Страница 127 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

501. Найдите значение выражения:

1) $48 \cdot 324 + 48 \cdot 276$;

2) $398 \cdot 81 - 81 \cdot 198$.

1) Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения. Это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$. В данном случае общим множителем является число 48. Вынесем его за скобки:

$48 \cdot 324 + 48 \cdot 276 = 48 \cdot (324 + 276)$

Теперь выполним действия по порядку. Сначала найдем сумму в скобках:

$324 + 276 = 600$

Затем умножим общий множитель на полученную сумму:

$48 \cdot 600 = 28800$

Ответ: 28800.

2) В этом примере мы используем распределительное свойство умножения относительно вычитания, которое записывается формулой: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$. Общий множитель здесь — число 81. Вынесем его за скобки:

$398 \cdot 81 - 81 \cdot 198 = (398 - 198) \cdot 81$

Выполним действия по порядку. Сначала найдем разность в скобках:

$398 - 198 = 200$

Теперь умножим полученную разность на общий множитель:

$200 \cdot 81 = 16200$

Ответ: 16200.

502. Для приготовления десяти порций мороженого используют 200 г сахара. На сколько порций мороженого хватит 500 г сахара?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти, сколько граммов сахара уходит на одну порцию мороженого, а затем рассчитать, сколько порций можно приготовить из 500 г сахара.

1. Узнаем расход сахара на одну порцию. По условию, на 10 порций используют 200 г сахара. Чтобы найти расход на одну порцию, разделим общее количество сахара на количество порций:

$200 \text{ г} \div 10 \text{ порций} = 20 \text{ г/порция}$

Итак, для приготовления одной порции мороженого требуется 20 г сахара.

2. Теперь определим, на сколько порций хватит 500 г сахара. Для этого разделим имеющееся количество сахара на расход для одной порции:

$500 \text{ г} \div 20 \text{ г/порция} = 25 \text{ порций}$

Следовательно, 500 г сахара хватит на 25 порций мороженого.

Ответ: 25 порций.

503. Вася задумал трёхзначное число, у которого с каждым из чисел 652, 153 и 673 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумал Вася?

Пусть искомое трёхзначное число — это $N = \overline{abc}$, где $a$ — цифра в разряде сотен, $b$ — в разряде десятков, а $c$ — в разряде единиц. По условию, это число должно иметь ровно одну цифру, совпадающую по разряду с каждым из чисел 652, 153 и 673.

Проанализируем данные числа. Некоторые из них имеют одинаковые цифры в одинаковых разрядах:

• У чисел 652 и 673 совпадает цифра сотен (6).
• У чисел 652 и 153 совпадает цифра десятков (5).
• У чисел 153 и 673 совпадает цифра единиц (3).

Это наблюдение поможет нам найти решение методом исключения.

1. Предположим, что цифра сотен искомого числа равна 6 ($a=6$). Тогда, согласно условию, для числа 652 должны не совпадать цифры десятков и единиц ($b \neq 5$ и $c \neq 2$), а для числа 673 — $b \neq 7$ и $c \neq 3$. Теперь проверим условие для числа 153. С ним должно быть одно совпадение. Но мы уже знаем, что $a=6 \neq 1$, $b \neq 5$, и $c \neq 3$. Значит, с числом 153 нет ни одного совпадения, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, и $a \neq 6$.

2. Предположим, что цифра десятков искомого числа равна 5 ($b=5$). Тогда для числа 652 $a \neq 6$ и $c \neq 2$, а для числа 153 $a \neq 1$ и $c \neq 3$. Проверим условие для числа 673. С ним должно быть одно совпадение. Но мы знаем, что $a \neq 6$, $b=5 \neq 7$, и $c \neq 3$. Снова нет ни одного совпадения. Это противоречие означает, что $b \neq 5$.

3. Предположим, что цифра единиц искомого числа равна 3 ($c=3$). Тогда для числа 153 $a \neq 1$ и $b \neq 5$, а для числа 673 $a \neq 6$ и $b \neq 7$. Проверим условие для числа 652. С ним должно быть одно совпадение. Но мы знаем, что $a \neq 6$, $b \neq 5$, и $c=3 \neq 2$. И в этом случае нет ни одного совпадения. Следовательно, $c \neq 3$.

Теперь мы можем однозначно определить цифры искомого числа:

• С числом 652 должно быть одно совпадение. Мы доказали, что $a \neq 6$ и $b \neq 5$. Значит, совпадение должно быть в разряде единиц: $c=2$.
• С числом 153 должно быть одно совпадение. Мы знаем, что $b \neq 5$ и $c=2 \neq 3$. Значит, совпадение должно быть в разряде сотен: $a=1$.
• С числом 673 должно быть одно совпадение. Мы знаем, что $a=1 \neq 6$ и $c=2 \neq 3$. Значит, совпадение должно быть в разряде десятков: $b=7$.

Таким образом, Вася задумал число 172. Проверим, удовлетворяет ли оно всем условиям:

• Сравнение с 652: совпадает только цифра единиц (2). (Одно совпадение)
• Сравнение с 153: совпадает только цифра сотен (1). (Одно совпадение)
• Сравнение с 673: совпадает только цифра десятков (7). (Одно совпадение)

Все условия выполнены.

Ответ: 172

504. В очереди за билетами в цирк стояли Миша, Наташа, Петя, Дима и Маша. Маша купила билет раньше, чем Миша, но позже, чем Наташа. Петя и Наташа не стояли рядом, а Дима не был рядом ни с Наташей, ни с Машей, ни с Петей. Кто за кем стоял в очереди?

Для решения этой логической задачи проанализируем все данные условия последовательно. В очереди стоят пять человек: Миша (Ми), Наташа (Н), Петя (П), Дима (Д) и Маша (Ма).

Сначала рассмотрим условие: «Маша купила билет раньше, чем Миша, но позже, чем Наташа». Это задает строгий относительный порядок для трех человек: Наташа должна стоять где-то впереди Маши, а Маша — где-то впереди Миши. Схематически это можно обозначить так: $Н \dots Ма \dots Ми$.

Далее, условие «Дима не был рядом ни с Наташей, ни с Машей, ни с Петей». В очереди всего пять человек. Если Дима не является соседом для трех из них, то единственным возможным соседом для Димы остается Миша. Это означает, что Дима и Миша стоят в очереди рядом, образуя неразрывную пару (Миша, Дима) или (Дима, Миша).

Теперь объединим эти два вывода. Мы знаем, что Миша стоит после Наташи и Маши.

• Если бы пара была (Дима, Миша), то Дима стоял бы прямо перед Мишей. Порядок был бы $Н \dots Ма \dots Дима, Миша$. Чтобы Дима не был рядом с Машей, между ними должен стоять Петя, что дает последовательность $Н, Ма, П, Д, Ми$. Однако в этом случае Дима оказывается рядом с Петей, что противоречит условию. Следовательно, этот вариант невозможен.
• Значит, пара может быть только (Миша, Дима), где Дима стоит сразу за Мишей. Общий относительный порядок таков: $Н \dots Ма \dots Миша, Дима$.

В очереди 5 мест. Поскольку в нашей цепочке ($Н \dots Ма \dots Миша, Дима$) Миша и Дима идут последними и стоят вместе, они должны занимать 4-е и 5-е места. Проверим эту гипотезу:
Очередь: 1-й, 2-й, 3-й, Миша, Дима.

На оставшиеся три первых места нужно расставить Наташу, Машу и Петю, соблюдая условия:
1. Наташа должна быть раньше Маши ($Н \dots Ма$).
2. «Петя и Наташа не стояли рядом».

Рассмотрим возможные варианты для первых трех мест:

• Наташа, Петя, Маша...: Здесь Наташа (1) и Петя (2) стоят рядом, что противоречит условию.
• Петя, Наташа, Маша...: Здесь Петя (1) и Наташа (2) стоят рядом, что также противоречит условию.
• Наташа, Маша, Петя...: Здесь Наташа (1) стоит раньше Маши (2) — верно. Наташа (1) и Петя (3) не стоят рядом — верно.

Таким образом, единственно возможный порядок в очереди: Наташа, Маша, Петя, Миша, Дима. Проведем финальную проверку всех исходных условий для этого порядка:

• Маша (2-я) раньше Миши (4-го) и позже Наташи (1-й) — выполняется.
• Петя (3-й) и Наташа (1-я) не стоят рядом — выполняется.
• Дима (5-й) не стоит рядом ни с Наташей (1-й), ни с Машей (2-й), ни с Петей (3-й) — выполняется.

Все условия соблюдены.

Ответ: Люди в очереди стояли в следующем порядке: Наташа, Маша, Петя, Миша, Дима.