Страница 277 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1144. Два насоса одновременно выкачивали воду из бассейна. Один насос за минуту выкачивал 200 л воды, а второй — 140 л. Сколько времени работали насосы и сколько воды выкачал каждый из них, если первый насос выкачал на 210 л больше, чем второй?

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов. Сначала найдем разницу в производительности насосов, затем, используя эту разницу и известную разницу в объеме выкачанной воды, определим время работы. Наконец, зная время, рассчитаем, сколько воды выкачал каждый насос.

1. Найдем разницу в производительности (скорости выкачивания) двух насосов. Первый насос выкачивает в минуту на:

$200 \text{ л/мин} - 140 \text{ л/мин} = 60 \text{ л/мин}$

больше, чем второй. Это означает, что каждую минуту разница в объеме выкачанной воды увеличивается на 60 литров.

Сколько времени работали насосы

По условию, первый насос выкачал на 210 литров больше, чем второй. Зная, что разница в объеме увеличивается на 60 литров каждую минуту, мы можем найти общее время работы, разделив общую разницу в объеме на разницу в производительности:

$t = \frac{210 \text{ л}}{60 \text{ л/мин}} = 3.5 \text{ мин}$

Таким образом, насосы работали 3,5 минуты (или 3 минуты 30 секунд).

Ответ: насосы работали 3,5 минуты.

Сколько воды выкачал каждый из них

Теперь, когда мы знаем время работы, мы можем рассчитать, какой объем воды выкачал каждый насос. Для этого умножим производительность каждого насоса на время их работы.

Объем воды, выкачанный первым насосом:

$V_1 = 200 \text{ л/мин} \times 3.5 \text{ мин} = 700 \text{ л}$

Объем воды, выкачанный вторым насосом:

$V_2 = 140 \text{ л/мин} \times 3.5 \text{ мин} = 490 \text{ л}$

Для проверки можно вычесть объемы: $700 \text{ л} - 490 \text{ л} = 210 \text{ л}$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: первый насос выкачал 700 л воды, а второй — 490 л.

1145. Масса ведра с водой равна 12,5 кг. Когда из ведра вылили половину воды, то масса ведра с водой стала 7 кг. Какова масса пустого ведра?

Для того чтобы найти массу пустого ведра, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислим массу воды, которую вылили из ведра. Эта масса равна разнице между массой ведра с полным объемом воды и массой ведра с половиной объема воды:

$12,5 - 7 = 5,5$ кг

2. Так как вылили половину воды, то масса 5,5 кг — это масса половины всей воды в ведре. Следовательно, общая масса всей воды в полном ведре будет в два раза больше:

$5,5 \times 2 = 11$ кг

3. Теперь, зная общую массу ведра с водой (12,5 кг) и массу всей воды (11 кг), можно найти массу пустого ведра. Для этого из общей массы вычтем массу воды:

$12,5 - 11 = 1,5$ кг

Ответ: 1,5 кг.

1146. У принцессы Моды было 30 платьев и 24 маскарадных костюма, на пошив которых пошло 163,5 м ткани. На каждое платье потратили на 0,5 м ткани больше, чем на каждый костюм. Сколько ткани пошло на одно платье и сколько — на один костюм?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество ткани в метрах, которое пошло на пошив одного маскарадного костюма.

Из условия известно, что на каждое платье потратили на 0,5 м ткани больше, чем на костюм. Следовательно, на пошив одного платья ушло $(x + 0,5)$ м ткани.

Всего у принцессы было 30 платьев и 24 маскарадных костюма. Общий расход ткани на все платья можно выразить как $30 \cdot (x + 0,5)$ м, а на все костюмы — как $24 \cdot x$ м.

Суммарно на все изделия пошло 163,5 м ткани. Составим и решим уравнение:
$30 \cdot (x + 0,5) + 24x = 163,5$
Раскроем скобки:
$30x + 30 \cdot 0,5 + 24x = 163,5$
$30x + 15 + 24x = 163,5$
Приведем подобные слагаемые:
$54x + 15 = 163,5$
Перенесем 15 в правую часть уравнения:
$54x = 163,5 - 15$
$54x = 148,5$
Найдем $x$:
$x = 148,5 \div 54$
$x = 2,75$

Таким образом, на один маскарадный костюм пошло 2,75 м ткани.

Теперь найдем, сколько ткани пошло на одно платье, прибавив 0,5 м:
$2,75 + 0,5 = 3,25$ м.

Ответ: на одно платье пошло 3,25 м ткани, а на один костюм — 2,75 м ткани.

1147.В кладовой было 15 ящиков и 12 корзин, в которых хранилось 576 кг яблок, причём в каждом ящике было на 6 кг яблок больше, чем в каждой корзине. Сколько килограммов яблок было в каждом ящике и сколько — в каждой корзине?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество килограммов яблок в каждой корзине.

По условию, в каждом ящике было на 6 кг яблок больше, чем в каждой корзине. Следовательно, в каждом ящике было $(x + 6)$ кг яблок.

Всего было 15 ящиков, значит, общий вес яблок в ящиках составляет $15 \cdot (x + 6)$ кг.

Всего было 12 корзин, значит, общий вес яблок в корзинах составляет $12 \cdot x$ кг.

Общий вес яблок в кладовой — 576 кг. Можем составить уравнение, сложив вес яблок в ящиках и в корзинах:

$15 \cdot (x + 6) + 12x = 576$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$15x + 15 \cdot 6 + 12x = 576$

$15x + 90 + 12x = 576$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(15x + 12x) + 90 = 576$

$27x + 90 = 576$

Перенесем 90 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$27x = 576 - 90$

$27x = 486$

Найдем $x$:

$x = \frac{486}{27}$

$x = 18$

Таким образом, в каждой корзине было 18 кг яблок.

Теперь найдем, сколько килограммов яблок было в каждом ящике:

$x + 6 = 18 + 6 = 24$ кг.

Проверим полученные результаты:

$15 \text{ ящиков} \cdot 24 \text{ кг/ящик} + 12 \text{ корзин} \cdot 18 \text{ кг/корзину} = 360 \text{ кг} + 216 \text{ кг} = 576 \text{ кг}$.

Общий вес совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: в каждом ящике было 24 кг яблок, а в каждой корзине — 18 кг.

1148. За завтраком медведь Михайло Потапыч съел 7,5 кг мёда, за обедом — в 1,2 раза больше, чем за завтраком, а за ужином — 0,8 того, что съел за обедом. Сколько килограммов мёда съел Михайло Потапыч за день?

Для того чтобы узнать, сколько всего мёда съел Михайло Потапыч за день, необходимо последовательно выполнить несколько действий.

1. Вычислим, сколько мёда медведь съел за обедом.

По условию задачи, за обедом он съел в 1,2 раза больше, чем за завтраком (7,5 кг). Чтобы найти это количество, нужно умножить вес мёда, съеденного за завтраком, на 1,2:

$7,5 \cdot 1,2 = 9$ (кг)

Таким образом, за обедом Михайло Потапыч съел 9 кг мёда.

2. Вычислим, сколько мёда медведь съел за ужином.

За ужином он съел 0,8 от количества, съеденного за обедом. Мы уже знаем, что за обедом он съел 9 кг. Теперь умножим это значение на 0,8:

$9 \cdot 0,8 = 7,2$ (кг)

Следовательно, за ужином было съедено 7,2 кг мёда.

3. Найдем общее количество мёда, съеденного за весь день.

Для этого нужно сложить массу мёда, съеденного за завтраком, обедом и ужином:

$7,5 \text{ (завтрак)} + 9 \text{ (обед)} + 7,2 \text{ (ужин)} = 23,7$ (кг)

Ответ: 23,7 кг.

1149.1) Автомобиль преодолевает расстояние между двумя городами за $3,6 \text{ ч}$, если двигается со скоростью $62,5 \text{ км/ч}$. С какой скоростью он должен двигаться, чтобы преодолеть это расстояние за $3 \text{ ч}$?

2) Поезд проходит расстояние между двумя станциями за $4,2 \text{ ч}$, двигаясь со скоростью $54 \text{ км/ч}$. За какое время он пройдёт это расстояние, если будет двигаться со скоростью $63 \text{ км/ч}$?

1)

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия. Сначала мы найдем расстояние между городами, а затем рассчитаем новую скорость.

1. Найдем расстояние $S$ между городами. Для этого умножим известную скорость $v_1$ на время в пути $t_1$:
$v_1 = 62,5$ км/ч
$t_1 = 3,6$ ч
$S = v_1 \times t_1 = 62,5 \times 3,6 = 225$ км.

2. Теперь, зная расстояние, найдем скорость $v_2$, с которой автомобиль должен двигаться, чтобы преодолеть это расстояние за новое время $t_2 = 3$ ч. Для этого разделим расстояние $S$ на новое время $t_2$:
$S = 225$ км
$t_2 = 3$ ч
$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{225}{3} = 75$ км/ч.

Ответ: 75 км/ч.

2)

Данная задача также решается в два действия. Сначала мы вычисляем расстояние между станциями, а затем находим новое время в пути.

1. Найдем расстояние $S$ между станциями, умножив скорость поезда $v_1$ на время в пути $t_1$:
$v_1 = 54$ км/ч
$t_1 = 4,2$ ч
$S = v_1 \times t_1 = 54 \times 4,2 = 226,8$ км.

2. Теперь найдем время $t_2$, за которое поезд пройдет это расстояние с новой скоростью $v_2 = 63$ км/ч. Для этого разделим расстояние $S$ на новую скорость $v_2$:
$S = 226,8$ км
$v_2 = 63$ км/ч
$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{226,8}{63} = 3,6$ ч.

Ответ: 3,6 ч.

1150. От двух станций навстречу друг другу одновременно отправились два поезда. Один поезд проходил 14,7 км за каждые $\frac{1}{4}$ ч, а второй — 22,4 км за $\frac{1}{3}$ ч. Через сколько часов после начала движения расстояние между поездами будет 37,8 км, если расстояние между станциями равно 138,6 км?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость первого поезда

Скорость — это отношение расстояния ко времени. Первый поезд проходил $14,7$ км за $\frac{1}{4}$ часа. Чтобы найти его скорость ($v_1$), разделим расстояние на время:

$v_1 = 14,7 \div \frac{1}{4} = 14,7 \times 4 = 58,8$ км/ч.

2. Найдем скорость второго поезда

Второй поезд проходил $22,4$ км за $\frac{1}{3}$ часа. Его скорость ($v_2$) вычисляется аналогично:

$v_2 = 22,4 \div \frac{1}{3} = 22,4 \times 3 = 67,2$ км/ч.

3. Найдем скорость сближения поездов

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 58,8 + 67,2 = 126$ км/ч.

4. Найдем расстояние, которое поезда должны проехать вместе

Изначальное расстояние между станциями составляет $138,6$ км. Чтобы расстояние между поездами стало $37,8$ км, они должны вместе преодолеть разницу между начальным и конечным расстояниями:

$S_{пройд} = 138,6 - 37,8 = 100,8$ км.

5. Найдем время движения

Чтобы найти время ($t$), за которое поезда проедут необходимое расстояние, разделим это расстояние на скорость сближения:

$t = S_{пройд} \div v_{сбл} = 100,8 \div 126 = 0,8$ ч.

Ответ: через $0,8$ часа после начала движения расстояние между поездами будет $37,8$ км.

1151. Из одного пункта в одном направлении одновременно вышли два пешехода. Один идёт со скоростью 5,2 км/ч, а второй — 4,3 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 ч после начала движения?

Данную задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Вычисление расстояния для каждого пешехода

В этом способе мы сначала рассчитаем, какое расстояние прошел каждый пешеход за указанное время, а затем найдем разницу между этими расстояниями.

1. Найдем расстояние $S_1$, которое прошел первый пешеход со скоростью $v_1 = 5,2$ км/ч за время $t = 4$ ч:
$S_1 = v_1 \times t = 5,2 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 20,8 \text{ км}$.

2. Найдем расстояние $S_2$, которое прошел второй пешеход со скоростью $v_2 = 4,3$ км/ч за то же время $t = 4$ ч:
$S_2 = v_2 \times t = 4,3 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 17,2 \text{ км}$.

3. Поскольку пешеходы вышли из одного пункта и двигались в одном направлении, расстояние между ними будет равно разности пройденных ими путей:
$S = S_1 - S_2 = 20,8 \text{ км} - 17,2 \text{ км} = 3,6 \text{ км}$.

Способ 2: Использование скорости удаления

Этот способ заключается в том, чтобы найти относительную скорость, с которой пешеходы отдаляются друг от друга (скорость удаления).

1. Так как пешеходы движутся в одном направлении, скорость их удаления $v_{уд}$ равна разности их скоростей:
$v_{уд} = v_1 - v_2 = 5,2 \text{ км/ч} - 4,3 \text{ км/ч} = 0,9 \text{ км/ч}$.
Это значит, что каждый час расстояние между ними увеличивается на 0,9 км.

2. Теперь найдем расстояние $S$ между пешеходами через 4 часа, умножив скорость удаления на время:
$S = v_{уд} \times t = 0,9 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 3,6 \text{ км}$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: через 4 ч после начала движения расстояние между пешеходами будет 3,6 км.

1152. Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали автомобиль и автобус. Автомобиль двигался со скоростью 72 км/ч, а автобус — со скоростью 64 км/ч. Через сколько часов после начала движения расстояние между автомобилем и автобусом будет 52 км?

Для решения данной задачи необходимо найти скорость, с которой автомобиль удаляется от автобуса (скорость удаления). Поскольку они движутся в одном направлении, скорость удаления будет равна разности их скоростей.

1. Найдём скорость удаления.Скорость автомобиля $v_1 = 72$ км/ч.Скорость автобуса $v_2 = 64$ км/ч.Скорость удаления $v_{уд}$ вычисляется по формуле:$v_{уд} = v_1 - v_2 = 72 - 64 = 8$ (км/ч).

Это значит, что каждый час расстояние между автомобилем и автобусом увеличивается на 8 километров.

2. Теперь найдём время, через которое расстояние между ними составит 52 км. Для этого нужно разделить требуемое расстояние $S$ на скорость удаления $v_{уд}$:$t = \frac{S}{v_{уд}}$$t = \frac{52}{8} = 6,5$ (ч).

Можно перевести 0,5 часа в минуты: $0,5 \text{ ч} \cdot 60 \text{ мин/ч} = 30$ минут. Таким образом, время составит 6 часов 30 минут.

Ответ: 6,5 ч.