Страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте сочетательное свойство умножения.

Сочетательное свойство умножения, также известное как ассоциативный закон умножения, гласит, что результат умножения трех или более чисел не зависит от способа расстановки скобок, то есть от порядка выполнения действий.

Словесная формулировка закона: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

В виде формулы для любых чисел $a$, $b$ и $c$ это свойство записывается так:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Например, продемонстрируем это свойство на числах 4, 5 и 6:

Выполним умножение, сгруппировав первые два множителя:
$(4 \cdot 5) \cdot 6 = 20 \cdot 6 = 120$

Теперь выполним умножение, сгруппировав последние два множителя:
$4 \cdot (5 \cdot 6) = 4 \cdot 30 = 120$

Результаты одинаковы. Сочетательное свойство позволяет выбирать наиболее удобный порядок вычислений для упрощения расчетов.

Ответ: Сочетательное свойство умножения: результат умножения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

2. Как записывают в буквенном виде сочетательное свойство умножения?

Сочетательное свойство умножения (также известное как закон ассоциативности умножения) гласит, что результат умножения трех и более сомножителей не зависит от порядка, в котором расставлены скобки. Другими словами, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ это свойство записывается в виде следующей формулы:
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Иногда знак умножения между переменными опускают, и тогда формула выглядит так:
$(ab)c = a(bc)$

Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

3. Сформулируйте распределительное свойство умножения.

Распределительное свойство умножения, также известное как дистрибутивный закон, связывает операции умножения со сложением и вычитанием. Оно формулируется для двух случаев: относительно сложения и относительно вычитания.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить число на сумму двух или нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое в отдельности и полученные произведения сложить.
В виде формулы для любых чисел $a$, $b$ и $c$ это записывается так:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
или
$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.
В виде формулы для любых чисел $a$, $b$ и $c$ это записывается так:
$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$
или
$(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

Это свойство используется для упрощения вычислений и преобразования алгебраических выражений, например, для раскрытия скобок или вынесения общего множителя за скобки.

Ответ: Чтобы умножить число на сумму (разность), можно умножить это число на каждое слагаемое (уменьшаемое и вычитаемое) и затем сложить (вычесть) полученные произведения. В общем виде это свойство можно записать с помощью формулы: $a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c$.

4. Как записывают в буквенном виде распределительное свойство умножения?

Распределительное свойство умножения (или дистрибутивный закон) описывает, как операция умножения взаимодействует с операциями сложения и вычитания. Оно позволяет раскрывать скобки, в которых находится сумма или разность чисел.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения. В буквенном виде для любых чисел $a$, $b$ и $c$ это записывается так:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Также, благодаря переместительному свойству умножения, это равенство верно и в таком виде:

$(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$

Пример: $5 \cdot (3 + 4) = 5 \cdot 7 = 35$, и по распределительному свойству: $5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 15 + 20 = 35$.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе. В буквенном виде для любых чисел $a$, $b$ и $c$ это записывается так:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Аналогично случаю со сложением, это равенство можно записать и так:

$(b - c) \cdot a = b \cdot a - c \cdot a$

Пример: $6 \cdot (10 - 2) = 6 \cdot 8 = 48$, и по распределительному свойству: $6 \cdot 10 - 6 \cdot 2 = 60 - 12 = 48$.

Ответ:
В общем буквенном виде (часто опуская знак умножения) распределительное свойство записывается следующими формулами:
Для сложения: $a(b + c) = ab + ac$
Для вычитания: $a(b - c) = ab - ac$

1. Произведение чисел 3 и 8 умножьте на 100.

1. Решение задачи состоит из двух шагов. Сначала необходимо найти произведение чисел 3 и 8. Произведение — это результат умножения.

$3 \times 8 = 24$

Затем, согласно условию, полученный результат нужно умножить на 100.

$24 \times 100 = 2400$

Ответ: 2400

2. Число 3 умножьте на произведение чисел 8 и 100.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два математических действия по порядку. Сначала нужно найти произведение чисел 8 и 100, а затем умножить число 3 на результат этого произведения.

1. Находим произведение чисел 8 и 100. Произведение — это результат умножения.

$8 \times 100 = 800$

2. Теперь умножаем число 3 на полученное произведение (800).

$3 \times 800 = 2400$

Полное выражение можно записать так:

$3 \times (8 \times 100) = 3 \times 800 = 2400$

Ответ: 2400

число 3; умножьте на произведение чисел $8 \times 100$.

3. Найдите произведение суммы чисел $8 + 7$ и числа 6.

Для решения этой задачи необходимо выполнить действия в определенном порядке, который указан в условии.

1. Сначала нужно найти "сумму чисел 8 и 7". Сумма — это результат сложения. Запишем это действие:

$8 + 7 = 15$

2. Далее, согласно условию, нужно найти "произведение" полученной суммы и числа 6. Произведение — это результат умножения. Умножим результат первого действия (15) на 6:

$15 \times 6 = 90$

Таким образом, всё выражение можно записать в виде одной формулы, где скобки указывают на первоочередность выполнения действия сложения:

$(8 + 7) \times 6 = 90$

Ответ: 90

4. Найдите сумму произведений чисел 8 и 6 и чисел 7 и 6.

Чтобы решить эту задачу, необходимо выполнить два действия: сначала найти два произведения, а затем найти их сумму.

1. Находим первое произведение — произведение чисел 8 и 6.

$8 \times 6 = 48$

2. Находим второе произведение — произведение чисел 7 и 6.

$7 \times 6 = 42$

3. Теперь находим сумму полученных произведений.

$48 + 42 = 90$

Эту задачу также можно записать одним выражением и решить его:

$(8 \times 6) + (7 \times 6) = 48 + 42 = 90$

Ответ: 90

5. Можно ли представить число 6 в виде произведения 100 множителей?

Да, можно. В условии задачи не указано, какими должны быть множители (целыми, рациональными и т.д.), поэтому мы можем использовать любые числа, произведение которых равно 6.

Самый простой способ достичь этого — использовать единицу в качестве множителя, так как умножение на 1 не изменяет произведение. Мы можем взять несколько чисел, которые в произведении дают 6, а остальные множители до общего количества в 100 штук взять равными 1.

Например, можно представить число 6 как произведение его простых множителей 2 и 3, а остальные 98 множителей взять равными 1. Тогда мы получим:

$2 \cdot 3 \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{98 \text{ раз}} = 6$

В этом произведении ровно $1+1+98=100$ множителей.

Другой, еще более простой вариант, это взять один множитель равным 6, а оставшиеся 99 множителей равными 1:

$6 \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{99 \text{ раз}} = 6$

Здесь также ровно $1+99=100$ множителей.

Можно также использовать и отрицательные множители. Главное, чтобы их было четное количество, чтобы итоговый знак произведения был положительным. Например:

$2 \cdot 3 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{96 \text{ раз}} = 6$

Количество множителей в этом случае составит $1+1+2+96=100$.

Таким образом, существует множество способов для такого представления.

Ответ: Да, можно.

6. В инкубаторе было 1000 яиц. Из каждых 100 яиц вылупилось 95 цыплят. Сколько всего вылупилось цыплят?

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия.

1. Сначала определим, сколько раз по 100 яиц содержится в общем количестве 1000 яиц. Для этого разделим общее количество яиц на 100.

$1000 \div 100 = 10$

Таким образом, мы имеем 10 групп по 100 яиц.

2. По условию, из каждой такой группы вылупилось 95 цыплят. Чтобы найти общее количество вылупившихся цыплят, умножим количество цыплят из одной группы (95) на количество таких групп (10).

$95 \times 10 = 950$

Следовательно, всего вылупилось 950 цыплят.

Ответ: 950 цыплят.

7. Два отца и два сына съели 3 яблока, причём каждый из них съел целое яблоко. Возможно ли такое?

Да, такое возможно. Эта задача — классическая логическая загадка, и её решение заключается в том, что общее количество людей не четыре, а три.

На первый взгляд кажется, что два отца и два сына — это $2+2=4$ человека. Если бы каждый из них съел по яблоку, то всего было бы съедено $4$ яблока, а по условию их было только $3$. Это противоречие указывает на то, что некоторые из этих людей совмещают роли.

В действительности яблоки ели всего три человека, представляющие три поколения одной семьи: дед, отец и сын. В этой группе роли распределяются следующим образом:
• Дед — это отец (первый отец).
• Отец — это сын деда (первый сын) и отец своего сына (второй отец).
• Сын — это сын отца (второй сын).

Таким образом, в группе из трёх человек мы действительно имеем двух отцов и двух сыновей. Три человека съели три яблока, и каждый получил по одному целому яблоку, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: Да, это возможно. Яблоки ели три человека: дед, его сын и его внук.

458. Вычислите удобным способом:

1) $2 \cdot 328 \cdot 5;$

2) $125 \cdot 43 \cdot 8;$

3) $25 \cdot 243 \cdot 4;$

4) $4 \cdot 36 \cdot 5;$

5) $50 \cdot 236 \cdot 2;$

6) $250 \cdot 3 \cdot 4.$

1) Чтобы вычислить произведение $2 \cdot 328 \cdot 5$ удобным способом, сгруппируем множители 2 и 5, так как их произведение дает круглое число 10. Используем переместительное и сочетательное свойства умножения:
$2 \cdot 328 \cdot 5 = (2 \cdot 5) \cdot 328 = 10 \cdot 328 = 3280$.
Ответ: 3280.

2) В выражении $125 \cdot 43 \cdot 8$ удобно сначала перемножить 125 и 8, так как их произведение равно 1000:
$125 \cdot 43 \cdot 8 = (125 \cdot 8) \cdot 43 = 1000 \cdot 43 = 43000$.
Ответ: 43000.

3) В выражении $25 \cdot 243 \cdot 4$ сгруппируем множители 25 и 4. Их произведение равно 100, что упрощает дальнейшие вычисления:
$25 \cdot 243 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 243 = 100 \cdot 243 = 24300$.
Ответ: 24300.

4) Для удобства вычисления выражения $4 \cdot 36 \cdot 5$ сначала умножим 4 на 5. Их произведение равно 20:
$4 \cdot 36 \cdot 5 = (4 \cdot 5) \cdot 36 = 20 \cdot 36 = 720$.
Ответ: 720.

5) В выражении $50 \cdot 236 \cdot 2$ удобно сначала перемножить 50 и 2. Их произведение равно 100, что значительно упрощает расчет:
$50 \cdot 236 \cdot 2 = (50 \cdot 2) \cdot 236 = 100 \cdot 236 = 23600$.
Ответ: 23600.

6) В выражении $250 \cdot 3 \cdot 4$ сгруппируем множители 250 и 4. Их произведение равно 1000, что делает последующее умножение очень простым:
$250 \cdot 3 \cdot 4 = (250 \cdot 4) \cdot 3 = 1000 \cdot 3 = 3000$.
Ответ: 3000.

459. Вычислите удобным способом:

1) $4 \cdot 17 \cdot 25;$

2) $5 \cdot 673 \cdot 2;$

3) $8 \cdot 475 \cdot 125;$

4) $73 \cdot 5 \cdot 4;$

5) $2 \cdot 916 \cdot 50;$

6) $5 \cdot 9 \cdot 200.$

1) Чтобы вычислить произведение удобным способом, воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем множители 4 и 25. Их произведение равно 100, что упрощает дальнейший расчет.

$4 \cdot 17 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700$

Ответ: 1700.

2) В данном примере удобно сгруппировать множители 5 и 2. Их произведение равно 10, что позволяет легко умножить его на оставшийся множитель.

$5 \cdot 673 \cdot 2 = (5 \cdot 2) \cdot 673 = 10 \cdot 673 = 6730$

Ответ: 6730.

3) Здесь удобнее всего сначала перемножить 8 и 125. Их произведение дает "круглое" число 1000, что значительно упрощает вычисление.

$8 \cdot 475 \cdot 125 = (8 \cdot 125) \cdot 475 = 1000 \cdot 475 = 475000$

Ответ: 475000.

4) Для удобства вычисления сгруппируем множители 5 и 4. Их произведение равно 20, что упрощает дальнейшее умножение.

$73 \cdot 5 \cdot 4 = 73 \cdot (5 \cdot 4) = 73 \cdot 20 = 1460$

Ответ: 1460.

5) Сгруппируем множители 2 и 50, так как их произведение равно 100. Это делает последующее умножение на 916 очень простым.

$2 \cdot 916 \cdot 50 = (2 \cdot 50) \cdot 916 = 100 \cdot 916 = 91600$

Ответ: 91600.

6) В этом выражении удобно перемножить 5 и 200. Их произведение равно 1000, что позволяет легко найти конечный результат.

$5 \cdot 9 \cdot 200 = (5 \cdot 200) \cdot 9 = 1000 \cdot 9 = 9000$

Ответ: 9000.

460. Упростите выражение:

1) $13 \cdot 2a$;

2) $9x \cdot 8$;

3) $23 \cdot 4b$;

4) $28 \cdot y \cdot 5$;

5) $6a \cdot 8b$;

6) $11x \cdot 14y$;

7) $27m \cdot 3n$;

8) $4a \cdot 8 \cdot b \cdot 3 \cdot c$;

9) $12x \cdot 3y \cdot 5z.$

1) Чтобы упростить выражение $13 \cdot 2a$, нужно перемножить числовые коэффициенты. Используем сочетательное свойство умножения, чтобы сгруппировать числа: $13 \cdot 2a = (13 \cdot 2) \cdot a = 26a$. Ответ: $26a$

2) Чтобы упростить выражение $9x \cdot 8$, используем переместительное и сочетательное свойства умножения, чтобы сгруппировать и перемножить числовые коэффициенты: $9x \cdot 8 = (9 \cdot 8) \cdot x = 72x$. Ответ: $72x$

3) Упрощаем выражение $23 \cdot 4b$, перемножая числовые коэффициенты: $23 \cdot 4b = (23 \cdot 4) \cdot b = 92b$. Ответ: $92b$

4) В выражении $28 \cdot y \cdot 5$ сгруппируем и перемножим числа, используя переместительное свойство умножения: $28 \cdot y \cdot 5 = (28 \cdot 5) \cdot y = 140y$. Ответ: $140y$

5) Чтобы упростить выражение $6a \cdot 8b$, перемножим отдельно числовые коэффициенты и отдельно переменные: $6a \cdot 8b = (6 \cdot 8) \cdot (a \cdot b) = 48ab$. Ответ: $48ab$

6) В выражении $11x \cdot 14y$ перемножаем числовые коэффициенты и переменные: $11x \cdot 14y = (11 \cdot 14) \cdot (x \cdot y) = 154xy$. Ответ: $154xy$

7) Упрощаем выражение $27m \cdot 3n$, перемножая отдельно числовые коэффициенты и отдельно переменные: $27m \cdot 3n = (27 \cdot 3) \cdot (m \cdot n) = 81mn$. Ответ: $81mn$

8) В выражении $4a \cdot 8 \cdot b \cdot 3 \cdot c$ сгруппируем и перемножим все числовые коэффициенты и все переменные: $4a \cdot 8 \cdot b \cdot 3 \cdot c = (4 \cdot 8 \cdot 3) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 96abc$. Ответ: $96abc$

9) Чтобы упростить выражение $12x \cdot 3y \cdot 5z$, перемножим отдельно числовые коэффициенты и отдельно переменные: $12x \cdot 3y \cdot 5z = (12 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (x \cdot y \cdot z) = 180xyz$. Ответ: $180xyz$