Страница 282 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1190. Начертите тупой угол и проведите из его вершины луч так, чтобы образовался прямой угол. Сколько решений имеет задача?

Начертим тупой угол, то есть угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Обозначим этот угол как $\angle AOB$, где $O$ — его вершина, а $OA$ и $OB$ — его стороны (лучи).

Из вершины $O$ необходимо провести новый луч $OC$ так, чтобы образовался прямой угол. Прямой угол равен $90^\circ$. Это условие означает, что новый луч $OC$ должен быть перпендикулярен одной из сторон исходного угла, то есть либо $\angle AOC = 90^\circ$, либо $\angle BOC = 90^\circ$.

Рассмотрим все возможные положения луча $OC$:

1. Луч $OC$ перпендикулярен стороне $OA$. На плоскости из точки $O$ можно провести два луча, перпендикулярных лучу $OA$. Они будут расположены по разные стороны от прямой, содержащей луч $OA$. Поскольку угол $\angle AOB$ тупой (то есть больше $90^\circ$), один из этих перпендикулярных лучей будет лежать внутри угла $\angle AOB$, а другой — снаружи. Таким образом, мы получаем два решения.

2. Луч $OC$ перпендикулярен стороне $OB$. Аналогично, из точки $O$ можно провести два луча, перпендикулярных лучу $OB$. Один из них окажется внутри угла $\angle AOB$, а другой — снаружи. Это дает еще два решения.

Всего получается четыре различных луча, удовлетворяющих условию задачи. Два из этих луча находятся внутри исходного угла $\angle AOB$, а два других — вне его. Поскольку в условии не указано, где должен располагаться искомый луч, следует учитывать все четыре варианта.

Ответ: Задача имеет 4 решения.

1191. Найдите градусную меру угла BAE, если $\angle BAD = 67^\circ$, $\angle CAD = 34^\circ$, $\angle CAE = 56^\circ$ (рис. 216).

Рис. 216

Для нахождения градусной меры угла BAE воспользуемся свойством сложения углов, которое гласит, что если луч проходит между сторонами угла, он делит этот угол на два угла, сумма которых равна исходному углу.

Из рисунка видно, что угол BAE можно представить как сумму двух углов: $\angle BAC$ и $\angle CAE$.

$\angle BAE = \angle BAC + \angle CAE$

По условию нам известна градусная мера угла $\angle CAE = 56^\circ$. Чтобы найти $\angle BAE$, нам необходимо сначала вычислить градусную меру угла $\angle BAC$.

Также из рисунка мы видим, что угол $\angle BAD$ состоит из углов $\angle BAC$ и $\angle CAD$.

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

Выразим из этого равенства искомый угол $\angle BAC$:

$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD$

Подставим известные из условия значения $\angle BAD = 67^\circ$ и $\angle CAD = 34^\circ$:

$\angle BAC = 67^\circ - 34^\circ = 33^\circ$

Теперь, зная величину угла $\angle BAC$, мы можем найти градусную меру угла $\angle BAE$:

$\angle BAE = \angle BAC + \angle CAE = 33^\circ + 56^\circ = 89^\circ$

Ответ: $89^\circ$.

1192. Угол $MOK$ – развёрнутый, $\angle MOA = 62^{\circ}$, луч $OC$ – биссектриса угла $AOK$. Вычислите градусную меру угла $COA$.

По условию, угол $ \angle MOK $ является развёрнутым. Градусная мера развёрнутого угла составляет $ 180^\circ $.

Угол $ \angle MOK $ состоит из двух смежных углов: $ \angle MOA $ и $ \angle AOK $. Следовательно, их сумма равна градусной мере угла $ \angle MOK $:

$ \angle MOA + \angle AOK = \angle MOK $

Мы знаем, что $ \angle MOA = 62^\circ $ и $ \angle MOK = 180^\circ $. Подставив эти значения в формулу, найдём градусную меру угла $ \angle AOK $:

$ 62^\circ + \angle AOK = 180^\circ $

$ \angle AOK = 180^\circ - 62^\circ $

$ \angle AOK = 118^\circ $

В условии сказано, что луч $ OC $ — биссектриса угла $ \angle AOK $. Биссектриса делит угол на два равных угла. Это означает, что угол $ \angle COA $ равен половине угла $ \angle AOK $:

$ \angle COA = \frac{\angle AOK}{2} $

Теперь вычислим градусную меру искомого угла $ \angle COA $:

$ \angle COA = \frac{118^\circ}{2} = 59^\circ $

Ответ: $59^\circ$.

1193. Запишите все треугольники и прямоугольники, изображённые на

рисунке 217.

Рис. 217

Прямоугольники:

ABCD

AMED

MBCE

Треугольники:

$\triangle AME$

$\triangle BME$

$\triangle ABE$

На рисунке можно найти 5 треугольников. Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех вершин и трех отрезков, их соединяющих. Перечислим все треугольники, которые можно увидеть на изображении: $ABE$, $BCE$, $ADE$, $BME$, $AME$.

На рисунке можно найти 3 прямоугольника. Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые. Исходя из того, что фигура $ABCD$ является прямоугольником, а отрезок $ME$ параллелен сторонам $AD$ и $BC$, мы можем назвать следующие прямоугольники: $ABCD$ (внешний), $MBCE$ (верхний) и $AMED$ (нижний).

Ответ: Треугольники: $ABE, BCE, ADE, BME, AME$; Прямоугольники: $ABCD, MBCE, AMED$.

1194. Периметр треугольника равен 30 см, одна из его сторон — 7,4 см, а две другие стороны равны между собой. Найдите длины равных сторон.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим три стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Тогда формула периметра $P$ выглядит так:

$P = a + b + c$

По условию задачи, периметр $P = 30$ см, одна из сторон, пусть это будет сторона $a$, равна 7,4 см. Две другие стороны равны между собой, то есть $b = c$.

Подставим известные значения в формулу. Обозначим длину равных сторон через $x$, тогда $b = c = x$.

$30 = 7,4 + x + x$

Теперь решим полученное уравнение:

$30 = 7,4 + 2x$

Найдем сумму длин двух равных сторон, вычтя из периметра длину известной стороны:

$2x = 30 - 7,4$

$2x = 22,6$

Теперь найдем длину одной из равных сторон, разделив их сумму на 2:

$x = 22,6 / 2$

$x = 11,3$ см

Таким образом, треугольник имеет стороны 7,4 см, 11,3 см и 11,3 см. В задаче требуется найти длины разных сторон.

Ответ: 7,4 см и 11,3 см.

1195. Начертите прямоугольник со сторонами 6 см и 2 см. Постройте квадрат, периметр которого равен периметру этого прямоугольника. Вычислите площади прямоугольника и квадрата.

1. Нахождение периметра прямоугольника и стороны квадрата
Сначала найдем периметр прямоугольника со сторонами $a = 6$ см и $b = 2$ см по формуле $P = 2(a+b)$:
$P_{прямоугольника} = 2 \cdot (6 \text{ см} + 2 \text{ см}) = 2 \cdot 8 \text{ см} = 16$ см.
По условию, периметр квадрата равен периметру прямоугольника, следовательно, $P_{квадрата} = 16$ см.
Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4s$, где $s$ — длина его стороны. Найдем сторону квадрата:
$s = \frac{P_{квадрата}}{4} = \frac{16 \text{ см}}{4} = 4$ см.
Таким образом, необходимо построить квадрат со стороной 4 см.
Ответ: сторона квадрата равна 4 см.

2. Вычисление площадей прямоугольника и квадрата
Площадь прямоугольника ($S_{прямоугольника}$) вычисляется как произведение его сторон:
$S_{прямоугольника} = a \cdot b = 6 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
Площадь квадрата ($S_{квадрата}$) вычисляется как квадрат его стороны:
$S_{квадрата} = s^2 = (4 \text{ см})^2 = 16 \text{ см}^2$.
Ответ: площадь прямоугольника равна $12 \text{ см}^2$, площадь квадрата равна $16 \text{ см}^2$.

1196. Квадрат со стороной 1 м разделили на четыре равные части и провели диагональ (рис. 218). Чему равна площадь заштрихованной фигуры?

Для решения этой задачи можно использовать несколько способов.

Способ 1 (через симметрию)

Площадь всего квадрата со стороной 1 м равна $S_{квадрата} = 1 \times 1 = 1 \text{ м}^2$.
Квадрат разделен на четыре равные вертикальные полосы (прямоугольника). Заштрихованы вторая и четвертая полосы. Не заштрихованы первая и третья полосы.
Таким образом, заштрихованная и незаштрихованная части состоят из двух полос каждая, а значит, их площади равны. Можно также заметить, что если повернуть квадрат на 180 градусов вокруг его центра, то заштрихованная область полностью совпадет с незаштрихованной. Это доказывает, что их площади равны.
Площадь всего квадрата складывается из площади заштрихованной фигуры ($S_{заштр}$) и площади незаштрихованной фигуры ($S_{незаштр}$):
$S_{квадрата} = S_{заштр} + S_{незаштр}$
Поскольку $S_{заштр} = S_{незаштр}$, мы можем написать:
$1 = S_{заштр} + S_{заштр} = 2 \times S_{заштр}$
Отсюда находим площадь заштрихованной фигуры:
$S_{заштр} = \frac{1}{2} \text{ м}^2$.
В этом способе решения проведенная диагональ является лишним элементом, не влияющим на площадь заштрихованной фигуры.

Ответ: $\frac{1}{2} \text{ м}^2$

Способ 2 (прямой расчет площади)

Площадь всего квадрата равна $1 \text{ м}^2$.
Квадрат разделен на четыре равные части (прямоугольника). Следовательно, площадь каждой части равна:
$S_{части} = \frac{S_{квадрата}}{4} = \frac{1}{4} \text{ м}^2$.
Заштрихованная фигура состоит из двух таких частей (второй и четвертой). Чтобы найти общую площадь заштрихованной фигуры, нужно сложить площади этих двух частей:
$S_{заштр} = S_{части} + S_{части} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ м}^2$.
Как и в первом способе, диагональ не влияет на расчет площади указанной фигуры.

Ответ: $\frac{1}{2} \text{ м}^2$

1197.Периметр квадрата равен 11,2 см. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна площади данного квадрата, а одна из сторон прямоугольника — 9,8 см.

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий.

1. Найдем сторону квадрата. Периметр квадрата ($P_{кв}$) вычисляется по формуле $P_{кв} = 4a$, где $a$ – сторона квадрата. Зная, что периметр равен 11,2 см, найдем длину стороны:

$a = \frac{P_{кв}}{4} = \frac{11,2}{4} = 2,8$ см.

2. Вычислим площадь квадрата ($S_{кв}$). Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $S_{кв} = a^2$.

$S_{кв} = (2,8)^2 = 7,84$ см².

3. По условию, площадь прямоугольника ($S_{пр}$) равна площади квадрата, то есть $S_{пр} = 7,84$ см². Площадь прямоугольника также находится по формуле $S_{пр} = l \times w$, где $l$ и $w$ – его стороны. Одна из сторон прямоугольника равна 9,8 см. Найдем вторую сторону:

$w = \frac{S_{пр}}{l} = \frac{7,84}{9,8} = 0,8$ см.

4. Теперь, зная обе стороны прямоугольника (9,8 см и 0,8 см), найдем его периметр ($P_{пр}$) по формуле $P_{пр} = 2(l + w)$:

$P_{пр} = 2 \times (9,8 + 0,8) = 2 \times 10,6 = 21,2$ см.

Ответ: 21,2 см.

1198. Длина прямоугольника равна 45 см. На сколько уменьшится площадь этого прямоугольника, если его ширина уменьшится на 4 см?

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

Пусть первоначальная длина прямоугольника $a = 45$ см, а первоначальная ширина – $b_1$.
Тогда первоначальная площадь ($S_1$) была равна:
$S_1 = 45 \cdot b_1$

После того как ширину уменьшили на 4 см, новая ширина ($b_2$) стала:
$b_2 = b_1 - 4$

Новая площадь ($S_2$) с новой шириной равна:
$S_2 = 45 \cdot b_2 = 45 \cdot (b_1 - 4)$

Чтобы найти, на сколько уменьшилась площадь, нужно найти разность между первоначальной и новой площадью ($\Delta S = S_1 - S_2$):
$\Delta S = 45 \cdot b_1 - 45 \cdot (b_1 - 4)$
Раскроем скобки:
$\Delta S = 45 \cdot b_1 - 45 \cdot b_1 + 45 \cdot 4$
$\Delta S = 180$

Таким образом, уменьшение площади не зависит от первоначальной ширины и равно произведению длины на величину изменения ширины.

Ответ: площадь прямоугольника уменьшится на 180 см².

1199. Ребро одного куба в 3 раза больше ребра второго. Во сколько раз объём первого куба больше, чем объём второго?

Пусть ребро второго куба равно $a$. Согласно условию, ребро первого куба в 3 раза больше, следовательно, его длина равна $3a$.

Объём куба вычисляется по формуле $V = l^3$, где $l$ — длина ребра.

Найдём объём второго куба ($V_2$):
$V_2 = a^3$

Найдём объём первого куба ($V_1$):
$V_1 = (3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$

Чтобы определить, во сколько раз объём первого куба больше объёма второго, найдём отношение их объёмов: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27a^3}{a^3} = 27$

Следовательно, объём первого куба больше объёма второго в 27 раз.

Ответ: в 27 раз.

1200. Объём прямоугольного параллелепипеда равен $320 \text{ см}^3$. Каждое измерение этого параллелепипеда уменьшили в 2 раза. Найдите объём полученного параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его трёх измерений: длины, ширины и высоты. Обозначим исходные измерения как $a$, $b$ и $c$, а исходный объём как $V_1$.

$V_1 = a \cdot b \cdot c = 320 \text{ см}^3$

Согласно условию задачи, каждое из измерений было уменьшено в 2 раза. Найдём новые измерения $a'$, $b'$ и $c'$:

$a' = \frac{a}{2}$

$b' = \frac{b}{2}$

$c' = \frac{c}{2}$

Теперь вычислим объём нового параллелепипеда $V_2$, используя его новые измерения:

$V_2 = a' \cdot b' \cdot c' = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{a \cdot b \cdot c}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{a \cdot b \cdot c}{8}$

Мы видим, что новый объём $V_2$ в 8 раз меньше исходного объёма $V_1$. Подставим известное значение $V_1$:

$V_2 = \frac{320}{8} = 40 \text{ см}^3$

Ответ: 40 см³.

1201. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 12 см, ширина — 5 см, высота — 9 см. На сколько увеличится объём параллелепипеда, если каждое его измерение увеличить на 1 см?

Для того чтобы узнать, на сколько увеличится объём параллелепипеда, необходимо сначала вычислить его первоначальный объём, затем вычислить объём после увеличения его измерений, и в конце найти разницу между полученными объёмами.

1. Вычисление первоначального объёма.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$) по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$.

По условию задачи, первоначальные размеры равны:

$a_1 = 12$ см

$b_1 = 5$ см

$c_1 = 9$ см

Найдём первоначальный объём $V_1$:

$V_1 = 12 \cdot 5 \cdot 9 = 60 \cdot 9 = 540$ см³.

2. Вычисление нового объёма.

Каждое измерение увеличили на 1 см. Новые размеры параллелепипеда:

Новая длина: $a_2 = 12 + 1 = 13$ см.

Новая ширина: $b_2 = 5 + 1 = 6$ см.

Новая высота: $c_2 = 9 + 1 = 10$ см.

Теперь вычислим новый объём $V_2$ с новыми размерами:

$V_2 = 13 \cdot 6 \cdot 10 = 78 \cdot 10 = 780$ см³.

3. Нахождение разницы объёмов.

Чтобы определить, на сколько увеличился объём, вычтем из нового объёма первоначальный:

$V_2 - V_1 = 780 - 540 = 240$ см³.

Ответ: объём параллелепипеда увеличится на 240 см³.