Номер 450, страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 17. Умножение. Переместительное свойство умножения. Упражнения - номер 450, страница 117.

Условие.

450. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы умножение было выполнено верно:

1) $ \begin{array}{cr} & *7 \\ \times & \underline{6*} \\ & 51* \\ + & ***\phantom{0} \\ \hline & ***3 \end{array} $

2) $ \begin{array}{cr} & 74 \\ \times & \underline{**} \\ & *1* \\ + & **\phantom{0} \\ \hline & ***8 \end{array} $

3) $ \begin{array}{cr} & 52 \\ \times & \underline{**} \\ & \phantom{0}** \\ + & ***\phantom{0} \\ \hline & **** \end{array} $

4) $ \begin{array}{cr} & *** \\ \times & \underline{\phantom{*}*2} \\ & *08 \\ + & *6*\phantom{0} \\ \hline & *12* \end{array} $

Решение.

Решение 2.

1)

Давайте восстановим умножение по шагам. Обозначим числа как $A7 \times 6B$.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & A7 \\ & \times & 6B \\ \hline & 5 & 1C \\ +& D & EF \\ \hline & G & HI3 \\ \end{array} $
1. Последняя цифра результата (3) получается из последней цифры первого промежуточного произведения ($51C$), так как второе произведение сдвинуто влево. Значит, $C=3$. Первое произведение равно 513.
2. Первое произведение — это $A7 \times B = 513$. Чтобы произведение $7 \times B$ оканчивалось на 3, цифра $B$ должна быть 9 ($7 \times 9 = 63$).
3. Проверим: если $B=9$, то $A7 \times 9 = 513$. Разделив 513 на 9, получаем $A7=57$. Значит, $A=5$.
4. Теперь у нас есть полное выражение: $57 \times 69$. Второе промежуточное произведение — это $57 \times 6 = 342$.
5. Сложим промежуточные произведения:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 5 & 7 \\ & \times & 6 & 9 \\ \hline & 5 & 1 & 3 \\ +& 3 & 4 & 2 & \\ \hline & 3 & 9 & 3 & 3 \\ \end{array} $
Все цифры совпали.
Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 5 & 7 \\ & \times & 6 & 9 \\ \hline & 5 & 1 & 3 \\ +& 3 & 4 & 2 & \\ \hline & 3 & 9 & 3 & 3 \\ \end{array} $

2)

Обозначим неизвестный множитель как $AB$.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 74 \\ & \times & AB \\ \hline & C & 1D \\ +& E & F \\ \hline & G & HI8 \\ \end{array} $
1. Последняя цифра результата (8) получается из последней цифры первого промежуточного произведения ($C1D$). Значит, $D=8$.
2. Первое произведение — это $74 \times B = C18$. Чтобы произведение $4 \times B$ оканчивалось на 8, $B$ может быть 2 ($4 \times 2 = 8$) или 7 ($4 \times 7 = 28$).
3. Если $B=2$, то $74 \times 2 = 148$. Это не соответствует шаблону $*1*$, так как вторая цифра — 4, а не 1.
4. Если $B=7$, то $74 \times 7 = 518$. Это соответствует шаблону $*1*$. Значит, $B=7$, а первое произведение — 518.
5. Второе промежуточное произведение $74 \times A$ является двузначным числом ($EF$). Это возможно только если $A=1$, так как $74 \times 1 = 74$. Если $A=2$, то $74 \times 2 = 148$ (трехзначное). Значит, $A=1$.
6. Теперь выполним сложение:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 7 & 4 \\ & & \times & 1 & 7 \\ \hline & & 5 & 1 & 8 \\ +& & 7 & 4 & \\ \hline & 1 & 2 & 5 & 8 \\ \end{array} $
Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 7 & 4 \\ & & \times & 1 & 7 \\ \hline & & 5 & 1 & 8 \\ +& & 7 & 4 & \\ \hline & 1 & 2 & 5 & 8 \\ \end{array} $

3)

Обозначим неизвестный множитель как $AB$.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 52 \\ & \times & AB \\ \hline & & CD \\ +& E & FG \\ \hline & H & IJK \\ \end{array} $
1. Первое промежуточное произведение ($52 \times B$) является двузначным числом ($CD$). Это возможно только если $B=1$, так как $52 \times 1 = 52$. Если $B \ge 2$, произведение будет трехзначным ($52 \times 2 = 104$). Значит, $B=1$, а первое произведение — 52.
2. Второе промежуточное произведение ($52 \times A$) является трехзначным числом ($EFG$). Это значит, что $A$ должно быть больше 1. Попробуем наименьшее возможное значение, $A=2$.
3. Если $A=2$, второе произведение равно $52 \times 2 = 104$.
4. Сложим промежуточные произведения:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 5 & 2 \\ & & \times & 2 & 1 \\ \hline & & & 5 & 2 \\ +& & 1 & 0 & 4 & \\ \hline & & 1 & 0 & 9 & 2 \\ \end{array} $
Результат — четырехзначное число, что соответствует условию.
Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & & 5 & 2 \\ & & \times & 2 & 1 \\ \hline & & & 5 & 2 \\ +& & 1 & 0 & 4 & \\ \hline & & 1 & 0 & 9 & 2 \\ \end{array} $

4)

Запишем пример в виде букв:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & A & B & C \\ & \times & & D & 2 \\ \hline & E & 0 & 8 \\ +& F & 6 & G & \\ \hline & H & 1 & 2 & I \\ \end{array} $
1. Последняя цифра результата $I$ равна последней цифре первого произведения, то есть $I=8$.
2. Рассмотрим сложение в столбик. В разряде десятков: $0 + G = 2$, значит $G=2$.
3. В разряде сотен: $E + 6 = 1$ (точнее, 11, с переходом через десяток). Значит, $E=5$.
4. Теперь мы знаем, что первое промежуточное произведение равно 508. Оно получено умножением $ABC \times 2 = 508$. Отсюда находим $ABC = 508 \div 2 = 254$.
5. Второе промежуточное произведение равно $F6G = F62$. Оно получено умножением $254 \times D = F62$.
6. Чтобы произведение $254 \times D$ оканчивалось на 2, нужно чтобы $4 \times D$ оканчивалось на 2. Возможные варианты для $D$: 3 ($4 \times 3=12$) или 8 ($4 \times 8=32$).
7. Проверим $D=3$: $254 \times 3 = 762$. Это соответствует шаблону $F62$.
8. Проверим $D=8$: $254 \times 8 = 2032$. Это не соответствует шаблону $F62$.
9. Значит, $D=3$. Восстановим все умножение:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 2 & 5 & 4 \\ & \times & & 3 & 2 \\ \hline & & 5 & 0 & 8 \\ +& 7 & 6 & 2 & \\ \hline & 8 & 1 & 2 & 8 \\ \end{array} $
Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 2 & 5 & 4 \\ & \times & & 3 & 2 \\ \hline & & 5 & 0 & 8 \\ +& 7 & 6 & 2 & \\ \hline & 8 & 1 & 2 & 8 \\ \end{array} $