Страница 287 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Огород прямоугольной формы имеет длину 40 м и ширину 30 м.

Клевер занимает $\frac{5}{12}$ огорода. Какова площадь участка огорода, засаженного клевером?

А) 0,5 а Б) 5 а В) 50 а Г) 500 а

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить три действия: найти общую площадь огорода, вычислить площадь, занятую клевером, и перевести результат в нужные единицы измерения (ары).

1. Находим общую площадь огорода.
Огород имеет прямоугольную форму, поэтому его площадь ($S$) вычисляется как произведение длины на ширину.
$S_{огорода} = 40 \text{ м} \times 30 \text{ м} = 1200 \text{ м}^2$.

2. Находим площадь участка, засаженного клевером.
По условию, клевер занимает $\frac{5}{12}$ от всей площади огорода. Чтобы найти эту часть, нужно общую площадь умножить на дробь.
$S_{клевера} = 1200 \text{ м}^2 \times \frac{5}{12} = \frac{1200 \times 5}{12} \text{ м}^2 = 100 \times 5 \text{ м}^2 = 500 \text{ м}^2$.

3. Переводим площадь из квадратных метров в ары.
В вариантах ответов площадь указана в арах (сотка, сокращенно "а"). Соотношение между этими единицами: $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
$S_{клевера \, в \, арах} = \frac{500 \text{ м}^2}{100} = 5 \text{ а}$.

Таким образом, площадь участка, засаженного клевером, равна 5 а, что соответствует варианту Б).

Ответ: Б) 5 а

10. Какая из данных десятичных дробей наименьшая?

А) $18,72$

Б) $18,722$

В) $18,688$

Г) $18,691$

Чтобы определить, какая из данных десятичных дробей наименьшая, необходимо сравнить их поразрядно, начиная со старших разрядов (целой части) и двигаясь вправо к младшим разрядам (дробной части).

Рассмотрим предложенные варианты: А) 18,72, Б) 18,722, В) 18,688, Г) 18,691.

Шаг 1: Сравнение целых частей.

У всех четырех чисел целая часть одинакова и равна 18. Следовательно, для определения наименьшего числа нужно сравнить их дробные части.

Шаг 2: Сравнение разряда десятых.

Сравним цифры, стоящие в первом разряде после запятой (в разряде десятых). У дробей 18,72 и 18,722 это цифра 7. У дробей 18,688 и 18,691 это цифра 6. Поскольку $6 < 7$, наименьшая дробь должна быть одной из двух последних: 18,688 или 18,691.

Шаг 3: Сравнение разряда сотых.

Теперь сравним оставшиеся две дроби: 18,688 и 18,691. Их целые части и разряды десятых совпадают. Сравним следующий разряд — сотые. У дроби 18,688 в разряде сотых стоит цифра 8, а у дроби 18,691 — цифра 9. Так как $8 < 9$, то дробь 18,688 меньше, чем 18,691.

Таким образом, наименьшая из всех представленных десятичных дробей — это 18,688.

Ответ: В) 18,688

11. Какое число должно стоять в конце цепочки вычислений?

$1.4 + 2.6 - 1.3 - 0.4 + 0.25$

А) $2.55$

Б) $2.85$

В) $5.15$

Г) $3.35$

Для того чтобы найти число, которое должно стоять в конце цепочки вычислений, необходимо последовательно выполнить все арифметические действия, указанные на схеме.

Шаг 1: Сложение

К начальному числу 1,4 прибавляем 2,6.

$1,4 + 2,6 = 4,0$

Шаг 2: Вычитание

Из полученного на первом шаге числа 4,0 вычитаем 1,3.

$4,0 - 1,3 = 2,7$

Шаг 3: Вычитание

Из результата второго шага, числа 2,7, вычитаем 0,4.

$2,7 - 0,4 = 2,3$

Шаг 4: Сложение

К результату третьего шага, числу 2,3, прибавляем 0,25.

$2,3 + 0,25 = 2,55$

В результате выполнения всей цепочки вычислений получается число 2,55.

Ответ: 2,55

12. Трое друзей купили набор инструментов за 2 400 р. Алёша внёс $30 \%$ стоимости покупки, а Боря и Вася заплатили поровну. Сколько рублей заплатил Боря?

А) 720 р.

Б) 640 р.

В) 840 р.

Г) 880 р.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Рассчитаем сумму, которую заплатил Алёша.
Из условия известно, что Алёша внёс 30% от общей стоимости набора инструментов, которая составляет 2400 рублей. Чтобы найти эту сумму, нужно общую стоимость умножить на долю Алёши:
$2400 \cdot \frac{30}{100} = 24 \cdot 30 = 720$ рублей.

2. Определим оставшуюся сумму, которую заплатили Боря и Вася вместе.
Для этого вычтем из общей стоимости сумму, которую внёс Алёша:
$2400 - 720 = 1680$ рублей.

3. Рассчитаем, сколько заплатил Боря.
По условию, Боря и Вася заплатили оставшуюся сумму поровну. Следовательно, для нахождения суммы, которую заплатил Боря, нужно разделить остаток на двоих:
$1680 \div 2 = 840$ рублей.

Таким образом, Боря заплатил 840 рублей, что соответствует варианту В).

Ответ: 840 р.

1. Сколько существует четырёхзначных чисел?

А) 9 999

Б) 8 999

В) 9 000

Г) 8 000

Для того чтобы найти количество всех существующих четырёхзначных чисел, можно применить два различных подхода.

Способ 1: Арифметический подсчёт

Наименьшим четырёхзначным числом является 1000, а наибольшим — 9999. Чтобы найти количество всех чисел в этом диапазоне, можно из наибольшего числа (9999) вычесть все числа, которые предшествуют наименьшему (то есть все числа до 999 включительно).

Количество = $9999 - 999 = 9000$.

Также можно использовать формулу для нахождения количества целых чисел в отрезке от $a$ до $b$ включительно: $N = b - a + 1$.

Для четырёхзначных чисел $a = 1000$ и $b = 9999$:

$N = 9999 - 1000 + 1 = 8999 + 1 = 9000$.

Способ 2: Комбинаторный метод (правило произведения)

Четырёхзначное число состоит из четырёх цифр. Рассмотрим количество возможных вариантов для каждой позиции (разряда) в числе:

• На месте тысяч (первая цифра) может стоять любая цифра от 1 до 9. Ноль на этом месте стоять не может, иначе число не будет четырёхзначным. Таким образом, есть 9 вариантов.
• На месте сотен (вторая цифра) может стоять любая цифра от 0 до 9. Таким образом, есть 10 вариантов.
• На месте десятков (третья цифра) также может стоять любая цифра от 0 до 9, что даёт 10 вариантов.
• На месте единиц (четвёртая цифра) также может стоять любая цифра от 0 до 9, что даёт 10 вариантов.

Чтобы найти общее число возможных комбинаций, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$.

Оба способа приводят к одинаковому результату. Таким образом, существует 9000 четырёхзначных чисел.

Ответ: В) 9 000

2. На луче $AB$, изображённом на рисунке, отметили точки $M, K, P$. Сколько отрезков при этом образовалось?

А) 3 отрезка

Б) 4 отрезка

В) 5 отрезков

Г) 6 отрезков

На луче AB отмечены 4 точки: A, M, K и P. Отрезок определяется двумя точками, которые являются его концами. Чтобы найти общее количество отрезков, необходимо посчитать все возможные уникальные пары точек.

Давайте systematically перечислим все отрезки:

1. Отрезки, начинающиеся в точке A: AM, AK, AP. (3 отрезка)

2. Отрезки, начинающиеся в точке M (не считая уже названный отрезок AM): MK, MP. (2 отрезка)

3. Отрезок, начинающийся в точке K (не считая уже названные AK и MK): KP. (1 отрезок)

Точка P является конечной для уже перечисленных отрезков, поэтому новых отрезков, начинающихся в ней, нет.

Суммируем количество найденных отрезков: $3 + 2 + 1 = 6$.

Другой способ решения — использовать комбинаторику. Нам нужно выбрать 2 точки из 4 имеющихся, чтобы образовать отрезок. Порядок точек не имеет значения (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA). Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (количество точек) и $k=2$ (количество точек в отрезке).

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Таким образом, всего образовалось 6 отрезков.

Ответ: Г) 6 отрезков

3. Какое число надо поставить вместо звёздочки, чтобы корнем уравнения $70 - x = * + 12$ было число 28?

А) 30

Б) 12

В) 40

Г) такого числа не существует

По условию задачи, число 28 является корнем (решением) уравнения $70 - x = * + 12$. Это означает, что если мы подставим значение $x = 28$ в уравнение, то получим верное числовое равенство.

Давайте обозначим неизвестное число, которое скрывается за звёздочкой, как $y$. Тогда наше уравнение примет вид: $70 - x = y + 12$

Теперь подставим в это уравнение известный корень $x = 28$: $70 - 28 = y + 12$

Выполним вычитание в левой части уравнения: $42 = y + 12$

Теперь у нас есть простое уравнение, из которого нужно найти $y$. Чтобы найти неизвестное слагаемое ($y$), нужно из суммы (42) вычесть известное слагаемое (12): $y = 42 - 12$ $y = 30$

Таким образом, число, которое нужно поставить вместо звёздочки, — это 30. Этот вариант соответствует пункту А).

Ответ: А) 30.

4. Значение какого выражения является корнем уравнения

$30 - x = 6$?

А) $30 + 6$

Б) $30 : 6$

В) $30 \cdot 6$

Г) $30 - 6$

Чтобы определить, значение какого выражения является корнем уравнения, сначала необходимо найти корень (решение) самого уравнения.

Дано уравнение: $30 - x = 6$.

В этом уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (30) вычесть разность (6).

$x = 30 - 6$

$x = 24$

Таким образом, корень уравнения равен 24. Теперь необходимо найти, значение какого из предложенных выражений равно 24.

А) 30 + 6

Вычислим значение этого выражения: $30 + 6 = 36$.

Поскольку $36 \neq 24$, это неверный вариант.

Б) 30 : 6

Вычислим значение этого выражения: $30 : 6 = 5$.

Поскольку $5 \neq 24$, это неверный вариант.

В) 30 · 6

Вычислим значение этого выражения: $30 \cdot 6 = 180$.

Поскольку $180 \neq 24$, это неверный вариант.

Г) 30 - 6

Вычислим значение этого выражения: $30 - 6 = 24$.

Значение этого выражения равно 24, что совпадает с найденным корнем уравнения. Следовательно, это верный вариант.

Ответ: Г) 30 - 6.

5. Объём куба равен $27 \text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

А) $72 \text{ см}^2$

Б) $54 \text{ см}^2$

В) $36 \text{ см}^2$

Г) $27 \text{ см}^2$

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти длину ребра куба, используя его объем, а затем вычислить площадь его поверхности.

1. Нахождение длины ребра куба.
Объем куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.
По условию задачи, объем куба равен $27 \text{ см}^3$.
Составим уравнение:
$a^3 = 27$
Чтобы найти длину ребра $a$, необходимо извлечь кубический корень из 27:
$a = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ см}$.
Таким образом, длина ребра куба составляет 3 см.

2. Нахождение площади поверхности куба.
Поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратных граней. Площадь одной грани вычисляется по формуле $S_{грани} = a^2$.
Площадь полной поверхности куба ($S$) равна сумме площадей всех шести граней:
$S = 6 \cdot S_{грани} = 6a^2$.
Подставим найденное значение длины ребра $a = 3 \text{ см}$ в эту формулу:
$S = 6 \cdot (3)^2 = 6 \cdot 9 = 54 \text{ см}^2$.
Площадь поверхности куба равна $54 \text{ см}^2$. Этот результат соответствует варианту ответа Б.

Ответ: 54 см².

6. Какая из следующих записей является записью дроби со знаменателем 16 и числителем 9?

А) $ \frac{16}{9} $

Б) $ \frac{9}{10} $

В) $ \frac{9}{16} $

Г) $ \frac{7}{16} $

Для того чтобы найти правильный вариант, необходимо понимать структуру обыкновенной дроби. Дробь состоит из числителя (число, стоящее над чертой дроби) и знаменателя (число, стоящее под чертой дроби). Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель — сколько таких частей взято.

В условии задачи дано:

• Знаменатель = 16
• Числитель = 9

Следовательно, искомая дробь должна быть записана в виде $\frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}}$, что соответствует записи $\frac{9}{16}$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

Дробь $\frac{16}{9}$. В этой записи числитель равен 16, а знаменатель равен 9. Это не соответствует условию задачи.

Дробь $\frac{9}{10}$. В этой записи числитель равен 9, но знаменатель равен 10. Это не соответствует условию задачи.

Дробь $\frac{9}{16}$. В этой записи числитель равен 9, а знаменатель равен 16. Это полностью соответствует условию задачи.

Дробь $\frac{7}{16}$. В этой записи знаменатель равен 16, но числитель равен 7. Это не соответствует условию задачи.

Таким образом, единственная запись, которая является дробью со знаменателем 16 и числителем 9, — это вариант В.

Ответ: В