Страница 278 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1153. Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали два всадника. Через 5 ч после начала движения расстояние между ними было 6 км. Скорость одного из всадников равна 8,4 км/ч. Найдите скорость второго всадника.

Пусть скорость одного всадника $v_1 = 8,4$ км/ч, а скорость второго всадника — $v_2$. Время движения $t = 5$ ч, а расстояние, которое образовалось между ними за это время, $\Delta S = 6$ км.

Поскольку всадники движутся одновременно из одного пункта и в одном направлении, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной разности их скоростей. Эта величина называется скоростью удаления $v_{уд}$.

1. Найдем скорость удаления. Для этого разделим расстояние между всадниками на время, за которое это расстояние образовалось:

$v_{уд} = \frac{\Delta S}{t} = \frac{6 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 1,2$ км/ч.

2. Скорость удаления равна модулю разности скоростей всадников:

$v_{уд} = |v_1 - v_2|$

Подставим известные значения:

$|8,4 - v_2| = 1,2$

Это уравнение означает, что скорость второго всадника отличается от скорости первого на 1,2 км/ч. В условии не сказано, кто из всадников был быстрее, поэтому задача имеет два возможных решения.

Случай 1: Второй всадник двигался медленнее первого.

В этом случае, чтобы найти скорость второго всадника, нужно из скорости первого вычесть скорость удаления:

$v_2 = v_1 - v_{уд} = 8,4 - 1,2 = 7,2$ км/ч.

Случай 2: Второй всадник двигался быстрее первого.

В этом случае, чтобы найти скорость второго всадника, нужно к скорости первого прибавить скорость удаления:

$v_2 = v_1 + v_{уд} = 8,4 + 1,2 = 9,6$ км/ч.

Таким образом, скорость второго всадника может быть как 7,2 км/ч, так и 9,6 км/ч.

Ответ: 7,2 км/ч или 9,6 км/ч.

1154. Из одного пункта в противоположных направлениях одновременно выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля равна 72 км/ч, а скорость автобуса — в 1,2 раза меньше скорости автомобиля. Каким будет расстояние между автомобилем и автобусом через 3 ч 15 мин после начала движения?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость автобуса.

Скорость автомобиля известна и равна $v_{авт} = 72$ км/ч. Скорость автобуса, согласно условию, в 1,2 раза меньше. Чтобы найти скорость автобуса, разделим скорость автомобиля на 1,2.

$v_{автобуса} = \frac{v_{авт}}{1,2} = \frac{72}{1,2} = \frac{720}{12} = 60$ км/ч.

2. Переведем время движения в часы.

Время движения составляет 3 часа 15 минут. В одном часе 60 минут, поэтому 15 минут — это часть часа, равная $\frac{15}{60} = \frac{1}{4} = 0,25$ часа.

Общее время движения в часах:

$t = 3 \text{ ч} + 15 \text{ мин} = 3 \text{ ч} + 0,25 \text{ ч} = 3,25$ ч.

3. Найдем скорость удаления.

Поскольку автомобиль и автобус движутся из одного пункта в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), равна сумме их скоростей.

$v_{удаления} = v_{авт} + v_{автобуса} = 72 + 60 = 132$ км/ч.

4. Вычислим расстояние между автомобилем и автобусом.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость удаления умножить на время в пути. Формула расстояния: $S = v \cdot t$.

$S = v_{удаления} \cdot t = 132 \cdot 3,25 = 429$ км.

Ответ: 429 км.

1155. Из одного пункта в противоположных направлениях одновременно вышли два пешехода. Скорость одного пешехода равна 4,2 км/ч, что составляет $\frac{7}{6}$ скорости второго. Через сколько часов после начала движения расстояние между пешеходами будет 19,5 км?

Пусть $v_1$ – скорость первого пешехода, а $v_2$ – скорость второго пешехода. По условию задачи, $v_1 = 4.2$ км/ч, что составляет $\frac{7}{6}$ от скорости второго пешехода.

Сначала найдем скорость второго пешехода ($v_2$). Для этого нам нужно значение скорости первого пешехода разделить на дробь, которую она составляет от скорости второго:
$v_2 = 4.2 \div \frac{7}{6} = 4.2 \cdot \frac{6}{7} = \frac{4.2 \cdot 6}{7} = \frac{25.2}{7} = 3.6$ км/ч.

Поскольку пешеходы движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. Скорость их удаления ($v_{уд}$) равна сумме их скоростей:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 4.2 + 3.6 = 7.8$ км/ч.

Теперь найдем время ($t$), через которое расстояние ($S$) между пешеходами станет равным 19,5 км. Для этого нужно разделить заданное расстояние на скорость удаления:
$t = \frac{S}{v_{уд}} = \frac{19.5}{7.8}$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:
$t = \frac{195}{78} = 2.5$ часа.

Ответ: 2,5 ч.

1156. От одной станции в противоположных направлениях одновременно отправились два поезда. Через 2 ч 45 мин после начала движения расстояние между поездами было 330 км. Скорость одного поезда равна 56 км/ч. Найдите скорость второго поезда.

Для решения этой задачи необходимо найти скорость второго поезда, зная общее расстояние между поездами, время в пути и скорость первого поезда. Так как поезда движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей (это называется скоростью удаления).

1. Переведем время движения в часы

Время движения поездов составляет 2 часа 45 минут. Для удобства расчетов представим это время в виде десятичной дроби. В одном часе 60 минут, поэтому:

$45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0.75 \text{ ч}$

Следовательно, общее время движения:

$t = 2 \text{ ч} + 0.75 \text{ ч} = 2.75 \text{ ч}$

2. Найдем скорость удаления поездов

Скорость удаления ($v_{уд}$) показывает, на сколько километров увеличивается расстояние между поездами за один час. Ее можно найти, разделив общее расстояние, которое стало между поездами, на время в пути.

$v_{уд} = \frac{S}{t} = \frac{330 \text{ км}}{2.75 \text{ ч}}$

Выполним деление:

$v_{уд} = 120 \text{ км/ч}$

3. Найдем скорость второго поезда

Скорость удаления поездов, движущихся в противоположных направлениях, равна сумме их скоростей: $v_{уд} = v_1 + v_2$, где $v_1$ — скорость первого поезда, а $v_2$ — скорость второго.

Из условия мы знаем, что $v_1 = 56 \text{ км/ч}$. Подставив известные значения в формулу, найдем скорость второго поезда:

$120 \text{ км/ч} = 56 \text{ км/ч} + v_2$

$v_2 = 120 \text{ км/ч} - 56 \text{ км/ч}$

$v_2 = 64 \text{ км/ч}$

Ответ: 64 км/ч.

1157. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно $84 \text{ км}$, в одном направлении одновременно выехали два автомобиля со скоростями $68.4 \text{ км/ч}$ и $57.9 \text{ км/ч}$. Автомобиль с меньшей скоростью двигался впереди. Через сколько часов после начала движения один автомобиль догонит второй?

Для решения задачи необходимо найти скорость сближения автомобилей и, зная начальное расстояние между ними, вычислить время, за которое более быстрый автомобиль догонит более медленный.

1. Найдем скорость сближения. Поскольку автомобили движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей.

Пусть $v_1$ — скорость первого (быстрого) автомобиля, а $v_2$ — скорость второго (медленного) автомобиля.

$v_1 = 68,4$ км/ч
$v_2 = 57,9$ км/ч

Скорость сближения $v_{сбл}$:

$v_{сбл} = v_1 - v_2 = 68,4 - 57,9 = 10,5$ км/ч

2. Теперь, зная скорость сближения и начальное расстояние $S$ между автомобилями ($S = 84$ км), найдем время $t$, через которое первый автомобиль догонит второй, по формуле $t = \frac{S}{v_{сбл}}$.

$t = \frac{84}{10,5}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$t = \frac{84 \cdot 10}{10,5 \cdot 10} = \frac{840}{105} = 8$ часов

Ответ: 8 часов.

1158.Из двух пунктов в одном направлении одновременно вышли два пешехода. Пешеход, который двигался со скоростью $4.8 \text{ км/ч}$, догнал пешехода, который двигался со скоростью $4.2 \text{ км/ч}$, через $2.5 \text{ ч}$ после начала движения. Найдите расстояние между пунктами, из которых вышли пешеходы.

Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода (который догоняет), а $v_2$ — скорость второго пешехода. $t$ — время, через которое первый пешеход догнал второго.

По условию задачи:
$v_1 = 4,8$ км/ч
$v_2 = 4,2$ км/ч
$t = 2,5$ ч

Для того чтобы найти первоначальное расстояние между пешеходами, можно использовать понятие скорости сближения. Так как пешеходы движутся в одном направлении, скорость, с которой более быстрый пешеход догоняет более медленного, равна разности их скоростей.

1. Найдём скорость сближения.
Скорость сближения ($v_{сбл}$) вычисляется по формуле:
$v_{сбл} = v_1 - v_2$
$v_{сбл} = 4,8 - 4,2 = 0,6$ км/ч.

2. Найдём расстояние между пунктами.
Расстояние, которое было между пешеходами в самом начале, равно произведению скорости сближения на время, за которое первый пешеход догнал второго.
$S = v_{сбл} \times t$
$S = 0,6 \text{ км/ч} \times 2,5 \text{ ч} = 1,5$ км.

Ответ: 1,5 км.

1159.Из двух пунктов в одном направлении одновременно выехали велосипедист и мотоциклист. Мотоциклист двигался со скоростью 76,2 км/ч и догнал велосипедиста, который двигался со скоростью 9,8 км/ч, через 3,5 ч после начала движения. Найдите, какое расстояние было между велосипедистом и мотоциклистом в начале движения.

Для того чтобы найти первоначальное расстояние между велосипедистом и мотоциклистом, необходимо сначала определить скорость их сближения. Поскольку они движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности скорости мотоциклиста (догоняющего) и скорости велосипедиста (уезжающего).

1. Вычислим скорость сближения ($v_{сбл}$):
Скорость мотоциклиста $v_м = 76,2$ км/ч.
Скорость велосипедиста $v_в = 9,8$ км/ч.
$v_{сбл} = v_м - v_в = 76,2 - 9,8 = 66,4$ км/ч.

2. Теперь, зная скорость сближения и время, через которое мотоциклист догнал велосипедиста ($t = 3,5$ ч), можно найти искомое начальное расстояние ($S$). Это расстояние равно произведению скорости сближения на время.
$S = v_{сбл} \cdot t$
$S = 66,4 \text{ км/ч} \cdot 3,5 \text{ ч} = 232,4$ км.

Таким образом, в начале движения расстояние между велосипедистом и мотоциклистом составляло 232,4 км.

Ответ: 232,4 км.

1160. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 189 км, одновременно в одном направлении выехали грузовик и легковой автомобиль. Грузовик ехал со скоростью 48 км/ч, и через 7 ч после начала движения его догнал легковой автомобиль. С какой скоростью ехал легковой автомобиль?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S = 189$ км — начальное расстояние между автомобилями.
• $V_г = 48$ км/ч — скорость грузовика.
• $t = 7$ ч — время движения до того момента, как легковой автомобиль догнал грузовик.
• $V_л$ — искомая скорость легкового автомобиля.

Решим задачу по шагам.

1. Найдем расстояние, которое проехал грузовик за 7 часов.

Для этого умножим скорость грузовика на время его движения.

$S_г = V_г \times t = 48 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 336 \text{ км}$

2. Определим расстояние, которое проехал легковой автомобиль за это же время.

Поскольку легковой автомобиль догонял грузовик, к моменту встречи он проехал начальное расстояние между ними плюс то расстояние, которое проехал грузовик.

$S_л = S + S_г = 189 \text{ км} + 336 \text{ км} = 525 \text{ км}$

3. Рассчитаем скорость легкового автомобиля.

Теперь, зная расстояние, пройденное легковым автомобилем, и время, за которое он это сделал, мы можем найти его скорость.

$V_л = S_л / t = 525 \text{ км} / 7 \text{ ч} = 75 \text{ км/ч}$

Ответ: 75 км/ч.