Страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

446. Из двух сёл одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход. Пешеход шёл со скоростью 3 км/ч, что в 4 раза меньше скорости велосипедиста. Найдите расстояние между сёлами, если велосипедист и пешеход встретились через 3 ч после начала движения.

Для нахождения расстояния между сёлами необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти скорость велосипедиста

Из условия известно, что скорость пешехода составляет $3$ км/ч, и это в 4 раза меньше скорости велосипедиста. Следовательно, чтобы найти скорость велосипедиста, нужно скорость пешехода умножить на 4.

$3 \text{ км/ч} \times 4 = 12 \text{ км/ч}$ — скорость велосипедиста.

2. Найти скорость сближения

Поскольку пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей.

$v_{сближения} = v_{пешехода} + v_{велосипедиста}$

$3 \text{ км/ч} + 12 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$ — скорость сближения.

3. Найти расстояние между сёлами

Расстояние равно произведению скорости сближения на время, через которое они встретились. По условию, время до встречи составляет 3 часа.

$S = v_{сближения} \times t$

$15 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 45 \text{ км}$.

Ответ: 45 км.

447. Верно ли утверждение:

1) произведение двух натуральных чисел больше их суммы;

2) любое натуральное число можно представить в виде произведения двух натуральных чисел;

3) любое натуральное число можно представить в виде произведения двух разных натуральных чисел?

1) произведение двух натуральных чисел больше их суммы;

Это утверждение неверно. Чтобы опровергнуть утверждение, которое должно выполняться для всех случаев, достаточно найти хотя бы один контрпример, где оно не соблюдается.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Утверждение состоит в том, что всегда верно неравенство $a \times b > a + b$.

Контрпример 1: Возьмем числа $a=1$ и $b=3$. Их произведение: $1 \times 3 = 3$. Их сумма: $1 + 3 = 4$. В данном случае $3 < 4$, то есть произведение меньше суммы.

Контрпример 2: Возьмем числа $a=2$ и $b=2$. Их произведение: $2 \times 2 = 4$. Их сумма: $2 + 2 = 4$. Здесь произведение равно сумме ($4=4$), а не строго больше.

Поскольку существуют пары натуральных чисел, для которых это утверждение не выполняется, оно является неверным в общем виде.

Ответ: утверждение неверно.

2) любое натуральное число можно представить в виде произведения двух натуральных чисел;

Это утверждение верно. Натуральными числами являются числа $1, 2, 3, 4, \dots$.

Для любого натурального числа $n$ мы можем записать равенство: $n = n \times 1$.

В этом произведении оба множителя — $n$ и $1$ — являются натуральными числами. Следовательно, любое натуральное число можно представить в виде произведения двух натуральных чисел.

Например: $7 = 7 \times 1$; $25 = 25 \times 1$; $1 = 1 \times 1$.

Ответ: утверждение верно.

3) любое натуральное число можно представить в виде произведения двух разных натуральных чисел?

Это утверждение неверно. Слово "любое" подразумевает, что свойство должно выполняться для абсолютно всех натуральных чисел без исключения.

Рассмотрим натуральное число $1$. Единственный способ разложить его на произведение двух натуральных множителей — это $1 = 1 \times 1$. В этом случае множители равны друг другу, а не различны. Не существует двух разных натуральных чисел, произведение которых равно 1.

Таким образом, для числа $1$ данное утверждение не выполняется, что делает общее утверждение ложным.

Важно отметить, что для любого натурального числа $n > 1$ это утверждение справедливо, так как его можно представить в виде $n = n \times 1$. Поскольку $n > 1$, множители $n$ и $1$ различны. Однако наличие хотя бы одного исключения (числа $1$) делает всё утверждение неверным.

Ответ: утверждение неверно.

448. Из двух посёлков, расстояние между которыми равно $3 \text{ км}$, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один из них двигался со скоростью $5 \text{ км/ч}$, а второй — $4 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между пешеходами через $2 \text{ ч}$ после начала движения?

Для того чтобы определить расстояние между пешеходами через 2 часа, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдем скорость сближения пешеходов.

Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость первого пешехода $v_1 = 5$ км/ч, скорость второго $v_2 = 4$ км/ч.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 5 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

2. Найдем общее расстояние, которое пройдут пешеходы за 2 часа.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость сближения умножить на время движения $t = 2$ ч.

$S_{общ} = v_{сбл} \times t = 9 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 18 \text{ км}$

3. Найдем расстояние между пешеходами через 2 часа.

Изначально между пешеходами было расстояние $S_{нач} = 3$ км. За 2 часа они вместе прошли 18 км. Это означает, что они встретились (пройдя 3 км) и продолжили движение в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга.

Чтобы найти, на каком расстоянии они окажутся друг от друга, нужно из общего пройденного ими расстояния вычесть начальное расстояние между ними:

$S_{кон} = S_{общ} - S_{нач} = 18 \text{ км} - 3 \text{ км} = 15 \text{ км}$

Ответ: 15 км.

449. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы умножение было выполнено верно:

1) $\begin{array}{r}43 \\\times 2* \\\hline3*4 \\+ 8** \\\hline12*4\end{array}$

2) $\begin{array}{r}52 \\\times ** \\\hline** \\1** \\+ ***8 \\\hline***8*\end{array}$

3) $\begin{array}{r}*8 \\\times ** \\\hline*** \\+ 8** \\\hline***8*\end{array}$

4) $\begin{array}{r}6* \\\times *** \\\hline*** \\** \\+ *** \\\hline****6\end{array}$

1)

Рассмотрим пример:

 43 x 2* ---- 3*4 + 8* ----- 12*4

1. Начнем с первого неполного произведения. Мы умножаем 43 на последнюю цифру второго множителя (обозначим ее за $x$). Результат этого умножения — трехзначное число $3*4$. Произведение последней цифры первого множителя (3) на $x$ должно давать число, оканчивающееся на 4. Проверим таблицу умножения на 3: $3 \times 8 = 24$. Значит, $x=8$.

2. Проверим наше предположение, умножив 43 на 8: $43 \times 8 = 344$. Это соответствует шаблону $3*4$, где звездочка заменяет цифру 4. Итак, второй множитель — 28, а первое неполное произведение — 344.

3. Второе неполное произведение — это результат умножения 43 на первую цифру второго множителя (2): $43 \times 2 = 86$. Это соответствует шаблону $8*$, где звездочка — это 6.

4. Теперь сложим неполные произведения:

 344 + 86 -----

(Помним, что второе слагаемое сдвинуто на один разряд влево)

 344 + 860 ----- 1204

Результат 1204 соответствует шаблону $12*4$, где звездочка — это 0.

Ответ:

 43 x 28 ---- 344 + 86 ----- 1204

2)

Рассмотрим пример:

 52 x ** ---- 1** +**8 ----- **8*

1. Обозначим второй множитель как $AB$. Первое неполное произведение — это $52 \times B = 1**$. Второе — $52 \times A = **8$.

2. Найдем цифру $A$. Произведение $52 \times A$ дает число, оканчивающееся на 8. Это значит, что произведение $2 \times A$ должно оканчиваться на 8. Возможные варианты для $A$: $A=4$ ($2 \times 4 = 8$) или $A=9$ ($2 \times 9 = 18$).

3. Найдем цифру $B$. Произведение $52 \times B$ является трехзначным числом, начинающимся с 1 (т.е. от 100 до 199).

- Если $B=1$, $52 \times 1 = 52$ (не подходит, двузначное).

- Если $B=2$, $52 \times 2 = 104$ (подходит, $1**$).

- Если $B=3$, $52 \times 3 = 156$ (подходит, $1**$).

- Если $B=4$, $52 \times 4 = 208$ (не подходит, начинается с 2).

Итак, $B$ может быть 2 или 3.

4. Теперь у нас есть четыре возможные комбинации для множителя $AB$: 42, 43, 92, 93. Проверим их.

- $52 \times 42$: $52 \times 2 = 104$, $52 \times 4 = 208$. Сумма: $104 + 2080 = 2184$. Шаблон суммы $**8*$. У нас 8 в десятках, это подходит.

- $52 \times 92$: $52 \times 2 = 104$, $52 \times 9 = 468$. Сумма: $104 + 4680 = 4784$. Шаблон суммы $**8*$. У нас 8 в десятках, это подходит.

Вернемся к шаблону. Второе неполное произведение $+**8$. В первом случае ($A=4$) это 208, во втором ($A=9$) — 468. Оба подходят.

Первое неполное произведение $1**$. В первом и втором случае ($B=2$) это 104. Подходит.

Итоговая сумма $**8*$. В первом случае 2184. Во втором 4784. Обе суммы подходят под шаблон. Посмотрим на запись в столбик:

 52 x 92 ---- 104 +468 ----- 4784

Этот вариант полностью соответствует всем звездочкам в условии.

Ответ:

 52 x 92 ---- 104 +468 ----- 4784

3)

Рассмотрим пример:

 *8 x ** ---- *** 8** ---- 8***

В данном примере, судя по всему, есть опечатка в условии, так как сложение трехзначного числа ($***$) и четырехзначного, оканчивающегося на ноль ($8**0$), не может дать четырехзначное число, начинающееся с той же цифры 8 (кроме случая, когда первое число равно 0, что невозможно). Наиболее вероятная опечатка — в итоговой сумме, которая должна начинаться с 9, или быть пятизначной. Однако, если предположить, что первая звездочка в сумме ($8***$) на самом деле не 8, а другая цифра, задача решается.

1. Обозначим числа как $A8$ и $CB$. Второе неполное произведение $A8 \times C = 8**$. Чтобы произведение двузначного числа, начинающегося с $A$, на $C$ давало число, начинающееся с 8, множители должны быть большими. Проверим $A=9$. Тогда имеем $98 \times C = 8**$. Если $C=9$, то $98 \times 9 = 882$. Это соответствует шаблону $8**$. Итак, весьма вероятно, что первый множитель 98, а первая цифра второго множителя 9.

2. Теперь найдем вторую цифру множителя $B$. Первое неполное произведение $98 \times B = ***$.

3. Сложим произведения:

 (98xB) + 882 ------- (Сумма)

При сложении в столбик это выглядит как $(98 \times B) + 8820$.

Если $B=1$, то $98 \times 1 = 98$. Это двузначное число, что допустимо для шаблона $***$ (можно записать как 098).

Сложим: $98 + 8820 = 8918$.

Проверим, соответствует ли это шаблону:

 98 x 91 ---- 98 (соответствует ***) +882 (соответствует 8**) ----- 8918 (соответствует 8***)

Все условия сходятся.

Ответ:

 98 x 91 ---- 98 +882 ----- 8918

4)

Рассмотрим пример:

 6* x *** ---- *** ** ** ---- ****6

1. Здесь мы умножаем двузначное число $6A$ на трехзначное $BCD$. Получаем три неполных произведения.

2. Второе ($6A \times C$) и третье ($6A \times B$) неполные произведения — двузначные числа. Число $6A$ находится в диапазоне от 60 до 69. Если умножить его на 2, результат будет трехзначным ($60 \times 2 = 120$). Следовательно, чтобы произведение было двузначным, цифры $B$ и $C$ могут быть только 1. Итак, второй множитель имеет вид $11D$.

3. Итоговый результат оканчивается на 6. Последняя цифра результата определяется последней цифрой первого неполного произведения ($6A \times D$), которая, в свою очередь, определяется последней цифрой произведения $A \times D$. Значит, $A \times D$ должно оканчиваться на 6.

4. Первое неполное произведение ($6A \times D$) — трехзначное.

5. Подберем $A$ и $D$.

- Пусть $A=2$. Тогда $D$ должно быть 3 или 8 ($2 \times 3 = 6, 2 \times 8 = 16$). - Если $D=3$, то $62 \times 3 = 186$. Это трехзначное число. Подходит. - Если $D=8$, то $62 \times 8 = 496$. Это трехзначное число. Подходит.

6. Проверим первый найденный вариант: первый множитель 62, второй 113.

- Первое неполное произведение: $62 \times 3 = 186$ (шаблон $***$).

- Второе неполное произведение: $62 \times 1 = 62$ (шаблон $**$).

- Третье неполное произведение: $62 \times 1 = 62$ (шаблон $**$).

7. Сложим их:

 186 + 62 + 62 ----- 7006

(При сложении в столбик слагаемые сдвигаются)

 186 + 620 +6200 ----- 7006

Результат 7006 соответствует шаблону $****6$. Решение найдено.

Ответ:

 62 x 113 ---- 186 + 62 + 62 ----- 7006

450. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы умножение было выполнено верно:

1) $ \begin{array}{cr} & *7 \\ \times & \underline{6*} \\ & 51* \\ + & ***\phantom{0} \\ \hline & ***3 \end{array} $

2) $ \begin{array}{cr} & 74 \\ \times & \underline{**} \\ & *1* \\ + & **\phantom{0} \\ \hline & ***8 \end{array} $

3) $ \begin{array}{cr} & 52 \\ \times & \underline{**} \\ & \phantom{0}** \\ + & ***\phantom{0} \\ \hline & **** \end{array} $

4) $ \begin{array}{cr} & *** \\ \times & \underline{\phantom{*}*2} \\ & *08 \\ + & *6*\phantom{0} \\ \hline & *12* \end{array} $

1)

Давайте восстановим умножение по шагам. Обозначим числа как $A7 \times 6B$.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & A7 \\ & \times & 6B \\ \hline & 5 & 1C \\ +& D & EF \\ \hline & G & HI3 \\ \end{array} $
1. Последняя цифра результата (3) получается из последней цифры первого промежуточного произведения ($51C$), так как второе произведение сдвинуто влево. Значит, $C=3$. Первое произведение равно 513.
2. Первое произведение — это $A7 \times B = 513$. Чтобы произведение $7 \times B$ оканчивалось на 3, цифра $B$ должна быть 9 ($7 \times 9 = 63$).
3. Проверим: если $B=9$, то $A7 \times 9 = 513$. Разделив 513 на 9, получаем $A7=57$. Значит, $A=5$.
4. Теперь у нас есть полное выражение: $57 \times 69$. Второе промежуточное произведение — это $57 \times 6 = 342$.
5. Сложим промежуточные произведения:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 5 & 7 \\ & \times & 6 & 9 \\ \hline & 5 & 1 & 3 \\ +& 3 & 4 & 2 & \\ \hline & 3 & 9 & 3 & 3 \\ \end{array} $
Все цифры совпали.
Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 5 & 7 \\ & \times & 6 & 9 \\ \hline & 5 & 1 & 3 \\ +& 3 & 4 & 2 & \\ \hline & 3 & 9 & 3 & 3 \\ \end{array} $

2)

Обозначим неизвестный множитель как $AB$.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 74 \\ & \times & AB \\ \hline & C & 1D \\ +& E & F \\ \hline & G & HI8 \\ \end{array} $
1. Последняя цифра результата (8) получается из последней цифры первого промежуточного произведения ($C1D$). Значит, $D=8$.
2. Первое произведение — это $74 \times B = C18$. Чтобы произведение $4 \times B$ оканчивалось на 8, $B$ может быть 2 ($4 \times 2 = 8$) или 7 ($4 \times 7 = 28$).
3. Если $B=2$, то $74 \times 2 = 148$. Это не соответствует шаблону $*1*$, так как вторая цифра — 4, а не 1.
4. Если $B=7$, то $74 \times 7 = 518$. Это соответствует шаблону $*1*$. Значит, $B=7$, а первое произведение — 518.
5. Второе промежуточное произведение $74 \times A$ является двузначным числом ($EF$). Это возможно только если $A=1$, так как $74 \times 1 = 74$. Если $A=2$, то $74 \times 2 = 148$ (трехзначное). Значит, $A=1$.
6. Теперь выполним сложение:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 7 & 4 \\ & & \times & 1 & 7 \\ \hline & & 5 & 1 & 8 \\ +& & 7 & 4 & \\ \hline & 1 & 2 & 5 & 8 \\ \end{array} $
Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 7 & 4 \\ & & \times & 1 & 7 \\ \hline & & 5 & 1 & 8 \\ +& & 7 & 4 & \\ \hline & 1 & 2 & 5 & 8 \\ \end{array} $

3)

Обозначим неизвестный множитель как $AB$.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 52 \\ & \times & AB \\ \hline & & CD \\ +& E & FG \\ \hline & H & IJK \\ \end{array} $
1. Первое промежуточное произведение ($52 \times B$) является двузначным числом ($CD$). Это возможно только если $B=1$, так как $52 \times 1 = 52$. Если $B \ge 2$, произведение будет трехзначным ($52 \times 2 = 104$). Значит, $B=1$, а первое произведение — 52.
2. Второе промежуточное произведение ($52 \times A$) является трехзначным числом ($EFG$). Это значит, что $A$ должно быть больше 1. Попробуем наименьшее возможное значение, $A=2$.
3. Если $A=2$, второе произведение равно $52 \times 2 = 104$.
4. Сложим промежуточные произведения:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 5 & 2 \\ & & \times & 2 & 1 \\ \hline & & & 5 & 2 \\ +& & 1 & 0 & 4 & \\ \hline & & 1 & 0 & 9 & 2 \\ \end{array} $
Результат — четырехзначное число, что соответствует условию.
Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 5 & 2 \\ & & \times & 2 & 1 \\ \hline & & & 5 & 2 \\ +& & 1 & 0 & 4 & \\ \hline & & 1 & 0 & 9 & 2 \\ \end{array} $

4)

Запишем пример в виде букв:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & A & B & C \\ & \times & & D & 2 \\ \hline & E & 0 & 8 \\ +& F & 6 & G & \\ \hline & H & 1 & 2 & I \\ \end{array} $
1. Последняя цифра результата $I$ равна последней цифре первого произведения, то есть $I=8$.
2. Рассмотрим сложение в столбик. В разряде десятков: $0 + G = 2$, значит $G=2$.
3. В разряде сотен: $E + 6 = 1$ (точнее, 11, с переходом через десяток). Значит, $E=5$.
4. Теперь мы знаем, что первое промежуточное произведение равно 508. Оно получено умножением $ABC \times 2 = 508$. Отсюда находим $ABC = 508 \div 2 = 254$.
5. Второе промежуточное произведение равно $F6G = F62$. Оно получено умножением $254 \times D = F62$.
6. Чтобы произведение $254 \times D$ оканчивалось на 2, нужно чтобы $4 \times D$ оканчивалось на 2. Возможные варианты для $D$: 3 ($4 \times 3=12$) или 8 ($4 \times 8=32$).
7. Проверим $D=3$: $254 \times 3 = 762$. Это соответствует шаблону $F62$.
8. Проверим $D=8$: $254 \times 8 = 2032$. Это не соответствует шаблону $F62$.
9. Значит, $D=3$. Восстановим все умножение:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 2 & 5 & 4 \\ & \times & & 3 & 2 \\ \hline & & 5 & 0 & 8 \\ +& 7 & 6 & 2 & \\ \hline & 8 & 1 & 2 & 8 \\ \end{array} $
Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 2 & 5 & 4 \\ & \times & & 3 & 2 \\ \hline & & 5 & 0 & 8 \\ +& 7 & 6 & 2 & \\ \hline & 8 & 1 & 2 & 8 \\ \end{array} $

451. Сумма и произведение четырёх натуральных чисел равны 8. Найдите эти числа.

Пусть искомые четыре натуральных числа - это $a, b, c$ и $d$. Поскольку числа натуральные, они должны быть целыми и положительными ($a, b, c, d \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Согласно условию задачи, сумма и произведение этих чисел равны 8. Это можно записать в виде системы из двух уравнений:

$a + b + c + d = 8$

$a \cdot b \cdot c \cdot d = 8$

Из второго уравнения следует, что каждое из чисел $a, b, c, d$ является делителем числа 8. Натуральные делители числа 8: 1, 2, 4, 8.

Теперь нам нужно найти все возможные комбинации из четырех таких делителей, произведение которых равно 8. Рассмотрим все варианты, предполагая для удобства, что числа расположены в порядке неубывания ($a \le b \le c \le d$):

1. Набор 1: 1, 1, 1, 8.
   Проверяем произведение: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 8$.
   Проверяем сумму: $1 + 1 + 1 + 8 = 11$.
   Сумма не равна 8, следовательно, этот набор чисел не является решением.

2. Набор 2: 1, 1, 2, 4.
   Проверяем произведение: $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$.
   Проверяем сумму: $1 + 1 + 2 + 4 = 8$.
   И сумма, и произведение равны 8. Этот набор чисел удовлетворяет обоим условиям.

3. Набор 3: 1, 2, 2, 2.
   Проверяем произведение: $1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
   Проверяем сумму: $1 + 2 + 2 + 2 = 7$.
   Сумма не равна 8, следовательно, этот набор чисел также не является решением.

Других способов разложить число 8 на четыре натуральных множителя не существует. Таким образом, единственная комбинация чисел, удовлетворяющая условиям задачи, - это 1, 1, 2, 4.

Ответ: 1, 1, 2, 4.

452. В записи $1 * 2 * 3 * 4 * 5$ замените звёздочки знаками «+» или «$\cdot$» и расставьте скобки так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100.

Задача состоит в том, чтобы в выражении $1 * 2 * 3 * 4 * 5$ заменить звёздочки на знаки сложения «+» или умножения «·» и расставить скобки для получения результата 100.

Поскольку итоговое число 100 является круглым, можно предположить, что в выражении будет использоваться умножение, в частности на число 5, которое присутствует в конце последовательности.

Если предположить, что последним действием будет умножение на 5, то значение выражения, составленного из чисел 1, 2, 3, 4, должно быть равно $100 \div 5 = 20$.

Теперь попробуем получить число 20 из выражения $1 * 2 * 3 * 4$, подставляя знаки и расставляя скобки. Рассмотрим следующую комбинацию:

$1 \cdot (2 + 3) \cdot 4$

Вычислим значение этого выражения:

1. Сначала выполняем действие в скобках: $2 + 3 = 5$.

2. Затем выполняем умножение слева направо: $1 \cdot 5 \cdot 4 = 20$.

Мы получили требуемое значение 20. Теперь можно записать полное выражение, добавив в конце умножение на 5:

$1 \cdot (2 + 3) \cdot 4 \cdot 5$

Проверим итоговый результат, выполняя действия по порядку:

$1 \cdot (2 + 3) \cdot 4 \cdot 5 = 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100$.

Результат верен. Таким образом, мы заменили звёздочки на знаки «·», «+», «·», «·» и расставили скобки вокруг суммы $2+3$.

Ответ: $1 \cdot (2 + 3) \cdot 4 \cdot 5 = 100$.

453. Верно ли неравенство $(a + 253) \cdot 7 < (9864 - a) : 4 \text{ при } a = 124?$

Чтобы проверить, верно ли неравенство при $a = 124$, необходимо подставить это значение в левую и правую части неравенства и сравнить полученные результаты.

Исходное неравенство: $(a + 253) \cdot 7 < (9864 - a) : 4$.

1. Вычислим значение выражения в левой части неравенства, подставив $a = 124$:

$(124 + 253) \cdot 7$

Сначала выполняем действие в скобках:

$124 + 253 = 377$

Затем выполняем умножение:

$377 \cdot 7 = 2639$

Таким образом, значение левой части неравенства равно 2639.

2. Вычислим значение выражения в правой части неравенства, подставив $a = 124$:

$(9864 - 124) : 4$

Сначала выполняем действие в скобках:

$9864 - 124 = 9740$

Затем выполняем деление:

$9740 : 4 = 2435$

Таким образом, значение правой части неравенства равно 2435.

3. Теперь сравним полученные результаты. Подставим вычисленные значения в исходное неравенство:

$2639 < 2435$

Данное утверждение является ложным, так как число 2639 больше числа 2435 ($2639 > 2435$).

Ответ: неравенство неверно.