Страница 283 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1202. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 36 см, ширина составляет $\frac{5}{9}$ его длины. Найдите объём параллелепипеда, если его ширина составляет $\frac{5}{4}$ высоты.

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо знать его длину, ширину и высоту. Объём вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$, где $a$ — длина, $b$ — ширина, $h$ — высота.

1. Найдем ширину параллелепипеда.

По условию, длина $a = 36$ см. Ширина $b$ составляет $\frac{5}{9}$ от длины. Вычислим её:

$b = 36 \cdot \frac{5}{9} = \frac{36 \cdot 5}{9} = 4 \cdot 5 = 20$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда.

В условии также сказано, что ширина $b$ составляет $\frac{5}{4}$ высоты $h$. Так как мы уже знаем, что ширина равна 20 см, мы можем найти высоту:

$20 = h \cdot \frac{5}{4}$

Чтобы найти $h$, разделим ширину на дробь $\frac{5}{4}$:

$h = 20 : \frac{5}{4} = 20 \cdot \frac{4}{5} = \frac{20 \cdot 4}{5} = 4 \cdot 4 = 16$ см.

3. Найдем объём параллелепипеда.

Теперь, когда у нас есть все три измерения, мы можем вычислить объём:

$V = a \cdot b \cdot h = 36 \cdot 20 \cdot 16$ см³

Выполним вычисления:

$V = 720 \cdot 16 = 11520$ см³.

Ответ: $11520$ см³.

1203. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 42 см, что составляет $ \frac{7}{15} $ его длины, а высота составляет $ \frac{5}{9} $ длины. Найдите объём параллелепипеда.

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо знать его длину, ширину и высоту. Объём ($V$) вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ – длина, $w$ – ширина, $h$ – высота.

1. Найдём длину параллелепипеда.

По условию, ширина ($w$) равна 42 см, что составляет $\frac{7}{15}$ его длины ($l$). Чтобы найти всю величину (длину) по её части (ширине), нужно эту часть разделить на соответствующую ей дробь.

$l = 42 \div \frac{7}{15} = 42 \cdot \frac{15}{7} = \frac{42 \cdot 15}{7}$

Сократим 42 и 7 на 7:

$l = 6 \cdot 15 = 90$ см.

Таким образом, длина параллелепипеда составляет 90 см.

2. Найдём высоту параллелепипеда.

Высота ($h$) составляет $\frac{5}{9}$ от длины ($l = 90$ см). Чтобы найти часть от целого, нужно это целое умножить на дробь.

$h = 90 \cdot \frac{5}{9} = \frac{90 \cdot 5}{9}$

Сократим 90 и 9 на 9:

$h = 10 \cdot 5 = 50$ см.

Таким образом, высота параллелепипеда составляет 50 см.

3. Найдём объём параллелепипеда.

Теперь, когда известны все три измерения (длина $l=90$ см, ширина $w=42$ см, высота $h=50$ см), можем вычислить объём:

$V = l \cdot w \cdot h = 90 \cdot 42 \cdot 50$

Для удобства вычислений можно изменить порядок множителей:

$V = (90 \cdot 50) \cdot 42 = 4500 \cdot 42 = 189000$ см³.

Ответ: $189000$ см³.

1204. Прямолинейный участок шоссе проходит через сёла Вишнёвое, Яблоневое и Грушевое. Расстояние между сёлами Вишнёвое и Яблоневое равно 3,2 км, что в 1,5 раза меньше расстояния между сёлами Яблоневое и Грушевое. Найдите расстояние между сёлами Вишнёвое и Грушевое. Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи обозначим сёла начальными буквами их названий: В — Вишнёвое, Я — Яблоневое, Г — Грушевое.

По условию, расстояние между сёлами Вишнёвое и Яблоневое (ВЯ) равно $3,2$ км. Это расстояние в $1,5$ раза меньше, чем расстояние между Яблоневым и Грушевым (ЯГ). Чтобы найти расстояние ЯГ, нужно расстояние ВЯ умножить на $1,5$.

$ЯГ = 3,2 \text{ км} \cdot 1,5 = 4,8 \text{ км}$

Так как сёла расположены на одной прямой, но их взаимный порядок не задан, необходимо рассмотреть все возможные варианты их расположения.

Случай 1: Село Яблоневое (Я) находится между сёлами Вишнёвое (В) и Грушевое (Г).

Схематически это можно изобразить так: В — Я — Г.

В этом случае расстояние между крайними сёлами (Вишнёвое и Грушевое) будет равно сумме расстояний между соседними сёлами:

$ВГ = ВЯ + ЯГ = 3,2 \text{ км} + 4,8 \text{ км} = 8,0 \text{ км}$

Ответ: расстояние между сёлами Вишнёвое и Грушевое может быть равно $8,0$ км.

Случай 2: Село Вишнёвое (В) находится между сёлами Яблоневое (Я) и Грушевое (Г).

Схематически это можно изобразить так: Я — В — Г.

В этом случае расстояние между сёлами Вишнёвое и Грушевое будет равно разности расстояний ЯГ и ВЯ:

$ВГ = ЯГ - ВЯ = 4,8 \text{ км} - 3,2 \text{ км} = 1,6 \text{ км}$

(Третий возможный случай, когда село Грушевое (Г) находится между Вишнёвым (В) и Яблоневым (Я), невозможен, так как расстояние ВЯ ($3,2$ км) меньше расстояния ЯГ ($4,8$ км), а значит, отрезок ВЯ не может содержать в себе больший отрезок ЯГ).

Ответ: расстояние между сёлами Вишнёвое и Грушевое может быть равно $1,6$ км.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существует два возможных варианта взаимного расположения сёл на шоссе, которые приводят к разным результатам, задача имеет два решения.

Ответ: задача имеет 2 решения.

1205. В бассейн, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, ежесекундно поступает 0,8 л воды и ежесекундно выливается 0,75 л воды. Длина бассейна равна 4,05 м, ширина — 120 см, глубина — 75 см. За сколько часов наполнится бассейн?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти скорость наполнения бассейна.
Каждую секунду в бассейн поступает 0,8 л воды и выливается 0,75 л. Следовательно, итоговая скорость наполнения бассейна водой составляет разницу между поступающим и выливающимся объемом:
$0,8 \text{ л/с} - 0,75 \text{ л/с} = 0,05 \text{ л/с}$

2. Найти объем бассейна.
Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его объем вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – глубина. Для удобства расчетов и соотнесения с литрами, переведем все размеры в дециметры (дм), так как 1 литр равен 1 кубическому дециметру ($1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$).
Длина: $a = 4,05 \text{ м} = 40,5 \text{ дм}$
Ширина: $b = 120 \text{ см} = 12 \text{ дм}$
Глубина: $c = 75 \text{ см} = 7,5 \text{ дм}$

Теперь вычислим объем бассейна:
$V = 40,5 \text{ дм} \cdot 12 \text{ дм} \cdot 7,5 \text{ дм} = 3645 \text{ дм}^3$
Таким образом, объем бассейна равен 3645 литров.

3. Найти время, необходимое для наполнения бассейна.
Чтобы найти общее время в секундах, нужно разделить объем бассейна на скорость его наполнения:
$t_{\text{секунд}} = \frac{3645 \text{ л}}{0,05 \text{ л/с}} = 72900 \text{ секунд}$

4. Перевести время из секунд в часы.
В одном часе 3600 секунд ($60 \text{ минут} \times 60 \text{ секунд}$). Чтобы найти время в часах, разделим общее количество секунд на 3600:
$t_{\text{часов}} = \frac{72900}{3600} = 20,25 \text{ часа}$

Ответ: 20,25 часа.

1206. В двух мешках было 82,3 кг яблок, причём в одном мешке было на 7,9 кг больше, чем во втором. Сколько килограммов яблок было в каждом мешке?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод. Обозначим массу яблок в меньшем (втором) мешке за $x$ кг.

Согласно условию, в первом мешке было на 7,9 кг яблок больше, следовательно, масса яблок в нем составляет $(x + 7,9)$ кг.

Общая масса яблок в двух мешках равна 82,3 кг. Мы можем составить уравнение, сложив массу яблок в обоих мешках:

$x + (x + 7,9) = 82,3$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

1. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + 7,9 = 82,3$

2. Перенесем 7,9 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 82,3 - 7,9$

$2x = 74,4$

3. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = 74,4 \div 2$

$x = 37,2$

Таким образом, во втором (меньшем) мешке было 37,2 кг яблок.

4. Теперь найдем массу яблок в первом мешке, прибавив 7,9 кг к массе второго мешка:

$37,2 + 7,9 = 45,1$ кг.

Итак, в первом мешке был 45,1 кг яблок.

Проверка: $45,1 + 37,2 = 82,3$ кг. Общая масса верна. $45,1 - 37,2 = 7,9$ кг. Разница масс верна.

Ответ: в первом мешке было 45,1 кг яблок, а во втором — 37,2 кг.

1207.3 За 2 ч турист прошёл 9,6 км, причём в первый час он прошёл на 1,2 км меньше, чем во второй. Найдите, какое расстояние проходил турист за каждый час.

Пусть $x$ км — расстояние, которое турист прошёл в первый час.

По условию, в первый час он прошёл на 1,2 км меньше, чем во второй. Следовательно, во второй час он прошёл на 1,2 км больше, чем в первый. Расстояние, пройденное во второй час, можно выразить как $(x + 1,2)$ км.

Общее расстояние, которое турист прошёл за два часа, составляет 9,6 км. Можем составить уравнение, сложив расстояния за каждый час:

$x + (x + 1,2) = 9,6$

Решим это уравнение:

$2x + 1,2 = 9,6$

Вычтем 1,2 из обеих частей уравнения:

$2x = 9,6 - 1,2$

$2x = 8,4$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = 8,4 / 2$

$x = 4,2$

Итак, в первый час турист прошёл 4,2 км.

Теперь найдём расстояние, пройденное во второй час:

$x + 1,2 = 4,2 + 1,2 = 5,4$ км.

Проверим правильность решения: $4,2$ км + $5,4$ км = $9,6$ км. Общее расстояние совпадает с условием задачи.

Ответ: в первый час турист прошёл 4,2 км, во второй — 5,4 км.

1208. Маша и Вера собрали 17,6 кг груш, причём Маша собрала на 2,7 кг груш больше, чем Вера. Сколько килограммов груш собрала каждая девочка?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть Вера собрала $x$ кг груш. Согласно условию, Маша собрала на 2,7 кг больше, следовательно, количество груш, собранных Машей, составляет $(x + 2,7)$ кг. Общий вес собранных груш равен 17,6 кг. Составим и решим уравнение, чтобы найти вес груш, который собрала каждая девочка.

Сумма груш, собранных Верой и Машей, равна общему весу:

$x + (x + 2,7) = 17,6$

1. Раскроем скобки и объединим слагаемые с переменной $x$:

$2x + 2,7 = 17,6$

2. Перенесём число 2,7 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = 17,6 - 2,7$

$2x = 14,9$

3. Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{14,9}{2}$

$x = 7,45$

Таким образом, Вера собрала 7,45 кг груш.

4. Теперь вычислим, сколько килограммов груш собрала Маша, подставив найденное значение $x$ в выражение $(x + 2,7)$:

$7,45 + 2,7 = 10,15$

Итак, Маша собрала 10,15 кг груш.

5. Проверим полученные результаты:

Общий вес: $7,45 \text{ кг} + 10,15 \text{ кг} = 17,6 \text{ кг}$.

Разница: $10,15 \text{ кг} - 7,45 \text{ кг} = 2,7 \text{ кг}$.

Результаты соответствуют условию задачи.

Ответ: Вера собрала 7,45 кг груш, а Маша — 10,15 кг груш.

1209. Крокодил Гена съел в 4 раза больше мороженого, чем Чебурашка.

Сколько мороженого съел каждый из них, если Чебурашка съел на 2,4 кг меньше, чем крокодил Гена?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество мороженого в килограммах, которое съел Чебурашка.

Из условия задачи известно, что крокодил Гена съел в 4 раза больше мороженого. Следовательно, количество мороженого, которое съел Гена, можно выразить как $4x$ кг.

Также в условии сказано, что Чебурашка съел на 2,4 кг меньше, чем крокодил Гена. Это означает, что разница между количеством мороженого, съеденного Геной, и количеством, съеденным Чебурашкой, равна 2,4 кг.

Составим на основе этих данных уравнение:

$4x - x = 2,4$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$3x = 2,4$

$x = 2,4 \div 3$

$x = 0,8$

Таким образом, мы нашли, что Чебурашка съел 0,8 кг мороженого.

Теперь вычислим, сколько мороженого съел крокодил Гена:

$4x = 4 \cdot 0,8 = 3,2$

Крокодил Гена съел 3,2 кг мороженого.

Проверим, выполняется ли второе условие: $3,2 - 0,8 = 2,4$ кг. Условие выполняется.

Ответ: Чебурашка съел 0,8 кг мороженого, а крокодил Гена — 3,2 кг мороженого.

1210. За два дня путешествия велотуристы преодолели 126 км, причём во второй день они проехали в 3,5 раза больше, чем в первый. Найдите, сколько километров они проезжали каждый день.

Для решения задачи введём переменную. Пусть $x$ км — это расстояние, которое велотуристы проехали в первый день.

Из условия известно, что во второй день они проехали в 3,5 раза больше, чем в первый. Следовательно, расстояние за второй день можно выразить как $3.5 \cdot x$ км.

Общее расстояние за два дня равно 126 км. Мы можем составить уравнение, сложив расстояния, пройденные в первый и второй дни:

$x + 3.5x = 126$

Теперь решим это уравнение. Сначала выполним сложение в левой части:

$4.5x = 126$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4,5:

$x = \frac{126}{4.5}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x = \frac{1260}{45}$

Выполнив деление, получаем:

$x = 28$

Таким образом, мы нашли, что в первый день велотуристы проехали 28 км.

Теперь найдём расстояние, которое они проехали во второй день, умножив расстояние за первый день на 3,5:

$3.5 \cdot 28 = 98$ км.

Проверим полученные результаты: сумма расстояний за два дня должна быть равна 126 км.

$28 + 98 = 126$ км.

Результаты верны.

Ответ: в первый день велотуристы проехали 28 км, а во второй день — 98 км.

1211. Звездолёт «Сириус» пролетает за 1 с на 650 км больше, чем звездолёт «Арктур». Найдите скорость каждого звездолёта (в километрах за секунду), если скорость «Арктура» в 2,3 раза меньше, чем скорость «Сириуса».

Для решения задачи составим уравнение. Обозначим за $x$ скорость звездолёта «Арктур» в километрах в секунду (км/с).

Из условия задачи известно, что звездолёт «Сириус» пролетает за 1 секунду на 650 км больше, чем «Арктур». Это означает, что скорость «Сириуса» на 650 км/с больше скорости «Арктура». Таким образом, скорость «Сириуса» можно выразить как $(x + 650)$ км/с.

Также в условии сказано, что скорость «Арктура» в 2,3 раза меньше, чем скорость «Сириуса». Это равносильно тому, что скорость «Сириуса» в 2,3 раза больше скорости «Арктура». Следовательно, скорость «Сириуса» можно также выразить как $2.3 \cdot x$ км/с.

Поскольку оба выражения описывают скорость «Сириуса», мы можем их приравнять и составить уравнение:

$x + 650 = 2.3x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Перенесём слагаемые с $x$ в одну часть уравнения:

$650 = 2.3x - x$

$650 = 1.3x$

Чтобы найти $x$, разделим 650 на 1,3:

$x = \frac{650}{1.3}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичного знака в знаменателе:

$x = \frac{6500}{13}$

$x = 500$

Таким образом, мы нашли скорость звездолёта «Арктур» — она составляет 500 км/с.

Теперь найдём скорость звездолёта «Сириус», подставив значение $x$ в одно из выражений. Воспользуемся первым:

Скорость «Сириуса» = $x + 650 = 500 + 650 = 1150$ км/с.

Для проверки можно использовать второе выражение:

Скорость «Сириуса» = $2.3 \cdot x = 2.3 \cdot 500 = 1150$ км/с.

Оба вычисления дали один и тот же результат, значит, задача решена верно.

Ответ: скорость звездолёта «Арктур» — 500 км/с, скорость звездолёта «Сириус» — 1150 км/с.

1212. Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф купили строительные материалы для ремонта своих домиков, потратив на их приобретение 7 400 р. Найдите затраты каждого поросёнка, если Ниф-Ниф заплатил на 643 р., а Нуф-Нуф — на 325 р. больше, чем Наф-Наф.

Для решения этой задачи введём переменную. Пусть $x$ рублей — это сумма, которую потратил Наф-Наф.

Исходя из условия, Ниф-Ниф заплатил на 643 рубля больше, чем Наф-Наф. Следовательно, его расходы составляют $(x + 643)$ рубля.

Нуф-Нуф заплатил на 325 рублей больше, чем Наф-Наф. Значит, его расходы равны $(x + 325)$ рубля.

Общая сумма затрат всех трех поросят составляет 7400 рублей. Мы можем составить уравнение, сложив расходы каждого:

$(x + 643) + (x + 325) + x = 7400$

Теперь решим это уравнение поэтапно:

1. Сгруппируем и сложим переменные и константы в левой части уравнения:

$3x + 968 = 7400$

2. Чтобы найти $3x$, вычтем 968 из обеих частей уравнения:

$3x = 7400 - 968$

$3x = 6432$

3. Теперь найдем значение $x$, разделив 6432 на 3:

$x = \frac{6432}{3}$

$x = 2144$

Таким образом, мы нашли, что Наф-Наф потратил 2144 рубля.

Теперь можем рассчитать затраты остальных поросят:

• Затраты Ниф-Нифа: $2144 + 643 = 2787$ рублей.
• Затраты Нуф-Нуфа: $2144 + 325 = 2469$ рублей.

Проверим правильность решения, сложив все три суммы: $2787 + 2469 + 2144 = 7400$ рублей. Сумма верна.

Ответ: Ниф-Ниф потратил 2787 рублей, Нуф-Нуф — 2469 рублей, а Наф-Наф — 2144 рубля.