : 100$.
Используя сочетательное свойство умножения, перегруппируем множители:
$2,4 \cdot (10 \cdot 16) : 100 = 2,4 \cdot 160 : 100$.
Теперь применим свойство деления произведения на число: $a \cdot (b : c)$.
$2,4 \cdot (160 : 100) = 2,4 \cdot 1,6$.
Уравнение принимает вид: $2,4y = 2,4 \cdot 1,6$.
Из равенства следует, что $y = 1,6$.
Ответ: 1,6.

3) Исходное уравнение: $(54 \cdot z) : 10 = 5,4 \cdot 6$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство деления произведения на число: $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b$.
$(54 \cdot z) : 10 = (54 : 10) \cdot z = 5,4 \cdot z$.
Уравнение принимает вид: $5,4 \cdot z = 5,4 \cdot 6$.
Из равенства следует, что $z = 6$.
Ответ: 6.

4) Исходное уравнение: $a : 0,35 = (7,16 \cdot 100) : 35$.
Преобразуем правую часть уравнения. Согласно основному свойству частного, его значение не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же число. Разделим делимое и делитель на 100.
Новое делимое: $(7,16 \cdot 100) : 100 = 7,16$.
Новый делитель: $35 : 100 = 0,35$.
Таким образом, правая часть уравнения равна $7,16 : 0,35$.
Уравнение принимает вид: $a : 0,35 = 7,16 : 0,35$.
Из равенства следует, что $a = 7,16$.
Ответ: 7,16.

5) Исходное уравнение: $b : 6,5 = 130 : 65$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя основное свойство частного. Разделим делимое и делитель на 10.
Новое делимое: $130 : 10 = 13$.
Новый делитель: $65 : 10 = 6,5$.
Таким образом, правая часть уравнения равна $13 : 6,5$.
Уравнение принимает вид: $b : 6,5 = 13 : 6,5$.
Из равенства следует, что $b = 13$.
Ответ: 13.

6) Исходное уравнение: $46,2 : c = 0,462 : 0,0007$.
Это равенство двух частных (пропорция). Заметим, что делимое в левой части ($46,2$) в 100 раз больше, чем делимое в правой части ($0,462$), так как $46,2 = 0,462 \cdot 100$.
Чтобы частные были равны, делитель в левой части ($c$) также должен быть в 100 раз больше, чем делитель в правой части ($0,0007$).
Следовательно, $c = 0,0007 \cdot 100$.
$c = 0,07$.
Ответ: 0,07.