Страница 276 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1134. Найдите все натуральные значения $x$, при которых верно неравенство:

1) $2,4 < x < 6;$

2) $3,2 < x < 8;$

3) $7,5 < x < 11,1;$

4) $9 < x < 14;$

5) $11 < x < 13;$

6) $1,2 < x < 1,9;$

7) $0,72 < x < 3,07;$

8) $7 \frac{4}{9} < x < 10,1.$

1) Дано неравенство $2,4 < x < 6$. Нам нужно найти все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют этому условию. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).
Натуральные числа, которые больше 2,4, — это 3, 4, 5 и так далее.
Натуральные числа, которые меньше 6, — это 1, 2, 3, 4, 5.
Объединяя эти два условия, получаем, что искомые значения $x$ — это 3, 4, 5.
Ответ: 3, 4, 5.

2) Дано неравенство $3,2 < x < 8$. Ищем натуральные числа $x$ в этом интервале.
Натуральные числа, которые больше 3,2, — это 4, 5, 6, 7 и так далее.
Натуральные числа, которые меньше 8, — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Натуральные числа, удовлетворяющие обоим условиям, — это 4, 5, 6, 7.
Ответ: 4, 5, 6, 7.

3) Дано неравенство $7,5 < x < 11,1$. Ищем натуральные числа $x$ в этом интервале.
Натуральные числа, которые больше 7,5, — это 8, 9, 10, 11 и так далее.
Натуральные числа, которые меньше 11,1, — это 1, 2, ..., 10, 11.
Натуральные числа, удовлетворяющие обоим условиям, — это 8, 9, 10, 11.
Ответ: 8, 9, 10, 11.

4) Дано неравенство $9 < x < 14$. Ищем натуральные числа $x$ в этом интервале.
Натуральные числа, которые больше 9, — это 10, 11, 12, 13 и так далее.
Натуральные числа, которые меньше 14, — это 1, 2, ..., 12, 13.
Натуральные числа, удовлетворяющие обоим условиям, — это 10, 11, 12, 13.
Ответ: 10, 11, 12, 13.

5) Дано неравенство $11 < x < 13$. Ищем натуральные числа $x$ в этом интервале.
Единственное натуральное число, которое больше 11 и меньше 13, — это 12.
Ответ: 12.

6) Дано неравенство $1,2 < x < 1,9$. Ищем натуральные числа $x$ в этом интервале.
Первое натуральное число, большее 1,2, это 2. Однако 2 не меньше 1,9.
Следовательно, в данном интервале нет натуральных чисел, удовлетворяющих условию.
Ответ: таких значений нет.

7) Дано неравенство $0,72 < x < 3,07$. Ищем натуральные числа $x$ в этом интервале.
Натуральные числа, которые больше 0,72, — это 1, 2, 3 и так далее.
Натуральные числа, которые меньше 3,07, — это 1, 2, 3.
Натуральные числа, удовлетворяющие обоим условиям, — это 1, 2, 3.
Ответ: 1, 2, 3.

8) Дано неравенство $7\frac{4}{9} < x < 10,1$. Ищем натуральные числа $x$ в этом интервале.
Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную для удобства: $7\frac{4}{9} = 7 + 4 \div 9 = 7,444...$
Таким образом, неравенство принимает вид $7,444... < x < 10,1$.
Натуральные числа, которые больше 7,444..., — это 8, 9, 10 и так далее.
Натуральные числа, которые меньше 10,1, — это 1, 2, ..., 9, 10.
Натуральные числа, удовлетворяющие обоим условиям, — это 8, 9, 10.
Ответ: 8, 9, 10.

1135. Найдите наибольшее натуральное значение $x$, при котором будет верным неравенство:

1) $3x < 19,4;$

2) $5x < 32,6.$

1)

Нам нужно найти наибольшее натуральное значение $x$, при котором верно неравенство $3x < 19,4$.

Для этого решим неравенство относительно $x$. Разделим обе части неравенства на 3:

$x < \frac{19,4}{3}$

Вычислим значение дроби:

$19,4 : 3 = 6,4666...$

Получаем неравенство:

$x < 6,4(6)$

По условию, $x$ должно быть натуральным числом, то есть целым и положительным. Натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству, это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наибольшее из них — 6.

Ответ: 6

2)

Нам нужно найти наибольшее натуральное значение $x$, при котором верно неравенство $5x < 32,6$.

Решим неравенство относительно $x$, разделив обе части на 5:

$x < \frac{32,6}{5}$

Вычислим значение дроби:

$32,6 : 5 = 6,52$

Получаем неравенство:

$x < 6,52$

$x$ должно быть натуральным числом. Натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству, это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наибольшее из них — 6.

Ответ: 6

1136. Найдите наименьшее натуральное значение $x$, при котором будет верным неравенство:

1) $4x > 14$;

2) $7x > 40 \frac{7}{9}$.

1) Чтобы найти наименьшее натуральное значение $x$, решим неравенство $4x > 14$.

Для этого разделим обе части неравенства на 4:

$x > \frac{14}{4}$

Сократим дробь и преобразуем ее в десятичную:

$x > \frac{7}{2}$

$x > 3,5$

Нам нужно найти наименьшее натуральное (целое положительное) число, которое больше 3,5. Ближайшее такое число — это 4.

Ответ: 4

2) Решим неравенство $7x > 40\frac{7}{9}$.

Сначала преобразуем смешанное число $40\frac{7}{9}$ в неправильную дробь:

$40\frac{7}{9} = \frac{40 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{360 + 7}{9} = \frac{367}{9}$

Теперь неравенство имеет вид:

$7x > \frac{367}{9}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 7:

$x > \frac{367}{9} : 7$

$x > \frac{367}{9 \cdot 7}$

$x > \frac{367}{63}$

Теперь выделим целую часть из дроби $\frac{367}{63}$, чтобы понять, между какими целыми числами находится значение $x$:

$367 \div 63 \approx 5,82...$

Или в виде смешанной дроби: $367 = 5 \cdot 63 + 52$, значит $\frac{367}{63} = 5\frac{52}{63}$.

Итак, $x > 5\frac{52}{63}$.

Наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет этому условию, — это 6.

Ответ: 6

1137.Агрофирма «Сажай-собирай» вырастила на двух полях рожь. С одного поля собрали 392 ц ржи, а со второго — 896 ц. Площадь второго поля на 18 га больше, чем площадь первого. Найдите площадь каждого поля, если урожайность 1 га земли на этих полях одинакова.

Пусть $S_1$ — площадь первого поля в гектарах (га), а $S_2$ — площадь второго поля. По условию, площадь второго поля на 18 га больше площади первого, что можно записать как уравнение:$S_2 = S_1 + 18$

Урожайность (количество урожая на единицу площади) на обоих полях одинакова. С первого поля собрали 392 ц, а со второго — 896 ц. Урожайность первого поля равна $\frac{392}{S_1}$ ц/га, а второго — $\frac{896}{S_2}$ ц/га. Так как они равны, можем составить второе уравнение:$\frac{392}{S_1} = \frac{896}{S_2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $S_2$ из первого уравнения во второе:$\frac{392}{S_1} = \frac{896}{S_1 + 18}$

Решим полученное уравнение относительно $S_1$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):$392 \cdot (S_1 + 18) = 896 \cdot S_1$

Раскроем скобки в левой части уравнения:$392 \cdot S_1 + 392 \cdot 18 = 896 \cdot S_1$$392 S_1 + 7056 = 896 S_1$

Сгруппируем члены, содержащие $S_1$, в одной части уравнения:$7056 = 896 S_1 - 392 S_1$$7056 = 504 S_1$

Теперь найдем $S_1$:$S_1 = \frac{7056}{504} = 14$

Таким образом, площадь первого поля составляет 14 га.

Теперь, зная площадь первого поля, найдем площадь второго поля:$S_2 = S_1 + 18 = 14 + 18 = 32$

Площадь второго поля — 32 га.

Ответ: площадь первого поля — 14 га, площадь второго поля — 32 га.

1138. Акционерное общество «Приятного аппетита» продало в субботу 46 коробок конфет, а в воскресенье – 62 такие коробки. В воскресенье было продано на 120 кг конфет больше, чем в субботу. Сколько килограммов конфет было продано в субботу и сколько — в воскресенье?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти вес одной коробки конфет. Мы знаем, что разница в весе проданных конфет между воскресеньем и субботой составляет 120 кг. Эта разница вызвана разным количеством проданных коробок.

1. Сначала найдем разницу в количестве проданных коробок:

$62 - 46 = 16$ (коробок)

2. Эта разница в 16 коробок соответствует разнице в весе 120 кг. Теперь мы можем вычислить вес одной коробки конфет, разделив общую разницу в весе на разницу в количестве коробок:

$120 \div 16 = 7.5$ (кг)

Таким образом, одна коробка конфет весит 7.5 кг.

3. Теперь, зная вес одной коробки, мы можем ответить на вопросы задачи.

Сколько килограммов конфет было продано в субботу?

Чтобы найти общий вес конфет, проданных в субботу, умножим количество проданных коробок (46) на вес одной коробки (7.5 кг):

$46 \times 7.5 = 345$ (кг)

Ответ: 345 кг

Сколько килограммов конфет было продано в воскресенье?

Чтобы найти общий вес конфет, проданных в воскресенье, умножим количество проданных коробок (62) на вес одной коробки (7.5 кг):

$62 \times 7.5 = 465$ (кг)

Для проверки можно убедиться, что разница в весе составляет 120 кг: $465 - 345 = 120$ кг. Расчеты верны.

Ответ: 465 кг

1139. Коза-дереза собрала с поля площадью $2,3 \text{ га}$ по $400 \text{ ц}$ капусты с гектара. Сколько автомашин грузоподъёмностью $3,5 \text{ т}$ ей надо заказать для перевозки урожая?

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить общий вес собранного урожая, а затем разделить его на грузоподъемность одной машины, чтобы найти необходимое количество машин.

1. Вычисление общего веса урожая.
Площадь поля составляет 2,3 га, а урожайность — 400 центнеров (ц) с одного гектара. Чтобы найти общий вес урожая, умножим площадь на урожайность:
$2,3 \text{ га} \times 400 \frac{\text{ц}}{\text{га}} = 920 \text{ ц}$

2. Перевод веса в единую систему измерения.
Грузоподъемность машины указана в тоннах (т), а вес урожая мы получили в центнерах (ц). Необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем общий вес урожая в тонны. Мы знаем, что 1 тонна равна 10 центнерам:
$1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$
Следовательно, чтобы перевести центнеры в тонны, нужно разделить их количество на 10:
$920 \text{ ц} \div 10 = 92 \text{ т}$
Таким образом, общий вес собранной капусты составляет 92 тонны.

3. Расчет количества автомашин.
Теперь разделим общий вес урожая на грузоподъемность одной автомашины:
$\frac{92 \text{ т}}{3,5 \text{ т}} \approx 26,2857$
Полученное число не является целым. Это означает, что 26 машин будет недостаточно для перевозки всего урожая, так как после их полной загрузки останется еще часть капусты. Поэтому необходимо взять еще одну машину для оставшегося груза. Для этого округляем полученное значение в большую сторону до ближайшего целого числа.
$26 < 26,2857... \Rightarrow 27$
Следовательно, для перевозки всего урожая потребуется 27 автомашин.

Ответ: 27 автомашин.

1140.Фермер засеял поле прямоугольной формы пшеницей. Длина поля составляла 37,5 м, что в 1,5 раза больше его ширины. Сколько центнеров пшеницы собрал фермер со всего поля, если с каждого ара он собрал 42,8 ц? Запишите полученный ответ в тоннах, центнерах и килограммах.

1. Найдем ширину поля.

Из условия задачи известно, что длина поля равна $37,5 \text{ м}$, и она в $1,5$ раза больше ширины. Чтобы найти ширину, необходимо длину разделить на $1,5$.
Ширина = $37,5 \text{ м} \div 1,5 = 25 \text{ м}$.

2. Вычислим площадь поля.

Поле имеет прямоугольную форму, поэтому его площадь ($S$) вычисляется как произведение длины на ширину.
$S = 37,5 \text{ м} \times 25 \text{ м} = 937,5 \text{ м}^2$.

3. Переведем площадь в ары.

В одном аре содержится $100$ квадратных метров ($1 \text{ ар} = 100 \text{ м}^2$). Чтобы выразить площадь поля в арах, разделим ее значение в квадратных метрах на $100$.
Площадь в арах = $937,5 \text{ м}^2 \div 100 = 9,375 \text{ ар}$.

4. Рассчитаем общий урожай пшеницы.

Фермер собрал с каждого ара по $42,8$ центнера (ц) пшеницы. Чтобы найти общий урожай со всего поля, умножим площадь в арах на урожайность.
Общий урожай = $9,375 \text{ ар} \times 42,8 \text{ ц/ар} = 401,25 \text{ ц}$.

5. Представим ответ в тоннах, центнерах и килограммах.

Используем следующие соотношения единиц массы: $1 \text{ тонна (т)} = 10 \text{ центнеров (ц)}$ и $1 \text{ центнер (ц)} = 100 \text{ килограммов (кг)}$.
Общий урожай составляет $401,25$ центнера.
Целая часть, $401$ ц, состоит из $400$ ц и $1$ ц. Так как $400 \text{ ц} = 40 \text{ т}$, получаем $40$ тонн $1$ центнер.
Дробная часть, $0,25$ ц, переводится в килограммы: $0,25 \text{ ц} \times 100 \text{ кг/ц} = 25 \text{ кг}$.
Сложив все части, получаем итоговый результат.

Ответ: $40$ тонн $1$ центнер $25$ килограммов.

1141. Карлсон купил 6 пирожных и получил 28 крон сдачи. Для покупки 9 пирожных Карлсону не хватило 8 крон. Сколько крон стоит одно пирожное?

Пусть $x$ крон — это стоимость одного пирожного. Обозначим сумму денег, которая была у Карлсона, как $M$.

Из первого условия задачи известно, что Карлсон купил 6 пирожных, потратив на это $6x$ крон, и у него осталось 28 крон сдачи. Следовательно, вся сумма денег, которая у него была, равна:

$M = 6x + 28$

Из второго условия известно, что для покупки 9 пирожных, стоимость которых составляет $9x$ крон, Карлсону не хватило 8 крон. Это означает, что имевшаяся у него сумма денег на 8 крон меньше необходимой:

$M = 9x - 8$

Так как в обоих случаях речь идет об одной и той же сумме денег $M$, мы можем приравнять правые части полученных уравнений:

$6x + 28 = 9x - 8$

Теперь решим это линейное уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую.

$28 + 8 = 9x - 6x$

Выполним сложение и вычитание:

$36 = 3x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Таким образом, мы выяснили, что стоимость одного пирожного составляет 12 крон.

Ответ: 12 крон.

1142. Первый штамповочный пресс изготавливает 36 деталей за 18 мин., а второй тоже количество таких деталей — за 9 мин. За сколько минут они изготовят 36 деталей, работая одновременно.

Для решения задачи необходимо определить производительность каждого пресса, затем их общую производительность и, наконец, время, за которое они вместе выполнят работу.

1. Сначала найдем производительность (скорость работы) первого пресса. Он изготавливает 36 деталей за 18 минут. Его производительность равна:
$36 \text{ деталей} \div 18 \text{ минут} = 2 \text{ детали в минуту}$

2. Теперь найдем производительность второго пресса. Он изготавливает 36 деталей за 9 минут:
$36 \text{ деталей} \div 9 \text{ минут} = 4 \text{ детали в минуту}$

3. При совместной работе производительности складываются. Найдем их общую производительность:
$2 \text{ детали/мин} + 4 \text{ детали/мин} = 6 \text{ деталей в минуту}$
Это значит, что, работая вместе, два пресса изготавливают 6 деталей за одну минуту.

4. Чтобы найти, за сколько минут они изготовят 36 деталей вместе, разделим общее количество деталей на их совместную производительность:
$36 \text{ деталей} \div 6 \text{ деталей/мин} = 6 \text{ минут}$

Ответ: 6 минут.

1143. Через первую трубу в бассейн, объём которого равен $300 \text{ м}^3$, можно наполнить водой за 3 ч, а через вторую трубу — за 6 ч. За сколько часов будет наполнен бассейн, если открыть одновременно обе трубы?

Для решения задачи необходимо найти производительность каждой трубы, затем их общую производительность и, наконец, время, за которое они вместе наполнят бассейн.

1. Найдем производительность (скорость наполнения) первой трубы. Она наполняет бассейн объемом 300 м³ за 3 часа, следовательно, ее производительность равна:

$P_1 = \frac{300 \text{ м}^3}{3 \text{ ч}} = 100 \text{ м}^3/\text{ч}$

2. Найдем производительность второй трубы. Она наполняет тот же бассейн за 6 часов:

$P_2 = \frac{300 \text{ м}^3}{6 \text{ ч}} = 50 \text{ м}^3/\text{ч}$

3. При одновременной работе двух труб их производительности складываются. Найдем общую производительность:

$P_{\text{общ}} = P_1 + P_2 = 100 \text{ м}^3/\text{ч} + 50 \text{ м}^3/\text{ч} = 150 \text{ м}^3/\text{ч}$

4. Теперь можно найти время, за которое бассейн будет наполнен при совместной работе двух труб. Для этого необходимо общий объем бассейна разделить на общую производительность:

$t = \frac{V}{P_{\text{общ}}} = \frac{300 \text{ м}^3}{150 \text{ м}^3/\text{ч}} = 2 \text{ ч}$

Ответ: бассейн будет наполнен за 2 часа.