Страница 123 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

474. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $43 \cdot 64 + 43 \cdot 23 - 87 \cdot 33;$

2) $84 \cdot 53 - 84 \cdot 28 + 16 \cdot 61 - 16 \cdot 36.$

1) $43 \cdot 64 + 43 \cdot 23 - 87 \cdot 33$

Для решения этого выражения наиболее удобным способом воспользуемся распределительным свойством умножения, то есть вынесением общего множителя за скобки.

Сначала сгруппируем первые два слагаемых, так как у них есть общий множитель 43:

$43 \cdot 64 + 43 \cdot 23 = 43 \cdot (64 + 23)$

Вычислим сумму в скобках:

$64 + 23 = 87$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$43 \cdot 87 - 87 \cdot 33$

Мы видим новый общий множитель — 87. Снова вынесем его за скобки:

$87 \cdot (43 - 33)$

Вычислим разность в скобках:

$43 - 33 = 10$

Осталось выполнить последнее действие:

$87 \cdot 10 = 870$

Ответ: 870

2) $84 \cdot 53 - 84 \cdot 28 + 16 \cdot 61 - 16 \cdot 36$

В этом выражении также применим распределительное свойство умножения. Сгруппируем слагаемые попарно, чтобы вынести общие множители.

Сгруппируем первые два слагаемых (у них общий множитель 84) и последние два слагаемых (у них общий множитель 16):

$(84 \cdot 53 - 84 \cdot 28) + (16 \cdot 61 - 16 \cdot 36)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:

$84 \cdot (53 - 28) + 16 \cdot (61 - 36)$

Вычислим значения выражений в скобках:

$53 - 28 = 25$

$61 - 36 = 25$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$84 \cdot 25 + 16 \cdot 25$

Теперь у получившихся слагаемых есть общий множитель 25. Вынесем его за скобки:

$(84 + 16) \cdot 25$

Вычислим сумму в скобках:

$84 + 16 = 100$

Теперь выполним финальное умножение:

$100 \cdot 25 = 2500$

Ответ: 2500

475. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $93 \cdot 24 - 27 \cdot 24 + 66 \cdot 76;$

2) $82 \cdot 46 + 82 \cdot 54 + 135 \cdot 18 - 18 \cdot 35.$

1) $93 \cdot 24 - 27 \cdot 24 + 66 \cdot 76$

Для решения этого примера наиболее удобным способом воспользуемся распределительным свойством умножения. Сначала сгруппируем первые два члена выражения, так как у них есть общий множитель 24, и вынесем его за скобки:

$(93 - 27) \cdot 24 + 66 \cdot 76$

Выполним вычитание в скобках:

$93 - 27 = 66$

Теперь выражение выглядит так:

$66 \cdot 24 + 66 \cdot 76$

У получившихся слагаемых есть общий множитель 66. Снова вынесем его за скобки:

$66 \cdot (24 + 76)$

Выполним сложение в скобках:

$24 + 76 = 100$

Осталось выполнить последнее умножение:

$66 \cdot 100 = 6600$

Ответ: 6600

2) $82 \cdot 46 + 82 \cdot 54 + 135 \cdot 18 - 18 \cdot 35$

Сгруппируем слагаемые попарно, чтобы использовать распределительное свойство. У первой пары $(82 \cdot 46 + 82 \cdot 54)$ общий множитель 82. У второй пары $(135 \cdot 18 - 18 \cdot 35)$ общий множитель 18.

Вынесем за скобки общий множитель в первой группе:

$82 \cdot (46 + 54) = 82 \cdot 100 = 8200$

Вынесем за скобки общий множитель во второй группе:

$(135 - 35) \cdot 18 = 100 \cdot 18 = 1800$

Теперь сложим полученные результаты:

$8200 + 1800 = 10000$

Ответ: 10000

476. Выполните умножение:

1) $2 \text{ км } 56 \text{ м } \cdot 68;$

2) $7 \text{ р. } 9 \text{ к. } \cdot 54;$

3) $4 \text{ км } 90 \text{ м } \cdot 43;$

4) $3 \text{ т } 5 \text{ ц } 65 \text{ кг } \cdot 8;$

5) $3 \text{ ч } 48 \text{ мин } \cdot 25;$

6) $5 \text{ ч } 12 \text{ мин } 36 \text{ с } \cdot 15.$

1) 2 км 56 м ⋅ 68

Для выполнения умножения сперва переведем величину в наименьшую единицу измерения — метры. В одном километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$), поэтому: $2 \text{ км } 56 \text{ м} = 2 \cdot 1000 \text{ м} + 56 \text{ м} = 2056 \text{ м}$. Далее, умножим полученное значение на 68: $2056 \text{ м} \cdot 68 = 139808 \text{ м}$. Наконец, преобразуем результат обратно в километры и метры. Для этого разделим общее число метров на 1000. Целая часть от деления покажет количество километров, а остаток — количество метров: $139808 : 1000 = 139$ (остаток $808$). Таким образом, мы получаем 139 км 808 м.
Ответ: 139 км 808 м.

2) 7 р. 9 к. ⋅ 54

Сначала переведем рубли и копейки в наименьшую единицу — копейки. В одном рубле 100 копеек ($1 \text{ р.} = 100 \text{ к.}$): $7 \text{ р. } 9 \text{ к.} = 7 \cdot 100 \text{ к.} + 9 \text{ к.} = 709 \text{ к.}$. Теперь выполним умножение: $709 \text{ к.} \cdot 54 = 38286 \text{ к.}$. Для получения итогового ответа переведем копейки обратно в рубли и копейки, разделив полученное число на 100. Целая часть будет рублями, а остаток — копейками: $38286 : 100 = 382$ (остаток $86$). Результат — 382 р. 86 к.
Ответ: 382 р. 86 к.

3) 4 км 90 м ⋅ 43

Переведем исходную величину в метры, зная, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$: $4 \text{ км } 90 \text{ м} = 4 \cdot 1000 \text{ м} + 90 \text{ м} = 4090 \text{ м}$. Выполним умножение на 43: $4090 \text{ м} \cdot 43 = 175870 \text{ м}$. Теперь преобразуем результат обратно в километры и метры делением на 1000: $175870 : 1000 = 175$ (остаток $870$). Таким образом, итоговый результат составляет 175 км 870 м.
Ответ: 175 км 870 м.

4) 3 т 5 ц 65 кг ⋅ 8

Для решения переведем все в наименьшую единицу измерения — килограммы. Используем соотношения: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$ и $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$. $3 \text{ т } 5 \text{ ц } 65 \text{ кг} = 3 \cdot 1000 \text{ кг} + 5 \cdot 100 \text{ кг} + 65 \text{ кг} = 3000 + 500 + 65 = 3565 \text{ кг}$. Теперь умножим полученное значение на 8: $3565 \text{ кг} \cdot 8 = 28520 \text{ кг}$. Преобразуем результат обратно в тонны, центнеры и килограммы. Сначала найдем тонны, разделив на 1000: $28520 : 1000 = 28$ (остаток $520$). Это дает 28 т и 520 кг. Теперь из оставшихся 520 кг выделим центнеры, разделив на 100: $520 : 100 = 5$ (остаток $20$). Это дает 5 ц и 20 кг. Собираем все вместе: 28 т 5 ц 20 кг.
Ответ: 28 т 5 ц 20 кг.

5) 3 ч 48 мин ⋅ 25

Переведем часы и минуты в минуты, зная, что $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$: $3 \text{ ч } 48 \text{ мин} = 3 \cdot 60 \text{ мин} + 48 \text{ мин} = 180 + 48 = 228 \text{ мин}$. Выполним умножение: $228 \text{ мин} \cdot 25 = 5700 \text{ мин}$. Теперь переведем минуты обратно в часы, разделив на 60: $5700 : 60 = 95$. Остатка нет, поэтому результат — ровно 95 часов.
Ответ: 95 ч.

6) 5 ч 12 мин 36 с ⋅ 15

Переведем все в наименьшую единицу измерения — секунды. Используем соотношения: $1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$ и $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$. $5 \text{ ч } 12 \text{ мин } 36 \text{ с} = 5 \cdot 3600 \text{ с} + 12 \cdot 60 \text{ с} + 36 \text{ с} = 18000 + 720 + 36 = 18756 \text{ с}$. Выполним умножение на 15: $18756 \text{ с} \cdot 15 = 281340 \text{ с}$. Теперь выполним обратное преобразование. Сначала найдем общее количество минут, разделив на 60: $281340 : 60 = 4689$ (остаток $0$). Получаем 4689 мин 0 с. Теперь найдем количество часов в 4689 минутах, разделив на 60: $4689 : 60 = 78$ (остаток $9$). Это дает 78 ч и 9 мин. Собираем итоговый результат: 78 ч 9 мин 0 с.
Ответ: 78 ч 9 мин.

477. Выполните умножение:

1) $8 ц 26 кг \cdot 27;$

2) $14 р. 80 к. \cdot 40;$

3) $6 т 45 кг \cdot 82;$

4) $5 м 8 см \cdot 42;$

5) $7 мин 5 с \cdot 24;$

6) $4 сут 6 ч \cdot 12.$

1)

Чтобы выполнить умножение 8 ц 26 кг на 27, можно умножить каждую единицу измерения отдельно, а затем сложить результаты.

Умножим центнеры:

$8 \text{ ц } \cdot 27 = 216 \text{ ц }$

Умножим килограммы:

$26 \text{ кг } \cdot 27 = 702 \text{ кг }$

Теперь преобразуем килограммы в центнеры. Поскольку в 1 центнере 100 килограммов:

$702 \text{ кг } = 7 \text{ ц } 2 \text{ кг }$

Сложим полученные значения:

$216 \text{ ц } + 7 \text{ ц } 2 \text{ кг } = 223 \text{ ц } 2 \text{ кг }$

Ответ: 223 ц 2 кг.

2)

Для умножения 14 р. 80 к. на 40, умножим рубли и копейки по отдельности.

Умножим рубли:

$14 \text{ р. } \cdot 40 = 560 \text{ р. }$

Умножим копейки:

$80 \text{ к. } \cdot 40 = 3200 \text{ к. }$

Переведем копейки в рубли. В 1 рубле 100 копеек:

$3200 \text{ к. } = 3200 \div 100 \text{ р. } = 32 \text{ р. }$

Сложим результаты:

$560 \text{ р. } + 32 \text{ р. } = 592 \text{ р. }$

Ответ: 592 р.

3)

Выполним умножение 6 т 45 кг на 82. Умножим каждую единицу по отдельности.

Умножим тонны:

$6 \text{ т } \cdot 82 = 492 \text{ т }$

Умножим килограммы:

$45 \text{ кг } \cdot 82 = 3690 \text{ кг }$

Преобразуем килограммы в тонны. В 1 тонне 1000 килограммов:

$3690 \text{ кг } = 3 \text{ т } 690 \text{ кг }$

Сложим полученные значения:

$492 \text{ т } + 3 \text{ т } 690 \text{ кг } = 495 \text{ т } 690 \text{ кг }$

Ответ: 495 т 690 кг.

4)

Чтобы умножить 5 м 8 см на 42, умножим метры и сантиметры на число по отдельности.

Умножим метры:

$5 \text{ м } \cdot 42 = 210 \text{ м }$

Умножим сантиметры:

$8 \text{ см } \cdot 42 = 336 \text{ см }$

Переведем сантиметры в метры. В 1 метре 100 сантиметров:

$336 \text{ см } = 3 \text{ м } 36 \text{ см }$

Сложим результаты:

$210 \text{ м } + 3 \text{ м } 36 \text{ см } = 213 \text{ м } 36 \text{ см }$

Ответ: 213 м 36 см.

5)

Выполним умножение 7 мин 5 с на 24. Умножим минуты и секунды по отдельности.

Умножим минуты:

$7 \text{ мин } \cdot 24 = 168 \text{ мин }$

Умножим секунды:

$5 \text{ с } \cdot 24 = 120 \text{ с }$

Преобразуем секунды в минуты. В 1 минуте 60 секунд:

$120 \text{ с } = 120 \div 60 \text{ мин } = 2 \text{ мин }$

Сложим полученные значения:

$168 \text{ мин } + 2 \text{ мин } = 170 \text{ мин }$

Результат также можно представить в часах и минутах. В 1 часе 60 минут:

$170 \text{ мин } = 2 \text{ ч } 50 \text{ мин }$

Ответ: 170 мин (или 2 ч 50 мин).

6)

Для умножения 4 сут 6 ч на 12, умножим сутки и часы по отдельности.

Умножим сутки:

$4 \text{ сут } \cdot 12 = 48 \text{ сут }$

Умножим часы:

$6 \text{ ч } \cdot 12 = 72 \text{ ч }$

Переведем часы в сутки. В 1 сутках 24 часа:

$72 \text{ ч } = 72 \div 24 \text{ сут } = 3 \text{ сут }$

Сложим результаты:

$48 \text{ сут } + 3 \text{ сут } = 51 \text{ сут }$

Ответ: 51 сут.

478. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел:

1) от 1 до 10 включительно; 3) от 10 до 30 включительно;

2) от 15 до 24 включительно; 4) от 1 до 100 включительно?

Количество нулей на конце произведения натуральных чисел определяется количеством пар простых множителей 2 и 5 в его разложении. Поскольку множитель 2 встречается значительно чаще, чем множитель 5, количество нулей равно количеству множителей 5.

1) от 1 до 10 включительно;

Рассматривается произведение $P = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 10 = 10!$.
В этом диапазоне на 5 делятся числа: 5 и 10.
Число 5 дает один множитель 5.
Число 10 ($2 \cdot 5$) дает один множитель 5.
Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 = 2$.
Следовательно, произведение оканчивается двумя нулями.
Ответ: 2.

2) от 15 до 24 включительно;

Рассматривается произведение $P = 15 \cdot 16 \cdot \dots \cdot 24$.
В этом диапазоне на 5 делятся числа: 15 и 20.
Число 15 ($3 \cdot 5$) дает один множитель 5.
Число 20 ($4 \cdot 5$) дает один множитель 5.
Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 = 2$.
Следовательно, произведение оканчивается двумя нулями.
Ответ: 2.

3) от 10 до 30 включительно;

Рассматривается произведение $P = 10 \cdot 11 \cdot \dots \cdot 30$.
В этом диапазоне на 5 делятся числа: 10, 15, 20, 25, 30.
Числа 10, 15, 20, 30 дают по одному множителю 5.
Число 25 ($5^2$) дает два множителя 5.
Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6$.
Следовательно, произведение оканчивается шестью нулями.
Ответ: 6.

4) от 1 до 100 включительно?

Рассматривается произведение $P = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 100 = 100!$.
Для подсчета количества множителей 5 нужно найти, сколько чисел от 1 до 100 делятся на 5, сколько на $5^2 = 25$, сколько на $5^3 = 125$ и т.д., и сложить эти количества.
Количество чисел, кратных 5: $\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$.
Количество чисел, кратных 25: $\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$.
Количество чисел, кратных 125: $\lfloor \frac{100}{125} \rfloor = 0$.
Общее количество множителей 5 равно $20 + 4 = 24$.
Следовательно, произведение оканчивается 24 нулями.
Ответ: 24.

479. Протяжённость сухопутной границы России с Китаем, Монголией и Казахстаном составляет 15 293 км. Найдите протяжённость границы России с каждым из этих государств, если протяжённость границы с Китаем и Монголией равна 7694 км, а с Китаем и Казахстаном — 11 808 км.

Для решения задачи обозначим протяженность сухопутной границы России с Китаем как $K$, с Монголией — как $M$, и с Казахстаном — как $Z$.

Исходя из условия, можно составить систему уравнений:
1. Суммарная протяженность: $K + M + Z = 15293$ км.
2. Протяженность с Китаем и Монголией: $K + M = 7694$ км.
3. Протяженность с Китаем и Казахстаном: $K + Z = 11808$ км.

Найдём протяженность границы с Казахстаном
Чтобы найти протяженность границы с Казахстаном ($Z$), нужно из общей протяженности границ (уравнение 1) вычесть известную протяженность границ с Китаем и Монголией (уравнение 2):
$Z = (K + M + Z) - (K + M) = 15293 - 7694 = 7599$ км.
Ответ: протяженность границы с Казахстаном составляет 7599 км.

Найдём протяженность границы с Монголией
Аналогично, чтобы найти протяженность границы с Монголией ($M$), нужно из общей протяженности границ (уравнение 1) вычесть известную протяженность границ с Китаем и Казахстаном (уравнение 3):
$M = (K + M + Z) - (K + Z) = 15293 - 11808 = 3485$ км.
Ответ: протяженность границы с Монголией составляет 3485 км.

Найдём протяженность границы с Китаем
Теперь, зная протяженность границы с Монголией, можно найти протяженность границы с Китаем ($K$), используя уравнение 2:
$K + M = 7694$
$K + 3485 = 7694$
$K = 7694 - 3485 = 4209$ км.
Для проверки можно использовать уравнение 3 и найденную протяженность границы с Казахстаном:
$K + Z = 11808$
$K + 7599 = 11808$
$K = 11808 - 7599 = 4209$ км.
Результаты совпадают.
Ответ: протяженность границы с Китаем составляет 4209 км.

480. По двору бегали котята и цыплята. Вместе у них было 14 голов и 38 ног. Сколько котят и сколько цыплят бегало по двору?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество котят, а $y$ — количество цыплят.

Каждое животное имеет одну голову. Всего голов 14. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 14$

У каждого котенка 4 ноги, а у каждого цыпленка — 2 ноги. Всего ног 38. Это дает нам второе уравнение:

$4x + 2y = 38$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 14 \\ 4x + 2y = 38 \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 14 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение и решим его относительно $x$:

$4x + 2(14 - x) = 38$

$4x + 28 - 2x = 38$

$2x = 38 - 28$

$2x = 10$

$x = 5$

Таким образом, количество котят равно 5.

Теперь найдем количество цыплят, подставив значение $x$ обратно в выражение для $y$:

$y = 14 - 5$

$y = 9$

Итак, количество цыплят равно 9.

Проверка:

5 котят и 9 цыплят — это $5 + 9 = 14$ голов.

У 5 котят $5 \times 4 = 20$ ног, а у 9 цыплят $9 \times 2 = 18$ ног. Вместе у них $20 + 18 = 38$ ног.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: по двору бегало 5 котят и 9 цыплят.

481. Семья Сидоровых собирается провести отпуск, совершив путешествие на своём автомобиле по городам Золотого кольца России. Протяжённость запланированного маршрута составляет 1100 км. Какую сумму на покупку бензина они должны заложить в бюджет путешествия, если стоимость 1 л бензина равна 45 р., а автомобиль расходует 9 л бензина на 100 км пути?

Основные города Золотого кольца

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить два действия: сначала найти общее количество бензина, которое потребуется на всю поездку, а затем рассчитать его полную стоимость.

1. Вычисление необходимого количества бензина.

Известно, что общая протяженность маршрута составляет 1100 км, а расход автомобиля — 9 литров на каждые 100 км. Чтобы найти общее количество бензина, нужно сначала определить, сколько раз по 100 км содержится в общем расстоянии, а затем умножить полученное число на расход топлива.

Количество отрезков по 100 км: $1100 \text{ км} \div 100 \text{ км} = 11$.

Теперь умножим это число на расход бензина на одном таком отрезке:

$11 \times 9 \text{ л} = 99 \text{ л}$.

Следовательно, на всю поездку потребуется 99 литров бензина.

2. Вычисление общей стоимости бензина.

Стоимость одного литра бензина равна 45 рублей. Чтобы найти общую сумму, которую нужно заложить в бюджет, необходимо умножить общее количество требуемого бензина на его цену за литр.

$99 \text{ л} \times 45 \text{ р./л} = 4455 \text{ рублей}$.

Ответ: на покупку бензина они должны заложить в бюджет путешествия 4455 рублей.