Страница 282 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1192. Угол $MOK$ – развёрнутый, $\angle MOA = 62^{\circ}$, луч $OC$ – биссектриса угла $AOK$. Вычислите градусную меру угла $COA$.

По условию, угол $ \angle MOK $ является развёрнутым. Градусная мера развёрнутого угла составляет $ 180^\circ $.

Угол $ \angle MOK $ состоит из двух смежных углов: $ \angle MOA $ и $ \angle AOK $. Следовательно, их сумма равна градусной мере угла $ \angle MOK $:

$ \angle MOA + \angle AOK = \angle MOK $

Мы знаем, что $ \angle MOA = 62^\circ $ и $ \angle MOK = 180^\circ $. Подставив эти значения в формулу, найдём градусную меру угла $ \angle AOK $:

$ 62^\circ + \angle AOK = 180^\circ $

$ \angle AOK = 180^\circ - 62^\circ $

$ \angle AOK = 118^\circ $

В условии сказано, что луч $ OC $ — биссектриса угла $ \angle AOK $. Биссектриса делит угол на два равных угла. Это означает, что угол $ \angle COA $ равен половине угла $ \angle AOK $:

$ \angle COA = \frac{\angle AOK}{2} $

Теперь вычислим градусную меру искомого угла $ \angle COA $:

$ \angle COA = \frac{118^\circ}{2} = 59^\circ $

Ответ: $59^\circ$.

1194. Периметр треугольника равен 30 см, одна из его сторон — 7,4 см, а две другие стороны равны между собой. Найдите длины равных сторон.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим три стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Тогда формула периметра $P$ выглядит так:

$P = a + b + c$

По условию задачи, периметр $P = 30$ см, одна из сторон, пусть это будет сторона $a$, равна 7,4 см. Две другие стороны равны между собой, то есть $b = c$.

Подставим известные значения в формулу. Обозначим длину равных сторон через $x$, тогда $b = c = x$.

$30 = 7,4 + x + x$

Теперь решим полученное уравнение:

$30 = 7,4 + 2x$

Найдем сумму длин двух равных сторон, вычтя из периметра длину известной стороны:

$2x = 30 - 7,4$

$2x = 22,6$

Теперь найдем длину одной из равных сторон, разделив их сумму на 2:

$x = 22,6 / 2$

$x = 11,3$ см

Таким образом, треугольник имеет стороны 7,4 см, 11,3 см и 11,3 см. В задаче требуется найти длины разных сторон.

Ответ: 7,4 см и 11,3 см.

1198. Длина прямоугольника равна 45 см. На сколько уменьшится площадь этого прямоугольника, если его ширина уменьшится на 4 см?

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

Пусть первоначальная длина прямоугольника $a = 45$ см, а первоначальная ширина – $b_1$.
Тогда первоначальная площадь ($S_1$) была равна:
$S_1 = 45 \cdot b_1$

После того как ширину уменьшили на 4 см, новая ширина ($b_2$) стала:
$b_2 = b_1 - 4$

Новая площадь ($S_2$) с новой шириной равна:
$S_2 = 45 \cdot b_2 = 45 \cdot (b_1 - 4)$

Чтобы найти, на сколько уменьшилась площадь, нужно найти разность между первоначальной и новой площадью ($\Delta S = S_1 - S_2$):
$\Delta S = 45 \cdot b_1 - 45 \cdot (b_1 - 4)$
Раскроем скобки:
$\Delta S = 45 \cdot b_1 - 45 \cdot b_1 + 45 \cdot 4$
$\Delta S = 180$

Таким образом, уменьшение площади не зависит от первоначальной ширины и равно произведению длины на величину изменения ширины.

Ответ: площадь прямоугольника уменьшится на 180 см².

1201. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 12 см, ширина — 5 см, высота — 9 см. На сколько увеличится объём параллелепипеда, если каждое его измерение увеличить на 1 см?

Для того чтобы узнать, на сколько увеличится объём параллелепипеда, необходимо сначала вычислить его первоначальный объём, затем вычислить объём после увеличения его измерений, и в конце найти разницу между полученными объёмами.

1. Вычисление первоначального объёма.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$) по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$.

По условию задачи, первоначальные размеры равны:

$a_1 = 12$ см

$b_1 = 5$ см

$c_1 = 9$ см

Найдём первоначальный объём $V_1$:

$V_1 = 12 \cdot 5 \cdot 9 = 60 \cdot 9 = 540$ см³.

2. Вычисление нового объёма.

Каждое измерение увеличили на 1 см. Новые размеры параллелепипеда:

Новая длина: $a_2 = 12 + 1 = 13$ см.

Новая ширина: $b_2 = 5 + 1 = 6$ см.

Новая высота: $c_2 = 9 + 1 = 10$ см.

Теперь вычислим новый объём $V_2$ с новыми размерами:

$V_2 = 13 \cdot 6 \cdot 10 = 78 \cdot 10 = 780$ см³.

3. Нахождение разницы объёмов.

Чтобы определить, на сколько увеличился объём, вычтем из нового объёма первоначальный:

$V_2 - V_1 = 780 - 540 = 240$ см³.

Ответ: объём параллелепипеда увеличится на 240 см³.