Страница 114 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Найдите произведение чисел 14 и 6.

Чтобы найти произведение чисел 14 и 6, нужно выполнить операцию умножения. Запишем это математически:

$14 \times 6$

Для удобства вычисления можно представить число 14 как сумму двух слагаемых: 10 и 4. Тогда выражение примет вид:

$(10 + 4) \times 6$

Теперь, используя распределительное свойство умножения, умножим каждое слагаемое в скобках на 6:

$10 \times 6 + 4 \times 6$

Вычислим каждое произведение по отдельности:

$10 \times 6 = 60$

$4 \times 6 = 24$

Сложим полученные результаты:

$60 + 24 = 84$

Таким образом, произведение чисел 14 и 6 равно 84.

Ответ: 84

3. Увеличьте число 18 в 3 раза.

3. Чтобы увеличить число 18 в 3 раза, необходимо выполнить операцию умножения. То есть, нужно умножить число 18 на 3.

Запишем математическое выражение для данной задачи:

$18 \times 3$

Для удобства вычисления можно разложить число 18 на сумму десятков и единиц ($10 + 8$) и затем умножить каждое слагаемое на 3:

$(10 + 8) \times 3 = (10 \times 3) + (8 \times 3) = 30 + 24 = 54$

Таким образом, результатом является число 54.

Ответ: 54

4. Найдите длину боковой стороны равнобедренного треугольника, если его периметр на 12 см больше основания.

Пусть $a$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а $b$ — длина его основания. Поскольку треугольник равнобедренный, у него две стороны равны $a$.

Периметр ($P$) треугольника равен сумме длин всех его сторон. Для данного равнобедренного треугольника формула периметра будет:

$P = a + a + b = 2a + b$

Согласно условию задачи, периметр на 12 см больше основания. Запишем это в виде математического выражения:

$P = b + 12$

Теперь мы можем приравнять два выражения для периметра:

$2a + b = b + 12$

Для того чтобы найти $a$, решим полученное уравнение. Вычтем $b$ из обеих частей уравнения:

$2a = 12$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a = \frac{12}{2}$

$a = 6$

Следовательно, длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет 6 см.

Ответ: 6 см.

5. Определите вид треугольника, две стороны которого равны 8 см и 12 см, а периметр — 28 см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи нам известны длины двух сторон и периметр:
$a = 8$ см
$b = 12$ см
$P = 28$ см

Чтобы найти длину третьей стороны $c$, нужно из периметра вычесть сумму длин двух известных сторон.
$c = P - (a + b)$
$c = 28 - (8 + 12)$
$c = 28 - 20$
$c = 8$ см

Мы получили треугольник со сторонами 8 см, 12 см и 8 см.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. В нашем случае две стороны равны 8 см.

Ответ: равнобедренный треугольник.

6. Найдите периметр квадрата, если он больше его стороны на 18 см.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $a$ — это длина стороны квадрата, а $P$ — его периметр.

Периметр квадрата равен сумме длин его четырех равных сторон. Формула для вычисления периметра квадрата:

$P = 4 \cdot a$

Согласно условию задачи, периметр на 18 см больше стороны. Это можно записать в виде следующего уравнения:

$P = a + 18$

Так как левые части обоих уравнений равны ($P$), мы можем приравнять их правые части, чтобы составить уравнение с одной неизвестной $a$:

$4a = a + 18$

Теперь решим это уравнение. Перенесем $a$ из правой части в левую, изменив знак:

$4a - a = 18$

$3a = 18$

Чтобы найти сторону $a$, разделим обе части уравнения на 3:

$a = \frac{18}{3}$

$a = 6$ см

Мы нашли, что сторона квадрата равна 6 см. Теперь найдем его периметр, подставив значение $a$ в любую из первоначальных формул. Например, в $P = 4a$:

$P = 4 \cdot 6 = 24$ см

Для проверки можно подставить значение $a$ во вторую формулу $P = a + 18$:

$P = 6 + 18 = 24$ см

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 24 см.

419. Запишите сумму в виде произведения:

1) $6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6;$

2) $9 + 9 + 9 + 9 + 9;$

3) $n + n + n + n + n + n + n;$

4) $\underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{\text{101 слагаемое}};$

5) $\underbrace{5 + 5 + \dots + 5}_{\text{m слагаемых}};$

6) $\underbrace{m + m + \dots + m}_{\text{k слагаемых}}.$

Чтобы записать сумму одинаковых слагаемых в виде произведения, нужно умножить это слагаемое на количество его повторений в сумме. Это основное определение операции умножения.

1) В выражении $6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6$ слагаемое 6 повторяется 8 раз. Следовательно, эту сумму можно представить как произведение числа 6 на 8.
$6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 \cdot 8$.
Ответ: $6 \cdot 8$.

2) В выражении $9 + 9 + 9 + 9 + 9$ слагаемое 9 повторяется 5 раз. Значит, сумма равна произведению 9 на 5.
$9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9 \cdot 5$.
Ответ: $9 \cdot 5$.

3) В выражении $n + n + n + n + n + n + n$ слагаемое $n$ повторяется 7 раз. Поэтому данную сумму можно записать как произведение $n$ на 7. В алгебре принято записывать числовой множитель перед буквенным.
$n + n + n + n + n + n + n = n \cdot 7 = 7n$.
Ответ: $7n$.

4) В выражении $2 + 2 + \dots + 2$ указано, что всего 101 слагаемое. Это означает, что число 2 складывается само с собой 101 раз. Сумму можно представить в виде произведения 2 на 101.
$\underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{101 \text{ слагаемое}} = 2 \cdot 101$.
Ответ: $2 \cdot 101$.

5) В выражении $5 + 5 + \dots + 5$ указано, что всего $m$ слагаемых. Это означает, что число 5 складывается само с собой $m$ раз. Сумма равна произведению 5 на $m$.
$\underbrace{5 + 5 + \dots + 5}_{m \text{ слагаемых}} = 5 \cdot m = 5m$.
Ответ: $5m$.

6) В выражении $m + m + \dots + m$ указано, что всего $k$ слагаемых. Это означает, что слагаемое $m$ повторяется $k$ раз. Сумму можно записать как произведение $m$ на $k$.
$\underbrace{m + m + \dots + m}_{k \text{ слагаемых}} = m \cdot k = mk$.
Ответ: $mk$.

420. Выполните умножение:

1) $516 \cdot 32$;

2) $4519 \cdot 52$;

3) $314 \cdot 258$;

4) $215 \cdot 204$;

5) $1234 \cdot 567$;

6) $2984 \cdot 4006$.

1) Чтобы умножить $516$ на $32$, можно выполнить умножение в столбик. Также можно представить число $32$ в виде суммы разрядных слагаемых $30 + 2$ и воспользоваться распределительным свойством умножения.
$516 \cdot 32 = 516 \cdot (30 + 2) = 516 \cdot 30 + 516 \cdot 2$
Вычислим каждое произведение отдельно:
$516 \cdot 2 = 1032$
$516 \cdot 30 = 15480$
Теперь сложим полученные результаты:
$1032 + 15480 = 16512$
Ответ: 16512

2) Умножим $4519$ на $52$. Для этого представим $52$ как сумму $50 + 2$.
$4519 \cdot 52 = 4519 \cdot (50 + 2) = 4519 \cdot 50 + 4519 \cdot 2$
Вычислим произведения:
$4519 \cdot 2 = 9038$
$4519 \cdot 50 = 225950$
Сложим результаты:
$9038 + 225950 = 234988$
Ответ: 234988

3) Чтобы найти произведение чисел $314$ и $258$, представим второй множитель в виде суммы разрядных слагаемых: $258 = 200 + 50 + 8$.
$314 \cdot 258 = 314 \cdot (200 + 50 + 8) = 314 \cdot 200 + 314 \cdot 50 + 314 \cdot 8$
Вычислим каждое слагаемое:
$314 \cdot 8 = 2512$
$314 \cdot 50 = 15700$
$314 \cdot 200 = 62800$
Суммируем полученные значения:
$2512 + 15700 + 62800 = 81012$
Ответ: 81012

4) Выполним умножение $215$ на $204$. Представим $204$ как $200 + 4$.
$215 \cdot 204 = 215 \cdot (200 + 4) = 215 \cdot 200 + 215 \cdot 4$
Вычислим произведения:
$215 \cdot 4 = 860$
$215 \cdot 200 = 43000$
Сложим результаты:
$860 + 43000 = 43860$
Ответ: 43860

5) Умножим $1234$ на $567$. Разложим $567$ на разрядные слагаемые: $500 + 60 + 7$.
$1234 \cdot 567 = 1234 \cdot (500 + 60 + 7) = 1234 \cdot 500 + 1234 \cdot 60 + 1234 \cdot 7$
Вычислим каждое произведение:
$1234 \cdot 7 = 8638$
$1234 \cdot 60 = 74040$
$1234 \cdot 500 = 617000$
Сложим полученные значения:
$8638 + 74040 + 617000 = 699678$
Ответ: 699678

6) Найдем произведение чисел $2984$ и $4006$. Представим $4006$ как сумму $4000 + 6$.
$2984 \cdot 4006 = 2984 \cdot (4000 + 6) = 2984 \cdot 4000 + 2984 \cdot 6$
Вычислим произведения:
$2984 \cdot 6 = 17904$
$2984 \cdot 4000 = 11936000$
Сложим результаты:
$17904 + 11936000 = 11953904$
Ответ: 11953904

421. Выполните умножение:

1) $706 \cdot 53$;

2) $5245 \cdot 67$;

3) $591 \cdot 289$;

4) $465 \cdot 506$;

5) $2468 \cdot 359$;

6) $1234 \cdot 2007$.

1) Чтобы найти произведение $706 \cdot 53$, выполним умножение в столбик.

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}706\\53\end{array}\\ \hline \begin{array}{r}2118\\+3530\phantom{0}\end{array}\\ \hline 37418 \end{array} $

Сначала умножаем 706 на 3, получаем первое неполное произведение 2118.
Затем умножаем 706 на 5, получаем второе неполное произведение 3530. Записываем его под первым, сдвинув на один разряд влево, так как мы умножали на 5 десятков.
Складываем полученные числа: $2118 + 35300 = 37418$.

Ответ: 37418

2) Чтобы найти произведение $5245 \cdot 67$, выполним умножение в столбик.

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}5245\\67\end{array}\\ \hline \begin{array}{r}36715\\+31470\phantom{0}\end{array}\\ \hline 351415 \end{array} $

Умножаем 5245 на 7, получаем 36715.
Умножаем 5245 на 6, получаем 31470. Записываем результат со сдвигом на один разряд влево.
Складываем неполные произведения: $36715 + 314700 = 351415$.

Ответ: 351415

3) Чтобы найти произведение $591 \cdot 289$, выполним умножение в столбик.

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}591\\289\end{array}\\ \hline \begin{array}{r}5319\\4728\phantom{0}\\+1182\phantom{00}\end{array}\\ \hline 170799 \end{array} $

Последовательно умножаем 591 на 9 единиц, 8 десятков и 2 сотни.
$591 \cdot 9 = 5319$.
$591 \cdot 8 = 4728$. Записываем со сдвигом на один разряд влево.
$591 \cdot 2 = 1182$. Записываем со сдвигом на два разряда влево.
Складываем полученные три числа: $5319 + 47280 + 118200 = 170799$.

Ответ: 170799

4) Чтобы найти произведение $465 \cdot 506$, выполним умножение в столбик.

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}465\\506\end{array}\\ \hline \begin{array}{r}2790\\+2325\phantom{00}\end{array}\\ \hline 235290 \end{array} $

Умножаем 465 на 6, получаем 2790.
При умножении на 0 в разряде десятков получится ноль, поэтому эту строку можно пропустить.
Умножаем 465 на 5, получаем 2325. Записываем результат со сдвигом на два разряда влево (так как мы умножаем на 5 сотен).
Складываем полученные числа: $2790 + 232500 = 235290$.

Ответ: 235290

5) Чтобы найти произведение $2468 \cdot 359$, выполним умножение в столбик.

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}2468\\359\end{array}\\ \hline \begin{array}{r}22212\\12340\phantom{0}\\+7404\phantom{00}\end{array}\\ \hline 886012 \end{array} $

Последовательно умножаем 2468 на 9 единиц, 5 десятков и 3 сотни.
$2468 \cdot 9 = 22212$.
$2468 \cdot 5 = 12340$. Записываем со сдвигом на один разряд влево.
$2468 \cdot 3 = 7404$. Записываем со сдвигом на два разряда влево.
Складываем полученные три числа: $22212 + 123400 + 740400 = 886012$.

Ответ: 886012

6) Чтобы найти произведение $1234 \cdot 2007$, выполним умножение в столбик.

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}1234\\2007\end{array}\\ \hline \begin{array}{r}8638\\+2468\phantom{000}\end{array}\\ \hline 2476638 \end{array} $

Умножаем 1234 на 7, получаем 8638.
При умножении на 0 в разрядах десятков и сотен получатся нули, поэтому эти шаги пропускаем.
Умножаем 1234 на 2, получаем 2468. Записываем результат со сдвигом на три разряда влево (так как мы умножаем на 2 тысячи).
Складываем полученные числа: $8638 + 2468000 = 2476638$.

Ответ: 2476638

422. Найдите число, которое:

1) в 46 раз больше числа 418;

2) в 3000 раз больше числа 270.

1) в 46 раз больше числа 418;
Чтобы найти число, которое в 46 раз больше 418, необходимо выполнить умножение этих двух чисел.
$418 \times 46$
Выполним умножение, разложив второй множитель на разрядные слагаемые:
$418 \times 46 = 418 \times (40 + 6) = 418 \times 40 + 418 \times 6 = 16720 + 2508 = 19228$.
Таким образом, искомое число равно 19228.
Ответ: 19228.

2) в 3000 раз больше числа 270.
Чтобы найти число, которое в 3000 раз больше 270, необходимо перемножить эти числа.
$270 \times 3000$
Для удобства вычисления можно перемножить значащие части чисел (27 и 3), а затем приписать к результату общее количество нулей (один от числа 270 и три от числа 3000, всего четыре нуля).
$27 \times 3 = 81$
Приписываем к результату четыре нуля, получаем 810000.
Таким образом, $270 \times 3000 = 810000$.
Искомое число равно 810000.
Ответ: 810000.

423. Вычислите:

1) $412 \cdot 42 - 7304;$

2) $85 \cdot (870 - 567);$

3) $(294 + 16) \cdot (348 - 279);$

4) $294 + 16 \cdot 348 - 279;$

5) $(294 + 16) \cdot 348 - 279;$

6) $294 + 16 \cdot (348 - 279).$

1) $412 \cdot 42 - 7304$

В этом выражении два действия: умножение и вычитание. Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
1. Выполним умножение: $412 \cdot 42 = 17304$.
2. Выполним вычитание: $17304 - 7304 = 10000$.
Ответ: 10000

2) $85 \cdot (870 - 567)$

В данном выражении первым действием выполняется операция в скобках (вычитание), а затем умножение.
1. Выполним вычитание в скобках: $870 - 567 = 303$.
2. Выполним умножение: $85 \cdot 303 = 25755$.
Ответ: 25755

3) $(294 + 16) \cdot (348 - 279)$

Сначала выполняются действия в скобках, а затем их результаты перемножаются.
1. Выполним сложение в первых скобках: $294 + 16 = 310$.
2. Выполним вычитание во вторых скобках: $348 - 279 = 69$.
3. Выполним умножение результатов: $310 \cdot 69 = 21390$.
Ответ: 21390

4) $294 + 16 \cdot 348 - 279$

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняется умножение, а затем сложение и вычитание слева направо.
1. Выполним умножение: $16 \cdot 348 = 5568$.
2. Выполним сложение: $294 + 5568 = 5862$.
3. Выполним вычитание: $5862 - 279 = 5583$.
Ответ: 5583

5) $(294 + 16) \cdot 348 - 279$

Сначала выполняется действие в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.
1. Выполним сложение в скобках: $294 + 16 = 310$.
2. Выполним умножение: $310 \cdot 348 = 107880$.
3. Выполним вычитание: $107880 - 279 = 107601$.
Ответ: 107601

6) $294 + 16 \cdot (348 - 279)$

Сначала выполняется действие в скобках, затем умножение, и в конце сложение.
1. Выполним вычитание в скобках: $348 - 279 = 69$.
2. Выполним умножение: $16 \cdot 69 = 1104$.
3. Выполним сложение: $294 + 1104 = 1398$.
Ответ: 1398

424. Вычислите:

1) $603 \cdot 84 + 2536;$

2) $318 \cdot 56 - 5967;$

3) $64 \cdot 96 - 77;$

4) $64 \cdot (96 - 77).$

1) $603 \cdot 84 + 2536$
Согласно порядку выполнения арифметических операций, сначала выполняется умножение, а затем сложение.
Первое действие: $603 \cdot 84 = 50652$.
Второе действие: $50652 + 2536 = 53188$.
Ответ: 53188

2) $318 \cdot 56 - 5967$
Сначала выполним умножение, а затем вычитание.
Первое действие: $318 \cdot 56 = 17808$.
Второе действие: $17808 - 5967 = 11841$.
Ответ: 11841

3) $64 \cdot 96 - 77$
В данном выражении сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
Первое действие: $64 \cdot 96 = 6144$.
Второе действие: $6144 - 77 = 6067$.
Ответ: 6067

4) $64 \cdot (96 - 77)$
В этом примере первым действием будет операция в скобках, а затем умножение.
Первое действие: $96 - 77 = 19$.
Второе действие: $64 \cdot 19 = 1216$.
Ответ: 1216

425. Вычислите значение выражения:

1) $17x + 432$, если $x = 58$;

2) $(739 - x) \cdot y$, если $x = 554$, $y = 4900$.

1) Для вычисления значения выражения $17x + 432$ при $x = 58$ необходимо подставить данное значение $x$ в выражение и выполнить арифметические действия в правильном порядке (сначала умножение, затем сложение).

1. Подставляем значение $x=58$ в выражение:

$17 \cdot 58 + 432$

2. Вычисляем произведение:

$17 \cdot 58 = 986$

3. Вычисляем сумму:

$986 + 432 = 1418$

Ответ: 1418

2) Для вычисления значения выражения $(739 - x) \cdot y$ при $x = 554$ и $y = 4900$ необходимо подставить данные значения переменных в выражение и выполнить арифметические действия в правильном порядке (сначала действия в скобках, затем умножение).

1. Подставляем значения $x=554$ и $y=4900$ в выражение:

$(739 - 554) \cdot 4900$

2. Выполняем вычитание в скобках:

$739 - 554 = 185$

3. Выполняем умножение:

$185 \cdot 4900 = 906500$

Ответ: 906500

426. Вычислите значение выражения:

1) $976 - 24x$, если $x = 36$;

2) $x \cdot 63 - y$, если $x = 367, y = 19742$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $976 - 24x$, если $x = 36$, подставим значение $x$ в выражение.

Сначала выполним умножение, а затем вычитание:

$976 - 24 \cdot 36 = 976 - 864 = 112$

Выполним умножение столбиком:

$ \begin{array}{r} \times\\ \end{array} \begin{array}{r} 24\\ 36\\ \hline \end{array} $ $ \begin{array}{r} 144\\ \end{array} $
$ \begin{array}{r} +\\ \end{array} \begin{array}{r} 72\phantom{0}\\ \hline 864 \end{array} $

Теперь вычитание:

$ \begin{array}{r} -\\ \end{array} \begin{array}{r} 976\\ 864\\ \hline 112 \end{array} $

Ответ: 112

2) Чтобы вычислить значение выражения $x \cdot 63 - y$, если $x = 367$ и $y = 19742$, подставим значения $x$ и $y$ в выражение.

Сначала выполним умножение, а затем вычитание:

$367 \cdot 63 - 19742 = 23121 - 19742 = 3379$

Выполним умножение столбиком:

$ \begin{array}{r} \times\\ \end{array} \begin{array}{r} 367\\ 63\\ \hline \end{array} $ $ \begin{array}{r} 1101\\ \end{array} $
$ \begin{array}{r} +\\ \end{array} \begin{array}{r} 2202\phantom{0}\\ \hline 23121 \end{array} $

Теперь вычитание:

$ \begin{array}{r} -\\ \end{array} \begin{array}{r} 23121\\ 19742\\ \hline 3379 \end{array} $

Ответ: 3379

427. Существует ли такое значение a, при котором верно равенство:

1) $a \cdot 5 = a;$

2) $a \cdot 1 = 1;$

3) $a \cdot a = a;$

4) $0 \cdot a = a?$

1) $a \cdot 5 = a$;
Да, такое значение существует. Для его нахождения решим данное уравнение.
$5a = a$
Перенесем $a$ в левую часть уравнения:
$5a - a = 0$
$4a = 0$
$a = 0$
Проверка показывает, что при подстановке $a = 0$ в исходное равенство получается верное тождество: $0 \cdot 5 = 0$.
Ответ: Да, существует, $a=0$.

2) $a \cdot 1 = 1$;
Да, такое значение существует. Согласно свойству умножения на единицу, произведение любого числа на 1 равно самому этому числу, то есть $a \cdot 1 = a$.
Следовательно, исходное равенство $a \cdot 1 = 1$ можно переписать как $a = 1$.
Проверка: $1 \cdot 1 = 1$ (верно).
Ответ: Да, существует, $a=1$.

3) $a \cdot a = a$;
Да, такие значения существуют. Перепишем равенство в виде уравнения:
$a^2 = a$
Перенесем все члены в левую часть:
$a^2 - a = 0$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a(a - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $a$:
$a = 0$ или $a - 1 = 0$, что дает $a = 1$.
Проверка: при $a = 0$ получаем $0 \cdot 0 = 0$ (верно), при $a = 1$ получаем $1 \cdot 1 = 1$ (верно).
Ответ: Да, существует, $a=0$ или $a=1$.

4) $0 \cdot a = a$;
Да, такое значение существует. Согласно свойству умножения на ноль, левая часть равенства всегда равна нулю, так как $0 \cdot a = 0$ для любого числа $a$.
Таким образом, исходное равенство можно переписать как $0 = a$.
Проверка: при подстановке $a=0$ в исходное равенство получаем $0 \cdot 0 = 0$ (верно).
Ответ: Да, существует, $a=0$.