Номер 447, страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 17. Умножение. Переместительное свойство умножения. Упражнения - номер 447, страница 117.

Условие.

447. Верно ли утверждение:

1) произведение двух натуральных чисел больше их суммы;

2) любое натуральное число можно представить в виде произведения двух натуральных чисел;

3) любое натуральное число можно представить в виде произведения двух разных натуральных чисел?

Решение.

Решение 2.

1) произведение двух натуральных чисел больше их суммы;

Это утверждение неверно. Чтобы опровергнуть утверждение, которое должно выполняться для всех случаев, достаточно найти хотя бы один контрпример, где оно не соблюдается.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Утверждение состоит в том, что всегда верно неравенство $a \times b > a + b$.

Контрпример 1: Возьмем числа $a=1$ и $b=3$. Их произведение: $1 \times 3 = 3$. Их сумма: $1 + 3 = 4$. В данном случае $3 < 4$, то есть произведение меньше суммы.

Контрпример 2: Возьмем числа $a=2$ и $b=2$. Их произведение: $2 \times 2 = 4$. Их сумма: $2 + 2 = 4$. Здесь произведение равно сумме ($4=4$), а не строго больше.

Поскольку существуют пары натуральных чисел, для которых это утверждение не выполняется, оно является неверным в общем виде.

Ответ: утверждение неверно.

2) любое натуральное число можно представить в виде произведения двух натуральных чисел;

Это утверждение верно. Натуральными числами являются числа $1, 2, 3, 4, \dots$.

Для любого натурального числа $n$ мы можем записать равенство: $n = n \times 1$.

В этом произведении оба множителя — $n$ и $1$ — являются натуральными числами. Следовательно, любое натуральное число можно представить в виде произведения двух натуральных чисел.

Например: $7 = 7 \times 1$; $25 = 25 \times 1$; $1 = 1 \times 1$.

Ответ: утверждение верно.

3) любое натуральное число можно представить в виде произведения двух разных натуральных чисел?

Это утверждение неверно. Слово "любое" подразумевает, что свойство должно выполняться для абсолютно всех натуральных чисел без исключения.

Рассмотрим натуральное число $1$. Единственный способ разложить его на произведение двух натуральных множителей — это $1 = 1 \times 1$. В этом случае множители равны друг другу, а не различны. Не существует двух разных натуральных чисел, произведение которых равно 1.

Таким образом, для числа $1$ данное утверждение не выполняется, что делает общее утверждение ложным.

Важно отметить, что для любого натурального числа $n > 1$ это утверждение справедливо, так как его можно представить в виде $n = n \times 1$. Поскольку $n > 1$, множители $n$ и $1$ различны. Однако наличие хотя бы одного исключения (числа $1$) делает всё утверждение неверным.

Ответ: утверждение неверно.