Номер 427, страница 114 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Умножение. Переместительное свойство умножения. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 427, страница 114.

427. Существует ли такое значение a, при котором верно равенство:

1) $a \cdot 5 = a;$

2) $a \cdot 1 = 1;$

3) $a \cdot a = a;$

4) $0 \cdot a = a?$

1) $a \cdot 5 = a$;
Да, такое значение существует. Для его нахождения решим данное уравнение.
$5a = a$
Перенесем $a$ в левую часть уравнения:
$5a - a = 0$
$4a = 0$
$a = 0$
Проверка показывает, что при подстановке $a = 0$ в исходное равенство получается верное тождество: $0 \cdot 5 = 0$.
Ответ: Да, существует, $a=0$.

2) $a \cdot 1 = 1$;
Да, такое значение существует. Согласно свойству умножения на единицу, произведение любого числа на 1 равно самому этому числу, то есть $a \cdot 1 = a$.
Следовательно, исходное равенство $a \cdot 1 = 1$ можно переписать как $a = 1$.
Проверка: $1 \cdot 1 = 1$ (верно).
Ответ: Да, существует, $a=1$.

3) $a \cdot a = a$;
Да, такие значения существуют. Перепишем равенство в виде уравнения:
$a^2 = a$
Перенесем все члены в левую часть:
$a^2 - a = 0$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a(a - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $a$:
$a = 0$ или $a - 1 = 0$, что дает $a = 1$.
Проверка: при $a = 0$ получаем $0 \cdot 0 = 0$ (верно), при $a = 1$ получаем $1 \cdot 1 = 1$ (верно).
Ответ: Да, существует, $a=0$ или $a=1$.

4) $0 \cdot a = a$;
Да, такое значение существует. Согласно свойству умножения на ноль, левая часть равенства всегда равна нулю, так как $0 \cdot a = 0$ для любого числа $a$.
Таким образом, исходное равенство можно переписать как $0 = a$.
Проверка: при подстановке $a=0$ в исходное равенство получаем $0 \cdot 0 = 0$ (верно).
Ответ: Да, существует, $a=0$.