Страница 116 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

436. В походе, длившемся несколько дней, турист 14 ч плыл по реке на лодке со скоростью 8 км/ч и шёл пешком 23 ч со скоростью 4 км/ч. Какой путь, по реке или по суше, был длиннее и на сколько километров?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо сначала вычислить расстояние, которое турист прошел по реке, и расстояние, которое он прошел по суше. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

1. Рассчитаем путь, который турист проплыл по реке на лодке.
Скорость лодки $v_1 = 8$ км/ч, время в пути $t_1 = 14$ ч.
Расстояние по реке: $S_1 = 8 \text{ км/ч} \cdot 14 \text{ ч} = 112$ км.

2. Рассчитаем путь, который турист прошел пешком по суше.
Скорость пешком $v_2 = 4$ км/ч, время в пути $t_2 = 23$ ч.
Расстояние по суше: $S_2 = 4 \text{ км/ч} \cdot 23 \text{ ч} = 92$ км.

Теперь, зная оба расстояния, можно ответить на вопросы задачи.

Какой путь, по реке или по суше, был длиннее?
Сравним два полученных расстояния: $112$ км (путь по реке) и $92$ км (путь по суше).
Так как $112 > 92$, то путь по реке был длиннее.
Ответ: путь по реке был длиннее.

на сколько километров?
Чтобы найти разницу, вычтем из большего расстояния меньшее:
$112 \text{ км} - 92 \text{ км} = 20$ км.
Ответ: на 20 километров.

437. Путешественник плыл на моторной лодке 5 ч по реке со скоростью $27 \text{ км/ч}$ и 7 ч по озеру со скоростью $21 \text{ км/ч}$. Какой путь, по реке или по озеру, был длиннее и на сколько километров?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо вычислить расстояние, которое путешественник проплыл по реке и по озеру, а затем сравнить эти два значения.

1. Вычисление пути по реке

Чтобы найти расстояние, нужно умножить скорость на время. Формула пути: $S = v \cdot t$.
Скорость лодки по реке ($v_1$) составляла 27 км/ч, а время в пути ($t_1$) — 5 часов.
Найдем расстояние, пройденное по реке ($S_1$):
$S_1 = 27 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 135 \text{ км}$.

2. Вычисление пути по озеру

Скорость лодки по озеру ($v_2$) составляла 21 км/ч, а время в пути ($t_2$) — 7 часов.
Найдем расстояние, пройденное по озеру ($S_2$):
$S_2 = 21 \text{ км/ч} \cdot 7 \text{ ч} = 147 \text{ км}$.

3. Сравнение пройденных путей

Теперь сравним два полученных расстояния: путь по реке ($135$ км) и путь по озеру ($147$ км).
$147 \text{ км} > 135 \text{ км}$.
Это означает, что путь по озеру был длиннее.
Чтобы узнать, на сколько он был длиннее, найдем разницу между двумя расстояниями:
$147 \text{ км} - 135 \text{ км} = 12 \text{ км}$.

Ответ: путь по озеру был длиннее на 12 километров.

438. Киловатт-час электроэнергии стоит 4 р. 60 к. Счётчик электроэнергии 1 октября показывал 48 296 киловатт-часов, а 1 ноября — 48 424 киловатт-часа. Какую сумму денег нужно заплатить за электроэнергию за месяц?

Для того чтобы рассчитать сумму к оплате за электроэнергию за месяц, необходимо выполнить следующие действия:

1. Определить количество потреблённой электроэнергии.
Для этого нужно из показаний счётчика на конец периода (1 ноября) вычесть показания на начало периода (1 октября).
Показания на 1 ноября: 48 424 кВт⋅ч.
Показания на 1 октября: 48 296 кВт⋅ч.
Количество потреблённой электроэнергии: $48424 - 48296 = 128$ кВт⋅ч.

2. Рассчитать общую стоимость.
Стоимость одного киловатт-часа составляет 4 рубля 60 копеек. Для удобства вычислений переведём эту сумму в рубли: 4 р. 60 к. = 4,6 р.
Теперь умножим количество потреблённой электроэнергии на её стоимость:
$128 \text{ кВт⋅ч} \times 4,6 \text{ р./кВт⋅ч} = 588,8$ р.
Сумма 588,8 р. соответствует 588 рублям 80 копейкам.

Ответ: за электроэнергию за месяц нужно заплатить 588 рублей 80 копеек.

439. Найдите значение выражения:

1) $(318 \cdot 207 - 64 \, 934) \cdot 276 + 604 \cdot 88;$

2) $869 \cdot (61 \, 124 - 488 \cdot 125) - 509 \cdot 74.$

1) $(318 \cdot 207 - 64 934) \cdot 276 + 604 \cdot 88$

Для нахождения значения выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках (сначала умножение, потом вычитание), затем умножение за скобками и в конце сложение.

1. Выполним умножение в скобках:
   $318 \cdot 207 = 65 826$
2. Выполним вычитание в скобках:
   $65 826 - 64 934 = 892$
3. Теперь умножим результат, полученный в скобках, на 276:
   $892 \cdot 276 = 246 192$
4. Выполним второе умножение в выражении:
   $604 \cdot 88 = 53 152$
5. Сложим полученные результаты:
   $246 192 + 53 152 = 299 344$

Таким образом, значение выражения равно 299 344.

Ответ: $299 344$

2) $869 \cdot (61 124 - 488 \cdot 125) - 509 \cdot 74$

Решим данное выражение по действиям. Сначала выполняются действия в скобках (сначала умножение, потом вычитание), затем остальные операции умножения и вычитания слева направо.

1. Выполним умножение в скобках:
   $488 \cdot 125 = 61 000$
2. Выполним вычитание в скобках:
   $61 124 - 61 000 = 124$
3. Выполним первое умножение за скобками:
   $869 \cdot 124 = 107 756$
4. Выполним второе умножение:
   $509 \cdot 74 = 37 666$
5. Выполним вычитание:
   $107 756 - 37 666 = 70 090$

Таким образом, значение выражения равно 70 090.

Ответ: $70 090$

440. Найдите значение выражения:

1) $(214 \cdot 104 + 7544) \cdot 35 - 508 \cdot 722;$

2) $647 \cdot (36900 - 255 \cdot 144) - 318 \cdot 92.$

1) Решим выражение $(214 \cdot 104 + 7544) \cdot 35 - 508 \cdot 722$ по действиям, соблюдая их правильный порядок.
1. Сначала выполняем действия в скобках. Первым идет умножение: $214 \cdot 104 = 22256$.
2. Затем выполняем сложение в скобках: $22256 + 7544 = 29800$.
3. Теперь выражение выглядит так: $29800 \cdot 35 - 508 \cdot 722$.
4. Выполняем умножение слева направо. Первое умножение: $29800 \cdot 35 = 1043000$.
5. Второе умножение: $508 \cdot 722 = 366776$.
6. Последним действием выполняем вычитание: $1043000 - 366776 = 676224$.
Ответ: 676224.

2) Решим выражение $647 \cdot (36900 - 255 \cdot 144) - 318 \cdot 92$ по действиям.
1. Начинаем с действий в скобках. Первым выполняем умножение: $255 \cdot 144 = 36720$.
2. Затем вычитание в скобках: $36900 - 36720 = 180$.
3. Теперь выражение имеет вид: $647 \cdot 180 - 318 \cdot 92$.
4. Выполняем умножение слева направо. Первое умножение: $647 \cdot 180 = 116460$.
5. Второе умножение: $318 \cdot 92 = 29256$.
6. В конце выполняем вычитание: $116460 - 29256 = 87204$.
Ответ: 87204.

441. Из одного порта в другой одновременно отправились теплоход и катер. Скорость теплохода составляет 28 км/ч, а скорость катера — 36 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 5 ч после начала движения?

Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Нахождение расстояний по отдельности

Сначала вычислим, какое расстояние пройдёт каждое судно за 5 часов, а затем найдём разницу между этими расстояниями.

1. Расстояние, которое пройдет теплоход:

   $S_{теплохода} = v_{теплохода} \times t = 28 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 140 \text{ км}$

2. Расстояние, которое пройдет катер:

   $S_{катера} = v_{катера} \times t = 36 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 180 \text{ км}$

3. Поскольку они движутся в одном направлении из одной и той же точки, расстояние между ними будет равно разности пройденных ими путей:

   $S = S_{катера} - S_{теплохода} = 180 \text{ км} - 140 \text{ км} = 40 \text{ км}$

Ответ: 40 км.

Способ 2: Через скорость удаления

Этот способ основан на понятии "скорость удаления". Так как катер движется быстрее теплохода в том же направлении, он будет от него удаляться.

1. Найдём скорость удаления катера от теплохода. Она равна разности их скоростей:

   $v_{удаления} = v_{катера} - v_{теплохода} = 36 \text{ км/ч} - 28 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$

   Это означает, что каждый час расстояние между ними увеличивается на 8 километров.

2. Теперь найдём, на какое расстояние они удалятся друг от друга за 5 часов. Для этого умножим скорость удаления на время:

   $S = v_{удаления} \times t = 8 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 40 \text{ км}$

Ответ: 40 км.

442. Из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Один из них ехал со скоростью 12 км/ч, а второй — 9 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 6 ч после начала движения?

Данную задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Вычисление через пройденное расстояние каждого велосипедиста

1. Сначала найдем расстояние, которое проехал первый велосипедист за 6 часов. Для этого умножим его скорость на время:

$S_1 = v_1 \times t = 12 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 72 \text{ км}$

2. Затем найдем расстояние, которое проехал второй велосипедист за это же время:

$S_2 = v_2 \times t = 9 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 54 \text{ км}$

3. Так как велосипедисты стартовали из одного пункта и двигались в одном направлении, расстояние между ними будет равно разности пройденных ими путей:

$S = S_1 - S_2 = 72 \text{ км} - 54 \text{ км} = 18 \text{ км}$

Способ 2. Вычисление через скорость удаления

1. Найдем скорость, с которой велосипедисты удаляются друг от друга (скорость удаления). Поскольку они движутся в одном направлении, скорость удаления равна разности их скоростей:

$v_{уд} = v_1 - v_2 = 12 \text{ км/ч} - 9 \text{ км/ч} = 3 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между ними увеличивается на 3 км.

2. Теперь найдем, какое расстояние будет между ними через 6 часов. Для этого умножим скорость удаления на время:

$S = v_{уд} \times t = 3 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 18 \text{ км}$

Ответ: 18 км.

443. С одной станции в противоположных направлениях одновременно отправились два поезда. Один из них двигался со скоростью $64 \text{ км/ч}$, а второй — $57 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними через $9 \text{ ч}$ после начала движения?

Для решения этой задачи необходимо найти, на какое расстояние поезда удаляются друг от друга каждый час (скорость удаления), а затем умножить эту скорость на время в пути.

1. Найдем скорость удаления поездов. Так как они движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются:

$v_{удаления} = v_1 + v_2 = 64 \text{ км/ч} + 57 \text{ км/ч} = 121 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между поездами увеличивается на 121 км.

2. Теперь найдем, какое расстояние будет между поездами через 9 часов. Для этого умножим скорость удаления на время:

$S = v_{удаления} \times t = 121 \text{ км/ч} \times 9 \text{ ч} = 1089 \text{ км}$

Таким образом, через 9 часов после начала движения расстояние между поездами составит 1089 км.

Ответ: 1089 км.

444. Из одного города в противоположных направлениях одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного из них была 74 км/ч, что на 8 км/ч больше, чем скорость другого. Какое расстояние будет между ними через 7 ч после начала движения?

Решение задачи можно разбить на два основных шага: сначала найти скорость второго автомобиля, а затем вычислить общее расстояние между ними через заданное время.

1. Находим скорость второго автомобиля
По условию задачи, скорость первого автомобиля составляет $v_1 = 74$ км/ч, и это на 8 км/ч больше, чем скорость второго автомобиля ($v_2$). Следовательно, чтобы найти скорость второго автомобиля, нужно из скорости первого вычесть 8 км/ч:
$v_2 = 74 \text{ км/ч} - 8 \text{ км/ч} = 66 \text{ км/ч}$

2. Находим расстояние между автомобилями через 7 часов
Поскольку автомобили движутся из одной точки в противоположных направлениях, они удаляются друг от друга. Скорость их удаления (относительная скорость) равна сумме их индивидуальных скоростей:
$v_{удал} = v_1 + v_2 = 74 \text{ км/ч} + 66 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$
Теперь, чтобы найти расстояние ($S$), которое будет между ними через время $t = 7$ часов, нужно умножить скорость удаления на время:
$S = v_{удал} \times t = 140 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 980 \text{ км}$

Ответ: 980 км.

445. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и легковой автомобиль. Велосипедист ехал со скоростью 11 км/ч, а автомобиль — в 7 раз быстрее. Найдите расстояние между городами, если велосипедист и автомобиль встретились через 4 ч после начала движения.

Для того чтобы найти расстояние между городами, нужно сначала определить скорость автомобиля, затем найти их общую скорость сближения и, наконец, умножить эту скорость на время, через которое они встретились.

1. Найдём скорость автомобиля.

Скорость велосипедиста равна $11$ км/ч. Скорость автомобиля в 7 раз больше, следовательно:

$11 \text{ км/ч} \times 7 = 77 \text{ км/ч}$

2. Найдём скорость сближения.

Так как велосипедист и автомобиль движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения — это сумма их скоростей:

$v_{\text{сближения}} = v_{\text{велосипедиста}} + v_{\text{автомобиля}}$

$11 \text{ км/ч} + 77 \text{ км/ч} = 88 \text{ км/ч}$

3. Найдём расстояние между городами.

Расстояние равно скорости сближения, умноженной на время в пути до встречи. Они встретились через 4 часа.

$S = v_{\text{сближения}} \times t$

$88 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 352 \text{ км}$

Ответ: $352$ км.