Номер 449, страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 17. Умножение. Переместительное свойство умножения. Упражнения - номер 449, страница 117.

Условие.

449. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы умножение было выполнено верно:

1) $\begin{array}{r}43 \\\times 2* \\\hline3*4 \\+ 8** \\\hline12*4\end{array}$

2) $\begin{array}{r}52 \\\times ** \\\hline** \\1** \\+ ***8 \\\hline***8*\end{array}$

3) $\begin{array}{r}*8 \\\times ** \\\hline*** \\+ 8** \\\hline***8*\end{array}$

4) $\begin{array}{r}6* \\\times *** \\\hline*** \\** \\+ *** \\\hline****6\end{array}$

Решение.

Решение 2.

1)

Рассмотрим пример:

 43 x 2* ---- 3*4 + 8* ----- 12*4

1. Начнем с первого неполного произведения. Мы умножаем 43 на последнюю цифру второго множителя (обозначим ее за $x$). Результат этого умножения — трехзначное число $3*4$. Произведение последней цифры первого множителя (3) на $x$ должно давать число, оканчивающееся на 4. Проверим таблицу умножения на 3: $3 \times 8 = 24$. Значит, $x=8$.

2. Проверим наше предположение, умножив 43 на 8: $43 \times 8 = 344$. Это соответствует шаблону $3*4$, где звездочка заменяет цифру 4. Итак, второй множитель — 28, а первое неполное произведение — 344.

3. Второе неполное произведение — это результат умножения 43 на первую цифру второго множителя (2): $43 \times 2 = 86$. Это соответствует шаблону $8*$, где звездочка — это 6.

4. Теперь сложим неполные произведения:

 344 + 86 -----

(Помним, что второе слагаемое сдвинуто на один разряд влево)

 344 + 860 ----- 1204

Результат 1204 соответствует шаблону $12*4$, где звездочка — это 0.

Ответ:

 43 x 28 ---- 344 + 86 ----- 1204

2)

Рассмотрим пример:

 52 x ** ---- 1** +**8 ----- **8*

1. Обозначим второй множитель как $AB$. Первое неполное произведение — это $52 \times B = 1**$. Второе — $52 \times A = **8$.

2. Найдем цифру $A$. Произведение $52 \times A$ дает число, оканчивающееся на 8. Это значит, что произведение $2 \times A$ должно оканчиваться на 8. Возможные варианты для $A$: $A=4$ ($2 \times 4 = 8$) или $A=9$ ($2 \times 9 = 18$).

3. Найдем цифру $B$. Произведение $52 \times B$ является трехзначным числом, начинающимся с 1 (т.е. от 100 до 199).

- Если $B=1$, $52 \times 1 = 52$ (не подходит, двузначное).

- Если $B=2$, $52 \times 2 = 104$ (подходит, $1**$).

- Если $B=3$, $52 \times 3 = 156$ (подходит, $1**$).

- Если $B=4$, $52 \times 4 = 208$ (не подходит, начинается с 2).

Итак, $B$ может быть 2 или 3.

4. Теперь у нас есть четыре возможные комбинации для множителя $AB$: 42, 43, 92, 93. Проверим их.

- $52 \times 42$: $52 \times 2 = 104$, $52 \times 4 = 208$. Сумма: $104 + 2080 = 2184$. Шаблон суммы $**8*$. У нас 8 в десятках, это подходит.

- $52 \times 92$: $52 \times 2 = 104$, $52 \times 9 = 468$. Сумма: $104 + 4680 = 4784$. Шаблон суммы $**8*$. У нас 8 в десятках, это подходит.

Вернемся к шаблону. Второе неполное произведение $+**8$. В первом случае ($A=4$) это 208, во втором ($A=9$) — 468. Оба подходят.

Первое неполное произведение $1**$. В первом и втором случае ($B=2$) это 104. Подходит.

Итоговая сумма $**8*$. В первом случае 2184. Во втором 4784. Обе суммы подходят под шаблон. Посмотрим на запись в столбик:

 52 x 92 ---- 104 +468 ----- 4784

Этот вариант полностью соответствует всем звездочкам в условии.

Ответ:

 52 x 92 ---- 104 +468 ----- 4784

3)

Рассмотрим пример:

 *8 x ** ---- *** 8** ---- 8***

В данном примере, судя по всему, есть опечатка в условии, так как сложение трехзначного числа ($***$) и четырехзначного, оканчивающегося на ноль ($8**0$), не может дать четырехзначное число, начинающееся с той же цифры 8 (кроме случая, когда первое число равно 0, что невозможно). Наиболее вероятная опечатка — в итоговой сумме, которая должна начинаться с 9, или быть пятизначной. Однако, если предположить, что первая звездочка в сумме ($8***$) на самом деле не 8, а другая цифра, задача решается.

1. Обозначим числа как $A8$ и $CB$. Второе неполное произведение $A8 \times C = 8**$. Чтобы произведение двузначного числа, начинающегося с $A$, на $C$ давало число, начинающееся с 8, множители должны быть большими. Проверим $A=9$. Тогда имеем $98 \times C = 8**$. Если $C=9$, то $98 \times 9 = 882$. Это соответствует шаблону $8**$. Итак, весьма вероятно, что первый множитель 98, а первая цифра второго множителя 9.

2. Теперь найдем вторую цифру множителя $B$. Первое неполное произведение $98 \times B = ***$.

3. Сложим произведения:

 (98xB) + 882 ------- (Сумма)

При сложении в столбик это выглядит как $(98 \times B) + 8820$.

Если $B=1$, то $98 \times 1 = 98$. Это двузначное число, что допустимо для шаблона $***$ (можно записать как 098).

Сложим: $98 + 8820 = 8918$.

Проверим, соответствует ли это шаблону:

 98 x 91 ---- 98 (соответствует ***) +882 (соответствует 8**) ----- 8918 (соответствует 8***)

Все условия сходятся.

Ответ:

 98 x 91 ---- 98 +882 ----- 8918

4)

Рассмотрим пример:

 6* x *** ---- *** ** ** ---- ****6

1. Здесь мы умножаем двузначное число $6A$ на трехзначное $BCD$. Получаем три неполных произведения.

2. Второе ($6A \times C$) и третье ($6A \times B$) неполные произведения — двузначные числа. Число $6A$ находится в диапазоне от 60 до 69. Если умножить его на 2, результат будет трехзначным ($60 \times 2 = 120$). Следовательно, чтобы произведение было двузначным, цифры $B$ и $C$ могут быть только 1. Итак, второй множитель имеет вид $11D$.

3. Итоговый результат оканчивается на 6. Последняя цифра результата определяется последней цифрой первого неполного произведения ($6A \times D$), которая, в свою очередь, определяется последней цифрой произведения $A \times D$. Значит, $A \times D$ должно оканчиваться на 6.

4. Первое неполное произведение ($6A \times D$) — трехзначное.

5. Подберем $A$ и $D$.

- Пусть $A=2$. Тогда $D$ должно быть 3 или 8 ($2 \times 3 = 6, 2 \times 8 = 16$). - Если $D=3$, то $62 \times 3 = 186$. Это трехзначное число. Подходит. - Если $D=8$, то $62 \times 8 = 496$. Это трехзначное число. Подходит.

6. Проверим первый найденный вариант: первый множитель 62, второй 113.

- Первое неполное произведение: $62 \times 3 = 186$ (шаблон $***$).

- Второе неполное произведение: $62 \times 1 = 62$ (шаблон $**$).

- Третье неполное произведение: $62 \times 1 = 62$ (шаблон $**$).

7. Сложим их:

 186 + 62 + 62 ----- 7006

(При сложении в столбик слагаемые сдвигаются)

 186 + 620 +6200 ----- 7006

Результат 7006 соответствует шаблону $****6$. Решение найдено.

Ответ:

 62 x 113 ---- 186 + 62 + 62 ----- 7006