Страница 279 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1161. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 111 км, в одном направлении одновременно выехали мотоциклист и всадник. Мотоциклист ехал со скоростью 82 км/ч и догнал всадника через 1,5 ч после начала движения. Найдите скорость всадника.

Пусть $v_в$ (в км/ч) — искомая скорость всадника.

Мотоциклист и всадник движутся в одном направлении. Мотоциклист находится позади и догоняет всадника. Скорость, с которой мотоциклист приближается к всаднику, называется скоростью сближения. Она равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_{мото} - v_{всад}$
где $v_{мото}$ — скорость мотоциклиста, равная 82 км/ч.
$v_{сбл} = 82 - v_в$

За время $t = 1,5$ ч мотоциклист полностью сократил начальное расстояние $S = 111$ км. Расстояние, скорость и время связаны формулой $S = v \cdot t$. В данном случае:
$S = v_{сбл} \cdot t$

Подставим известные значения в формулу и решим получившееся уравнение:
$111 = (82 - v_в) \cdot 1,5$

Для начала найдем скорость сближения, разделив расстояние на время:
$v_{сбл} = \frac{S}{t} = \frac{111}{1,5} = 74$ км/ч.

Теперь, зная скорость сближения, мы можем найти скорость всадника:
$74 = 82 - v_в$
$v_в = 82 - 74$
$v_в = 8$

Таким образом, скорость всадника равна 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч.

1162.B В 10 ч из пункта А выехал грузовик со скоростью $42,4 \text{ км/ч}$, а в 13 ч 30 мин из этого пункта в том же направлении выехал мотоциклист со скоростью $78,5 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними в 15 ч 30 мин? В 18 ч?

Для решения задачи необходимо определить, какое расстояние проедет каждое транспортное средство к указанному времени, и затем найти разницу между этими расстояниями.

В 15 ч 30 мин?

1. Найдем, сколько времени будет в пути каждое транспортное средство к 15 ч 30 мин.

Время в пути грузовика: $15 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 10 \text{ ч} = 5 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 5,5 \text{ ч}$.

Время в пути мотоциклиста: $15 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 13 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2 \text{ ч}$.

2. Рассчитаем расстояние, которое проедет каждый из них.

Расстояние, которое проехал грузовик ($S_г$): $S_г = 42,4 \text{ км/ч} \times 5,5 \text{ ч} = 233,2 \text{ км}$.

Расстояние, которое проехал мотоциклист ($S_м$): $S_м = 78,5 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 157 \text{ км}$.

3. Найдем расстояние между ними. Так как грузовик выехал раньше, он будет впереди.

$S = S_г - S_м = 233,2 \text{ км} - 157 \text{ км} = 76,2 \text{ км}$.

Ответ: 76,2 км.

В 18 ч?

1. Найдем, сколько времени будет в пути каждое транспортное средство к 18 ч.

Время в пути грузовика: $18 \text{ ч} - 10 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$.

Время в пути мотоциклиста: $18 \text{ ч} - 13 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 4 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 4,5 \text{ ч}$.

2. Рассчитаем расстояние, которое проедет каждый из них.

Расстояние, которое проехал грузовик ($S_г$): $S_г = 42,4 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 339,2 \text{ км}$.

Расстояние, которое проехал мотоциклист ($S_м$): $S_м = 78,5 \text{ км/ч} \times 4,5 \text{ ч} = 353,25 \text{ км}$.

3. Найдем расстояние между ними. К этому времени мотоциклист уже обгонит грузовик.

$S = S_м - S_г = 353,25 \text{ км} - 339,2 \text{ км} = 14,05 \text{ км}$.

Ответ: 14,05 км.

1463. Теплоход прошёл 237 км против течения реки за 6 ч. Какой путь он пройдёт в стоячей воде за 8 ч, если скорость течения равна $1.5 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём скорость теплохода против течения реки.
Скорость равна расстоянию, делённому на время. $v_{против} = \frac{S}{t} = \frac{237 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 39.5 \text{ км/ч}$.

2. Найдём собственную скорость теплохода.
Скорость теплохода против течения — это разность его собственной скорости и скорости течения реки ($v_{против} = v_{собст} - v_{теч}$). Чтобы найти собственную скорость, нужно к скорости против течения прибавить скорость течения. $v_{собст} = v_{против} + v_{теч} = 39.5 \text{ км/ч} + 1.5 \text{ км/ч} = 41 \text{ км/ч}$. Собственная скорость теплохода — это его скорость в стоячей воде.

3. Найдём путь, который теплоход пройдёт в стоячей воде за 8 часов.
Для этого умножим собственную скорость теплохода на время в пути. $S = v_{собст} \times t = 41 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 328 \text{ км}$.

Ответ: 328 км.

1164. Катер прошёл по течению реки $119 \text{ км}$ за $3,5 \text{ ч}$. Какое расстояние пройдёт он против течения реки за $5 \text{ ч}$, если скорость катера в стоячей воде равна $32,8 \text{ км/ч}$?

1. Найдем скорость катера по течению реки.

Для этого разделим расстояние, пройденное катером по течению, на затраченное время:

$v_{\text{по теч.}} = \frac{S}{t} = \frac{119 \text{ км}}{3,5 \text{ ч}} = 34 \text{ км/ч}$.

2. Найдем скорость течения реки.

Скорость течения ($v_{\text{теч.}}$) равна разности между скоростью катера по течению и его собственной скоростью в стоячей воде ($v_{\text{собст.}}$):

$v_{\text{теч.}} = v_{\text{по теч.}} - v_{\text{собст.}} = 34 \text{ км/ч} - 32,8 \text{ км/ч} = 1,2 \text{ км/ч}$.

3. Найдем скорость катера против течения реки.

Скорость против течения ($v_{\text{против теч.}}$) равна разности собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{\text{против теч.}} = v_{\text{собст.}} - v_{\text{теч.}} = 32,8 \text{ км/ч} - 1,2 \text{ км/ч} = 31,6 \text{ км/ч}$.

4. Найдем расстояние, которое катер пройдет против течения за 5 часов.

Для этого умножим скорость катера против течения на указанное время:

$S_{\text{против теч.}} = v_{\text{против теч.}} \cdot t = 31,6 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 158 \text{ км}$.

Ответ: 158 км.

1165. Скорость теплохода по течению реки равна 29,6 км/ч, а против течения – 24,8 км/ч. Найдите скорость течения и собственную скорость теплохода.

Пусть $v_с$ — собственная скорость теплохода, а $v_т$ — скорость течения реки.

Скорость теплохода по течению реки складывается из его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_с + v_т$.
Скорость теплохода против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_с - v_т$.

По условию задачи, имеем систему уравнений:
$v_с + v_т = 29,6$
$v_с - v_т = 24,8$

Чтобы найти собственную скорость теплохода ($v_с$), сложим эти два уравнения:
$(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 29,6 + 24,8$
$2v_с = 54,4$
$v_с = 54,4 / 2$
$v_с = 27,2$ (км/ч)

Теперь найдем скорость течения ($v_т$). Для этого подставим найденное значение $v_с$ в первое уравнение:
$27,2 + v_т = 29,6$
$v_т = 29,6 - 27,2$
$v_т = 2,4$ (км/ч)

Проверим:
Скорость по течению: $27,2 + 2,4 = 29,6$ км/ч.
Скорость против течения: $27,2 - 2,4 = 24,8$ км/ч.
Все верно.

Ответ: скорость течения реки — 2,4 км/ч, собственная скорость теплохода — 27,2 км/ч.

1166. Собственная скорость катера равна $28 \text{ км/ч}$, а скорость течения — $1.8 \text{ км/ч}$. Сначала катер шёл $1.4 \text{ ч}$ против течения, а потом $0.8 \text{ ч}$ по течению. Какой путь прошёл катер за всё это время?

Для нахождения общего пути, пройденного катером, необходимо выполнить следующие действия: рассчитать путь, пройденный против течения, затем путь, пройденный по течению, и, наконец, сложить полученные результаты.

1. Вычислим скорость катера при движении против течения. Для этого от собственной скорости катера отнимем скорость течения:

$V_{против} = V_{соб} - V_{теч} = 28 - 1.8 = 26.2$ км/ч.

Теперь найдём расстояние, которое катер прошёл против течения за 1,4 часа:

$S_{против} = V_{против} \cdot t_{против} = 26.2 \cdot 1.4 = 36.68$ км.

2. Вычислим скорость катера при движении по течению. Для этого к собственной скорости катера прибавим скорость течения:

$V_{по} = V_{соб} + V_{теч} = 28 + 1.8 = 29.8$ км/ч.

Теперь найдём расстояние, которое катер прошёл по течению за 0,8 часа:

$S_{по} = V_{по} \cdot t_{по} = 29.8 \cdot 0.8 = 23.84$ км.

3. Сложим расстояния, пройденные против течения и по течению, чтобы найти общий путь:

$S_{общий} = S_{против} + S_{по} = 36.68 + 23.84 = 60.52$ км.

Ответ: $60.52$ км.

1167.От двух пристаней навстречу друг другу одновременно отчалили два катера. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если собственная скорость каждого катера равна $24,5\text{ км/ч}$, расстояние между пристанями — $171,5\text{ км}$, а скорость течения — $1,6\text{ км/ч}$? Есть ли в условии задачи лишние данные?

Через сколько часов после начала движения они встретятся?

Для того чтобы найти время встречи двух катеров, нужно сначала определить их скорость сближения. Обозначим собственную скорость катеров как $v_{соб}$ и скорость течения реки как $v_{теч}$.

Один катер движется по течению, поэтому его скорость относительно берега будет равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_1 = v_{соб} + v_{теч}$

Второй катер движется против течения, его скорость относительно берега будет равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_2 = v_{соб} - v_{теч}$

Так как катера движутся навстречу друг другу, их скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = (v_{соб} + v_{теч}) + (v_{соб} - v_{теч}) = 2 \cdot v_{соб}$

Подставим в формулу значение собственной скорости катеров, которое по условию равно 24,5 км/ч:
$v_{сбл} = 2 \cdot 24,5 = 49$ км/ч.

Теперь, зная расстояние между пристанями $S = 171,5$ км, мы можем найти время $t$, через которое катера встретятся, разделив расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{171,5}{49} = 3,5$ ч.

Ответ: катера встретятся через 3,5 часа.

Есть ли в условии задачи лишние данные?

Да, в условии задачи есть лишние данные. Как показано в решении выше, скорость сближения катеров, движущихся по реке навстречу друг другу, зависит только от их собственных скоростей:
$v_{сбл} = (v_{соб} + v_{теч}) + (v_{соб} - v_{теч}) = 2 \cdot v_{соб}$

Скорость течения $v_{теч}$ прибавляется к скорости одного катера и вычитается из скорости другого, поэтому при сложении скоростей она взаимоуничтожается. Таким образом, значение скорости течения (1,6 км/ч) не требуется для решения задачи.

Ответ: да, в условии задачи есть лишние данные — скорость течения (1,6 км/ч).

1168.От двух пристаней навстречу друг другу одновременно отчалили лодка и теплоход. Лодка, собственная скорость которой равна $10,8 \text{ км/ч}$, двигалась по течению реки, а теплоход, собственная скорость которого — $30,2 \text{ км/ч}$, двигался против течения. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между пристанями равно $205 \text{ км}$?

Для решения этой задачи необходимо найти скорость сближения лодки и теплохода. Это общая скорость, с которой они преодолевают расстояние между собой.

1. Найдем скорость лодки по течению.
Собственная скорость лодки — $10,8$ км/ч. Она движется по течению, поэтому скорость течения реки прибавляется к её собственной скорости. Пусть скорость течения реки равна $V_{теч}$ км/ч.Тогда скорость лодки относительно берега: $V_{лодки} = (10,8 + V_{теч})$ км/ч.

2. Найдем скорость теплохода против течения.
Собственная скорость теплохода — $30,2$ км/ч. Он движется против течения, поэтому скорость течения вычитается из его собственной скорости.Тогда скорость теплохода относительно берега: $V_{теплохода} = (30,2 - V_{теч})$ км/ч.

3. Найдем скорость сближения.
Так как лодка и теплоход движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей относительно берега.$V_{сближения} = V_{лодки} + V_{теплохода} = (10,8 + V_{теч}) + (30,2 - V_{теч})$Скорость течения ($V_{теч}$) взаимно уничтожается:$V_{сближения} = 10,8 + 30,2 = 41$ км/ч.

4. Найдем время до встречи.
Чтобы найти время, нужно разделить общее расстояние на скорость сближения. Расстояние между пристанями равно $205$ км.$t = \frac{S}{V_{сближения}} = \frac{205}{41} = 5$ часов.

Ответ: лодка и теплоход встретятся через 5 часов после начала движения.

1169. Рыбак переправлялся через реку на лодке со скоростью $20\ \text{м}/\text{мин}$.

На какое расстояние снесёт лодку, если ширина реки $150\ \text{м}$, а скорость течения равна $0,2\ \text{м}/\text{с}$?

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть движение лодки как сумму двух независимых движений: движение перпендикулярно берегу (за счет собственной скорости лодки) и движение параллельно берегу (за счет скорости течения реки). Расстояние, на которое снесет лодку, зависит от времени, которое она проведет на воде, и скорости течения.

1. Сначала найдем время, за которое лодка пересечет реку. Для этого необходимо привести все величины к единой системе измерения, например, к метрам в секунду (м/с).

Собственная скорость лодки дана в метрах в минуту:

$v_{лодки} = 20 \text{ м/мин}$

Переведем ее в м/с, зная, что в 1 минуте 60 секунд:

$v_{лодки} = \frac{20 \text{ м}}{60 \text{ с}} = \frac{1}{3} \text{ м/с}$

Ширина реки $d = 150 \text{ м}$.

Время $t$, необходимое для пересечения реки, определяется ее шириной и скоростью лодки, направленной перпендикулярно берегу:

$t = \frac{d}{v_{лодки}} = \frac{150 \text{ м}}{\frac{1}{3} \text{ м/с}} = 150 \times 3 \text{ с} = 450 \text{ с}$

2. Теперь, зная время, которое лодка находилась в движении, и скорость течения реки, можно найти расстояние, на которое ее снесло вниз по течению.

Скорость течения реки $v_{течения} = 0.2 \text{ м/с}$.

Расстояние сноса $S$ вычисляется по формуле:

$S = v_{течения} \times t$

Подставим известные значения:

$S = 0.2 \text{ м/с} \times 450 \text{ с} = 90 \text{ м}$

Ответ: 90 м.

1170. На спуск с горы турист тратит 0,75 времени, нужного ему для подъёма на эту гору. С горы турист спускается за 1,2 ч, а поднимается со скоростью 7,5 м/мин. Какова высота горы, на которую поднимается турист?

1. Найдём время, которое турист тратит на подъём.

Обозначим время подъёма на гору как $t_{подъема}$, а время спуска — как $t_{спуска}$.
Из условия задачи известно, что время спуска составляет 0,75 от времени подъёма. Математически это можно записать так:
$t_{спуска} = 0,75 \cdot t_{подъема}$
Также дано, что время спуска составляет 1,2 часа: $t_{спуска} = 1,2$ ч.
Подставим известное значение в формулу и выразим время подъёма:
$1,2 = 0,75 \cdot t_{подъема}$
$t_{подъема} = \frac{1,2}{0,75} = \frac{120}{75} = 1,6$ ч.
Таким образом, на подъём турист тратит 1,6 часа.

2. Рассчитаем высоту горы.

Высота горы — это расстояние, пройденное туристом при подъёме. Расстояние ($h$) находится по формуле $h = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.
Скорость подъёма туриста дана в метрах в минуту ($v_{подъема} = 7,5$ м/мин). Для корректного расчёта необходимо перевести время подъёма из часов в минуты.
$t_{подъема} = 1,6 \text{ ч} \cdot 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 96$ мин.
Теперь можем вычислить высоту горы:
$h = v_{подъема} \cdot t_{подъема} = 7,5 \frac{\text{м}}{\text{мин}} \cdot 96 \text{ мин} = 720$ м.

Ответ: 720 м.

1171. Машинист скорого поезда, движущегося со скоростью 56 км/ч, заметил, что встречный товарный поезд, который двигался со скоростью 34 км/ч, прошёл мимо него за 15 с. Какова длина товарного поезда?

Для того чтобы найти длину товарного поезда, необходимо определить, какое расстояние он проходит относительно машиниста скорого поезда за указанное время. Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость сближения поездов.

Скорость скорого поезда $v_1 = 56$ км/ч.

Скорость товарного поезда $v_2 = 34$ км/ч.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 56 \text{ км/ч} + 34 \text{ км/ч} = 90 \text{ км/ч}$

2. Переведем скорость сближения в метры в секунду (м/с), так как время дано в секундах.

В 1 километре 1000 метров, а в 1 часе 3600 секунд.

$v_{сбл} = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{90000}{3600} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 25 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

3. Найдем длину товарного поезда.

Длина товарного поезда ($L$) — это расстояние, которое он прошел мимо машиниста со скоростью сближения за время $t = 15$ с. Длина находится по формуле расстояния: $L = v_{сбл} \cdot t$.

$L = 25 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 15 \text{ с} = 375 \text{ м}$

Ответ: 375 м.