Страница 113 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют произведением числа $a$ на натуральное число $b$, не равное $1$?

Произведением числа a на натуральное число b, не равное 1, называют сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно a.

Это можно записать в виде формулы:

$a \cdot b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b \text{ слагаемых}}$

Например, чтобы умножить 6 на 4, нужно сложить 4 шестерки:

$6 \cdot 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24$

Ответ: Произведением числа a на натуральное число b, не равное 1, называют сумму b слагаемых, каждое из которых равно a.

2. Как в равенстве $a \cdot b = c$ называют число $a$? число $b$? число $c$? выражение $a \cdot b$?

В равенстве $a \cdot b = c$, которое представляет собой операцию умножения, компоненты имеют следующие названия:

число a?

Число $a$ является одним из чисел, которые перемножаются. Его называют множителем (или, более конкретно, первым множителем или множимым).

Ответ: множитель.

число b?

Число $b$ также является одним из чисел, которые перемножаются. Его, как и число $a$, называют множителем (или вторым множителем).

Ответ: множитель.

число c?

Число $c$ — это результат выполнения операции умножения. Его называют произведением.

Ответ: произведение.

выражение a · b?

Выражение $a \cdot b$ представляет собой запись самой операции умножения, и его, так же как и результат этой операции, называют произведением.

Ответ: произведение.

3. Чему равно произведение двух множителей, один из которых равен 1?

Согласно одному из основных свойств умножения, которое называется тождественным свойством, произведение любого числа и единицы равно самому этому числу.

Давайте обозначим два множителя как $a$ и $b$. Их произведение записывается как $a \times b$.

Из условия задачи мы знаем, что один из множителей равен 1. Пусть это будет множитель $a$, тогда $a=1$.

Подставим это значение в выражение для произведения:

$1 \times b = b$

Это означает, что результат умножения (произведение) будет равен второму множителю ($b$), каким бы он ни был.

Например:
Если второй множитель равен 7, то произведение $1 \times 7 = 7$.
Если второй множитель равен 150, то произведение $1 \times 150 = 150$.
Если второй множитель равен -25, то произведение $1 \times (-25) = -25$.

Следовательно, произведение двух множителей, один из которых равен 1, всегда равно второму множителю.

Ответ: Произведение равно второму множителю.

Произведение двух множителей, один из которых равен нулю, всегда равно нулю. Это одно из фундаментальных свойств умножения, которое часто называют свойством умножения на ноль или правилом нулевого произведения.

Математически это можно записать так:
Пусть есть два множителя, $a$ и $b$. Их произведение — это $a \cdot b$.
Если один из множителей равен нулю (например, $a = 0$), то произведение будет равно:
$0 \cdot b = 0$
Это утверждение справедливо для любого действительного числа $b$.
Например:
$5 \cdot 0 = 0$
$0 \cdot (-128) = 0$
$0 \cdot 0 = 0$
Таким образом, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и всё произведение равно нулю.
Ответ: 0

5. Каким свойством обладают множители, произведение которых равно нулю?

Множители, произведение которых равно нулю, обладают следующим ключевым свойством: хотя бы один из множителей обязательно должен быть равен нулю.

Это фундаментальное свойство операции умножения, которое справедливо для действительных чисел и многих других математических систем. Его можно сформулировать в виде правила: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Для двух множителей, $a$ и $b$, это свойство математически записывается следующим образом:
$a \cdot b = 0 \iff (a = 0 \text{ или } b = 0)$
Знак $\iff$ означает "тогда и только тогда".

Это правило распространяется на любое количество множителей. Если произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n = 0$, то это означает, что по крайней мере один из множителей $a_i$ (где $i$ — любое число от $1$ до $n$) равен нулю.

Это свойство широко используется при решении уравнений. Например, для решения уравнения $(x-4)(x+1)=0$, мы приравниваем каждый множитель (каждую скобку) к нулю:
$x-4=0$ или $x+1=0$
Отсюда получаем решения: $x=4$ и $x=-1$.

Ответ: Если произведение множителей равно нулю, то по крайней мере один из этих множителей равен нулю.

6. Сформулируйте переместительное свойство умножения.

Переместительное свойство умножения (также известное как коммутативный закон умножения) гласит, что результат умножения чисел не зависит от того, в каком порядке они перемножаются. Другими словами, от перемены мест множителей произведение не меняется.

Это свойство можно записать в виде формулы, которая верна для любых чисел a и b:
$a \cdot b = b \cdot a$

Например, если мы хотим умножить 5 на 8, мы получим:
$5 \cdot 8 = 40$
Если мы поменяем множители местами и умножим 8 на 5, результат будет таким же:
$8 \cdot 5 = 40$
Таким образом, равенство $5 \cdot 8 = 8 \cdot 5$ является наглядной демонстрацией переместительного свойства умножения.

Ответ: Переместительное свойство умножения заключается в том, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Для любых чисел a и b справедливо равенство: $a \cdot b = b \cdot a$.

7. Как записывают в буквенном виде переместительное свойство умножения?

Переместительное свойство умножения, также известное как коммутативный закон, утверждает, что при умножении двух чисел их можно менять местами, и результат от этого не изменится. Проще говоря, от перемены мест множителей произведение не меняется.

Для записи этого свойства в общем (буквенном) виде обычно используют переменные, например, латинские буквы $a$ и $b$. Каждая из этих букв может представлять собой любое число.

В буквенном виде переместительное свойство умножения записывается как равенство:

$a \cdot b = b \cdot a$

В алгебраических выражениях знак умножения (точка) между буквами часто опускают, поэтому это же свойство можно записать и так:

$ab = ba$

Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$

1. Чему равна сумма:

1) $20 + 20 + 20;$

2) $33 + 33 + 33;$

3) $12 + 12 + 12 + 12;$

4) $25 + 25 + 25 + 25;$

5) $7 + 7 + 7 + 7 + 7;$

6) $8 + 8 + 8 + 8 + 8?$

1) Сумма трех одинаковых слагаемых 20. Чтобы найти результат, можно заменить сложение умножением. Для этого необходимо число 20 умножить на количество слагаемых, то есть на 3.
$20 + 20 + 20 = 20 \times 3 = 60$.
Ответ: 60

2) Сумма трех одинаковых слагаемых 33. Заменим сложение умножением: умножим число 33 на их количество, то есть на 3.
$33 + 33 + 33 = 33 \times 3 = 99$.
Ответ: 99

3) В данном выражении число 12 складывается 4 раза. Чтобы найти сумму, можно умножить 12 на 4.
$12 + 12 + 12 + 12 = 12 \times 4 = 48$.
Ответ: 48

4) Чтобы найти сумму четырех одинаковых слагаемых, равных 25, заменим операцию сложения на умножение. Умножим 25 на 4.
$25 + 25 + 25 + 25 = 25 \times 4 = 100$.
Ответ: 100

5) Сумма пяти одинаковых слагаемых, равных 7. Вычисляется путем умножения числа 7 на количество повторений, то есть на 5.
$7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 \times 5 = 35$.
Ответ: 35

6) В этом выражении число 8 складывается 5 раз. Чтобы найти сумму, нужно умножить 8 на 5.
$8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 8 \times 5 = 40$.
Ответ: 40