Страница 284 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1213. За три дня продали 280 кг помидоров, причём в первый день продали в 2,8 раза меньше, чем во второй, и в 4,2 раза меньше, чем в третий. Сколько килограммов помидоров продавали каждый день?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ кг — это количество помидоров, которое продали в первый день.

Из условия задачи известно, что в первый день продали в 2,8 раза меньше помидоров, чем во второй. Это означает, что во второй день продали в 2,8 раза больше, чем в первый. Таким образом, количество помидоров, проданных во второй день, можно выразить как $2,8x$ кг.

Также сказано, что в первый день продали в 4,2 раза меньше, чем в третий. Следовательно, в третий день продали в 4,2 раза больше, чем в первый. Количество помидоров, проданных в третий день, составляет $4,2x$ кг.

Общее количество проданных за три дня помидоров равно 280 кг. Мы можем составить уравнение, сложив количество помидоров, проданных в каждый из трех дней:

$x + 2,8x + 4,2x = 280$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все коэффициенты при $x$ в левой части:

$(1 + 2,8 + 4,2)x = 280$

$8x = 280$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$x = \frac{280}{8}$

$x = 35$

Таким образом, в первый день было продано 35 кг помидоров.

Теперь, зная $x$, найдем количество помидоров, проданных во второй и третий дни.

Количество помидоров, проданных во второй день:

$2,8x = 2,8 \cdot 35 = 98$ кг.

Количество помидоров, проданных в третий день:

$4,2x = 4,2 \cdot 35 = 147$ кг.

Проверим, что общая масса проданных помидоров равна 280 кг:

$35 + 98 + 147 = 133 + 147 = 280$ кг.

Расчеты верны.

Ответ: в первый день продали 35 кг помидоров, во второй — 98 кг, а в третий — 147 кг.

1214. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми равно 960 км. Через 6,5 ч после начала движения они ещё не встретились и расстояние между ними было 115 км. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости второго.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость одного (более медленного) автомобиля. Тогда, согласно условию, скорость второго автомобиля на 10 км/ч больше и составляет $(x + 10)$ км/ч.

Автомобили движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения (скорость, с которой уменьшается расстояние между ними) равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = x + (x + 10) = 2x + 10$ км/ч.

Изначально расстояние между городами составляло $960$ км. Через $6,5$ часа движения расстояние между автомобилями сократилось до $115$ км. Это означает, что за это время они вместе преодолели расстояние:
$S_{пройденное} = 960 - 115 = 845$ км.

Пройденное ими расстояние также можно вычислить, умножив скорость сближения на время в пути. На основании этого составим уравнение:
$(2x + 10) \cdot 6,5 = 845$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$2x + 10 = 845 / 6,5$
$2x + 10 = 130$
$2x = 130 - 10$
$2x = 120$
$x = 120 / 2$
$x = 60$

Таким образом, мы нашли скорость более медленного автомобиля — она составляет $60$ км/ч.
Теперь найдем скорость второго (более быстрого) автомобиля:
$x + 10 = 60 + 10 = 70$ км/ч.

Ответ: скорость одного автомобиля 60 км/ч, а другого — 70 км/ч.

1215. Из двух городов, расстояние между которыми равно $112\text{ км}$, навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Найдите скорость каждого из них, если они встретились через $1,6\text{ ч}$ после выезда и скорость мотоциклиста в $4$ раза больше скорости велосипедиста.

Для решения задачи обозначим скорость велосипедиста как $x$ км/ч. Согласно условию, скорость мотоциклиста в 4 раза больше, следовательно, она равна $4x$ км/ч.

Поскольку мотоциклист и велосипедист движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сближения} = v_{велосипедиста} + v_{мотоциклиста} = x + 4x = 5x$ (км/ч).

Общее расстояние $S$, которое они преодолели до встречи, равно расстоянию между городами, то есть 112 км. Время в пути до встречи $t$ составляет 1,6 ч.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим уравнение:

$S = v_{сближения} \cdot t$

$112 = (5x) \cdot 1,6$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$112 = 8x$

$x = \frac{112}{8}$

$x = 14$

Таким образом, скорость велосипедиста равна 14 км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:

$4x = 4 \cdot 14 = 56$ (км/ч).

Ответ: скорость велосипедиста равна 14 км/ч, а скорость мотоциклиста – 56 км/ч.

1216.Собственная скорость лодки в 8 раз больше скорости течения реки.

Найдите скорость течения и собственную скорость лодки, если:

1) за 5 ч движения против течения лодка прошла 42 км;

2) за 4 ч движения по течению реки лодка прошла 50,4 км.

Пусть $v_т$ — скорость течения реки в км/ч, а $v_л$ — собственная скорость лодки в км/ч.
По условию задачи, собственная скорость лодки в 8 раз больше скорости течения реки, что можно записать в виде уравнения:
$v_л = 8 \cdot v_т$

1) за 5 ч движения против течения лодка прошла 42 км

Скорость лодки при движении против течения $v_{против}$ равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{против} = v_л - v_т$.
Зная расстояние (42 км) и время (5 ч), можем найти скорость движения против течения:
$v_{против} = \frac{42 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 8,4 \text{ км/ч}$.
Таким образом, получаем второе уравнение: $v_л - v_т = 8,4$.
Теперь решим систему из двух уравнений:
$v_л = 8 \cdot v_т$
$v_л - v_т = 8,4$
Подставим выражение для $v_л$ из первого уравнения во второе:
$(8 \cdot v_т) - v_т = 8,4$
$7 \cdot v_т = 8,4$
$v_т = \frac{8,4}{7} = 1,2$ км/ч.
Теперь, зная скорость течения, найдем собственную скорость лодки:
$v_л = 8 \cdot v_т = 8 \cdot 1,2 = 9,6$ км/ч.
Ответ: скорость течения реки — 1,2 км/ч, собственная скорость лодки — 9,6 км/ч.

2) за 4 ч движения по течению реки лодка прошла 50,4 км

Скорость лодки при движении по течению $v_{по}$ равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{по} = v_л + v_т$.
Найдем скорость движения по течению, используя данные из условия (50,4 км за 4 ч):
$v_{по} = \frac{50,4 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 12,6 \text{ км/ч}$.
Получаем второе уравнение для этой части задачи: $v_л + v_т = 12,6$.
Составим и решим систему уравнений:
$v_л = 8 \cdot v_т$
$v_л + v_т = 12,6$
Подставим первое уравнение во второе:
$(8 \cdot v_т) + v_т = 12,6$
$9 \cdot v_т = 12,6$
$v_т = \frac{12,6}{9} = 1,4$ км/ч.
Теперь найдем собственную скорость лодки:
$v_л = 8 \cdot v_т = 8 \cdot 1,4 = 11,2$ км/ч.
Ответ: скорость течения реки — 1,4 км/ч, собственная скорость лодки — 11,2 км/ч.

1217.Сумма длины и ширины прямоугольника равна 12 дм, причём ширина на 3,2 дм меньше длины. Вычислите площадь прямоугольника.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $a$ — длина прямоугольника, а $b$ — его ширина.

Исходя из условия, составим систему уравнений:

1. Сумма длины и ширины равна 12 дм:
$a + b = 12$

2. Ширина на 3,2 дм меньше длины:
$b = a - 3.2$

Теперь решим эту систему. Подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое:
$a + (a - 3.2) = 12$
$2a - 3.2 = 12$
$2a = 12 + 3.2$
$2a = 15.2$
$a = 15.2 / 2$
$a = 7.6$ (дм) — это длина прямоугольника.

Зная длину, найдем ширину:
$b = 7.6 - 3.2$
$b = 4.4$ (дм) — это ширина прямоугольника.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину:
$S = a \cdot b$
$S = 7.6 \cdot 4.4 = 33.44$ (дм²)

Ответ: 33,44 дм².

1218. Ёжик Остроколючкин собрал 49 кг грибов. Белых грибов оказалось в 8 раз больше, чем маслят, а маслят — в 5 раз меньше, чем опят. Ёжик отнёс грибы на рынок и продал их: белые грибы — по 125 р. за килограмм, маслята — по 100 р., а опята — по 68 р. Сколько денег заработал Остроколючкин?

Для того чтобы узнать, сколько денег заработал Остроколючкин, нужно сначала найти массу каждого вида грибов, а затем вычислить их общую стоимость.

1. Находим массу каждого вида грибов.

Пусть масса маслят равна $x$ кг. Тогда, согласно условию:

• Масса белых грибов (в 8 раз больше, чем маслят) составляет $8x$ кг.
• Масса опят (маслят в 5 раз меньше, значит, опят в 5 раз больше) составляет $5x$ кг.

Общая масса всех грибов — 49 кг. Составим и решим уравнение:

$x + 8x + 5x = 49$

$14x = 49$

$x = 49 \div 14 = 3.5$

Таким образом, масса маслят — 3,5 кг.

Теперь вычислим массу остальных грибов:

• Белые грибы: $8 \times 3.5 = 28$ кг.
• Опята: $5 \times 3.5 = 17.5$ кг.

Проверка: $3.5 + 28 + 17.5 = 49$ кг. Массы найдены верно.

2. Рассчитываем общую выручку.

Умножим массу каждого вида грибов на его цену и сложим полученные значения:

• Стоимость белых грибов: $28 \text{ кг} \times 125 \text{ р./кг} = 3500$ р.
• Стоимость маслят: $3.5 \text{ кг} \times 100 \text{ р./кг} = 350$ р.
• Стоимость опят: $17.5 \text{ кг} \times 68 \text{ р./кг} = 1190$ р.

Общая заработанная сумма равна:

$3500 + 350 + 1190 = 5040$ р.

Ответ: Остроколючкин заработал 5040 рублей.

1219.В двух мешках было 74,8 кг сахара. Если из одного мешка пересыпать во второй 6,3 кг, то в обоих мешках сахара станет поровну. Сколько килограммов сахара было в каждом мешке?

Для решения этой задачи, сначала определим, сколько сахара стало в каждом мешке после того, как его количество уравняли. Так как общая масса сахара не изменилась, мы можем разделить ее пополам:

$74,8 \text{ кг} : 2 = 37,4 \text{ кг}$

Итак, после пересыпания в каждом мешке стало по 37,4 кг сахара.

Теперь найдем первоначальное количество сахара в каждом мешке.

В тот мешок, из которого пересыпали 6,3 кг, нужно "вернуть" это количество, чтобы узнать, сколько там было изначально:

$37,4 \text{ кг} + 6,3 \text{ кг} = 43,7 \text{ кг}$

Из того мешка, в который досыпали 6,3 кг, нужно "забрать" это количество, чтобы узнать, сколько там было изначально:

$37,4 \text{ кг} - 6,3 \text{ кг} = 31,1 \text{ кг}$

Проверим, совпадает ли общая масса с условием задачи:

$43,7 \text{ кг} + 31,1 \text{ кг} = 74,8 \text{ кг}$

Все верно.

Ответ: в одном мешке было 43,7 кг сахара, а в другом — 31,1 кг.

1220.Вася и Маша собрали вместе $26.2$ кг клубники. Вася отдал Маше $3.5$ кг своей клубники, после чего у него осталось на $2.4$ кг клубники больше, чем стало у Маши. Сколько килограммов клубники собрала Маша?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество килограммов клубники, которое изначально собрала Маша, а $y$ — количество килограммов, которое собрал Вася.

Согласно условию, вместе они собрали 26,2 кг клубники. Это можно записать в виде уравнения:
$x + y = 26,2$

Затем Вася отдал Маше 3,5 кг клубники. После этого у Маши стало $(x + 3,5)$ кг, а у Васи стало $(y - 3,5)$ кг.

По условию, после этого у Васи осталось на 2,4 кг клубники больше, чем стало у Маши. Составим второе уравнение:
$(y - 3,5) = (x + 3,5) + 2,4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $x + y = 26,2$
2) $y - 3,5 = x + 3,5 + 2,4$

Упростим второе уравнение:
$y - 3,5 = x + 5,9$
$y = x + 5,9 + 3,5$
$y = x + 9,4$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:
$x + (x + 9,4) = 26,2$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$2x + 9,4 = 26,2$
$2x = 26,2 - 9,4$
$2x = 16,8$
$x = 16,8 / 2$
$x = 8,4$

Таким образом, Маша изначально собрала 8,4 кг клубники.

Ответ: 8,4 кг.

1221. Если в некоторой десятичной дроби перенести запятую влево через две цифры, то она уменьшится на 158,4. Найдите эту дробь.

Пусть искомая десятичная дробь равна $x$.

Перенос запятой влево через две цифры равносилен делению числа на 100. Таким образом, новое число будет равно $\frac{x}{100}$.

Согласно условию задачи, после переноса запятой дробь уменьшилась на 158,4. Это можно записать в виде уравнения:

$x - \frac{x}{100} = 158,4$

Для решения этого уравнения, приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{100x}{100} - \frac{x}{100} = 158,4$

$\frac{99x}{100} = 158,4$

Теперь выразим $x$. Для этого умножим обе части уравнения на 100:

$99x = 158,4 \times 100$

$99x = 15840$

Разделим обе части на 99, чтобы найти $x$:

$x = \frac{15840}{99}$

$x = 160$

Проверка:

Искомая дробь — 160. Перенесем в ней запятую влево на два знака, получим 1,60.

Найдем разность между исходным и новым числом: $160 - 1,6 = 158,4$.

Условие задачи выполняется.

Ответ: 160.