Номер 451, страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 17. Умножение. Переместительное свойство умножения. Упражнения - номер 451, страница 117.

Условие.

451. Сумма и произведение четырёх натуральных чисел равны 8. Найдите эти числа.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомые четыре натуральных числа - это $a, b, c$ и $d$. Поскольку числа натуральные, они должны быть целыми и положительными ($a, b, c, d \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Согласно условию задачи, сумма и произведение этих чисел равны 8. Это можно записать в виде системы из двух уравнений:

$a + b + c + d = 8$

$a \cdot b \cdot c \cdot d = 8$

Из второго уравнения следует, что каждое из чисел $a, b, c, d$ является делителем числа 8. Натуральные делители числа 8: 1, 2, 4, 8.

Теперь нам нужно найти все возможные комбинации из четырех таких делителей, произведение которых равно 8. Рассмотрим все варианты, предполагая для удобства, что числа расположены в порядке неубывания ($a \le b \le c \le d$):

1. Набор 1: 1, 1, 1, 8.
   Проверяем произведение: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 8$.
   Проверяем сумму: $1 + 1 + 1 + 8 = 11$.
   Сумма не равна 8, следовательно, этот набор чисел не является решением.

2. Набор 2: 1, 1, 2, 4.
   Проверяем произведение: $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$.
   Проверяем сумму: $1 + 1 + 2 + 4 = 8$.
   И сумма, и произведение равны 8. Этот набор чисел удовлетворяет обоим условиям.

3. Набор 3: 1, 2, 2, 2.
   Проверяем произведение: $1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
   Проверяем сумму: $1 + 2 + 2 + 2 = 7$.
   Сумма не равна 8, следовательно, этот набор чисел также не является решением.

Других способов разложить число 8 на четыре натуральных множителя не существует. Таким образом, единственная комбинация чисел, удовлетворяющая условиям задачи, - это 1, 1, 2, 4.

Ответ: 1, 1, 2, 4.