Страница 133 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

518. Решите уравнение:

1) $19x = 95;$

2) $x \cdot 22 = 132;$

3) $38x - 16x = 1474;$

4) $y + 27y = 952;$

5) $x : 25 = 16;$

6) $324 : x = 27.$

1) $19x = 95$

В этом уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (95) разделить на известный множитель (19).

$x = 95 : 19$

$x = 5$

Проверка: $19 \cdot 5 = 95$.

Ответ: $x=5$.

2) $x : 22 = 132$

В этом уравнении $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (132) умножить на делитель (22).

$x = 132 \cdot 22$

$x = 2904$

Проверка: $2904 : 22 = 132$.

Ответ: $x=2904$.

3) $38x - 16x = 1474$

Сначала упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание коэффициентов при $x$.

$(38 - 16)x = 1474$

$22x = 1474$

Теперь у нас простое уравнение, где $x$ — неизвестный множитель. Разделим произведение (1474) на известный множитель (22).

$x = 1474 : 22$

$x = 67$

Проверка: $38 \cdot 67 - 16 \cdot 67 = 2546 - 1072 = 1474$.

Ответ: $x=67$.

4) $y + 27y = 952$

Упростим левую часть уравнения. Помним, что $y$ это то же самое, что и $1y$. Сложим коэффициенты при $y$.

$(1 + 27)y = 952$

$28y = 952$

Чтобы найти неизвестный множитель $y$, разделим произведение (952) на известный множитель (28).

$y = 952 : 28$

$y = 34$

Проверка: $34 + 27 \cdot 34 = 34 + 918 = 952$.

Ответ: $y=34$.

5) $x : 25 = 16$

В данном уравнении $x$ — неизвестное делимое. Чтобы его найти, нужно частное (16) умножить на делитель (25).

$x = 16 \cdot 25$

$x = 400$

Проверка: $400 : 25 = 16$.

Ответ: $x=400$.

6) $324 : x = 27$

Здесь $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (324) разделить на частное (27).

$x = 324 : 27$

$x = 12$

Проверка: $324 : 12 = 27$.

Ответ: $x=12$.

519. При изготовлении бумаги вместо одного дерева можно использовать 60 кг макулатуры. Сколько деревьев спасут 520 школьников, если каждый из них сдаст 3 кг макулатуры?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти общее количество макулатуры, собранной школьниками, а затем рассчитать, сколько деревьев можно спасти с помощью этого количества.

1. Найдем общее количество собранной макулатуры.
По условию, 520 школьников сдали по 3 кг макулатуры каждый. Чтобы найти общее количество, нужно умножить число школьников на массу макулатуры, сданной каждым:
$520 \times 3 = 1560$ (кг)

2. Рассчитаем количество спасенных деревьев.
Известно, что 60 кг макулатуры спасают одно дерево. Чтобы узнать, сколько деревьев спасут 1560 кг макулатуры, нужно общую массу разделить на массу, необходимую для спасения одного дерева:
$1560 \div 60 = 26$ (деревьев)

Таким образом, 520 школьников спасут 26 деревьев.
Ответ: 26 деревьев.

520. Всадник преодолевает расстояние между двумя сёлами за 5 ч, если двигается со скоростью $12 \text{ км/ч}$. С какой скоростью он должен двигаться, чтобы преодолеть это расстояние за 4 ч?

Для решения задачи необходимо сначала найти расстояние между сёлами, а затем, зная расстояние и новое время, вычислить требуемую скорость.

1. Вычисление расстояния между сёлами.
Используем формулу расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ – расстояние, $v$ – скорость, $t$ – время.
По условию, скорость всадника $v_1 = 12$ км/ч, а время в пути $t_1 = 5$ ч.
$S = 12 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 60 \text{ км}$.
Таким образом, расстояние между сёлами составляет 60 км.

2. Вычисление необходимой скорости.
Теперь нужно найти скорость $v_2$, с которой всадник преодолеет то же расстояние $S = 60$ км за новое время $t_2 = 4$ ч.
Выразим скорость из формулы: $v = S / t$.
$v_2 = 60 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 15 \text{ км/ч}$.

Ответ: чтобы преодолеть это расстояние за 4 часа, всадник должен двигаться со скоростью 15 км/ч.

521. Вика купила 8 кг конфет по 630 р. за килограмм. Сколько килограммов конфет по 420 р. за килограмм она сможет купить за эти же деньги?

Для того чтобы определить, сколько килограммов конфет по другой цене сможет купить Вика, необходимо сначала вычислить общую сумму денег, которую она потратила на первую покупку.

1. Вычисление общей суммы денег
Умножим массу купленных конфет на их стоимость за один килограмм:
$8 \text{ кг} \times 630 \frac{\text{руб.}}{\text{кг}} = 5040 \text{ руб.}$

Таким образом, Вика потратила 5040 рублей.

2. Вычисление количества конфет по новой цене
Теперь разделим общую сумму денег на цену другого вида конфет, чтобы найти, сколько килограммов она сможет купить:
$5040 \text{ руб.} \div 420 \frac{\text{руб.}}{\text{кг}} = 12 \text{ кг}$

Ответ: 12 кг.

522. Найдите значение выражения:

1) $82 \ 275 - 64 \cdot 56 + 9680 : 16 - 23 \ 637;$

2) $(204 : 402 - 30 \ 456 : 423) : 36 - 1388.$

1) $82 275 - 64 \cdot 56 + 9680 : 16 - 23 637$

Для нахождения значения выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем — сложение и вычитание также в порядке их следования.

1. Первым действием выполним умножение:

$64 \cdot 56 = 3584$

2. Вторым действием выполним деление:

$9680 : 16 = 605$

3. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$82 275 - 3584 + 605 - 23 637$

4. Выполним вычитание:

$82 275 - 3584 = 78 691$

5. Далее выполним сложение:

$78 691 + 605 = 79 296$

6. Последним действием выполним вычитание:

$79 296 - 23 637 = 55 659$

Ответ: 55 659

2) $(204 \cdot 402 - 30 456 : 423) : 36 - 1388$

В этом выражении сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок приоритет имеют умножение и деление перед вычитанием. После вычисления значения в скобках выполняются остальные действия: деление, а затем вычитание.

1. Начнем с действий в скобках. Первое действие — умножение:

$204 \cdot 402 = 82 008$

2. Второе действие в скобках — деление:

$30 456 : 423 = 72$

3. Третье действие — вычитание внутри скобок:

$82 008 - 72 = 81 936$

4. Теперь выражение принимает вид:

$81 936 : 36 - 1388$

5. Выполним деление:

$81 936 : 36 = 2276$

6. Последнее действие — вычитание:

$2276 - 1388 = 888$

Ответ: 888

523. Найдите значение выражения:

1) $49\,184 + 4575 \div 15 - 62 \cdot 93 - 33\,999;$

2) $1885 \div (542 - 477) + 48 \cdot (134 - 92).$

1) $49184 + 4575 : 15 - 62 \cdot 93 - 33999$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются умножение и деление (в порядке их следования слева направо), а затем сложение и вычитание (также слева направо).

1. Выполним деление: $4575 : 15 = 305$.
2. Выполним умножение: $62 \cdot 93 = 5766$.
3. Теперь выражение выглядит так: $49184 + 305 - 5766 - 33999$.
4. Выполним сложение: $49184 + 305 = 49489$.
5. Выполним первое вычитание: $49489 - 5766 = 43723$.
6. Выполним второе вычитание: $43723 - 33999 = 9724$.

Ответ: 9724.

2) $1885 : (542 - 477) + 48 \cdot (134 - 92)$

В этом выражении порядок действий следующий: сначала выполняются действия в скобках, затем деление и умножение, и в последнюю очередь – сложение.

1. Выполним действие в первых скобках: $542 - 477 = 65$.
2. Выполним действие во вторых скобках: $134 - 92 = 42$.
3. Подставим полученные значения в выражение: $1885 : 65 + 48 \cdot 42$.
4. Теперь выполним деление: $1885 : 65 = 29$.
5. Далее выполним умножение: $48 \cdot 42 = 2016$.
6. И в последнюю очередь выполним сложение: $29 + 2016 = 2045$.

Ответ: 2045.

524. Ларс купил для Эрики 8 пирожных и 12 булочек с повидлом, заплатив за всю покупку 408 крон. Одно пирожное стоит 24 кроны. Какова цена одной булочки?

Для того чтобы найти цену одной булочки, необходимо сначала вычислить общую стоимость всех купленных пирожных. Известно, что Ларс купил 8 пирожных, и цена каждого составляет 24 кроны. Умножим количество пирожных на их цену:

$8 \times 24 = 192$ кроны.

Теперь мы знаем, что из общей суммы в 408 крон, 192 кроны были потрачены на пирожные. Чтобы узнать, сколько стоили все булочки, вычтем стоимость пирожных из общей стоимости покупки:

$408 - 192 = 216$ крон.

Итак, общая стоимость 12 булочек с повидлом составляет 216 крон. Чтобы определить цену одной булочки, разделим эту сумму на количество булочек:

$216 \div 12 = 18$ крон.

Ответ: цена одной булочки составляет 18 крон.

525. Дед Афанасий заготовил на зиму 6 бочек квашеной капусты и 14 бочонков солёных огурцов. В одну бочку вмещается 26 кг капусты. Сколько килограммов огурцов в одном бочонке, если всего дед Афанасий заготовил 324 кг овощей?

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдём общую массу квашеной капусты.

Дед Афанасий заготовил 6 бочек капусты, в каждой из которых по 26 кг. Чтобы найти общую массу капусты, умножим количество бочек на массу капусты в одной бочке:

$6 \times 26 = 156$ (кг) – общая масса капусты.

2. Найдём общую массу солёных огурцов.

Всего было заготовлено 324 кг овощей. Из них 156 кг – это капуста. Чтобы найти массу огурцов, вычтем массу капусты из общей массы овощей:

$324 - 156 = 168$ (кг) – общая масса огурцов.

3. Найдём, сколько килограммов огурцов в одном бочонке.

Общую массу огурцов (168 кг) разложили в 14 бочонков. Чтобы узнать, сколько огурцов в одном бочонке, разделим общую массу огурцов на количество бочонков:

$168 \div 14 = 12$ (кг) – масса огурцов в одном бочонке.

Ответ: в одном бочонке 12 кг огурцов.

526. Сколько килограммов масла можно изготовить из 261 кг сливок, если из 9 кг сливок получается 2 кг масла?

Для решения этой задачи можно использовать метод приведения к единице или метод пропорций. Рассмотрим решение по действиям.

1. Сначала найдем, сколько килограммов масла получается из 1 кг сливок. Для этого разделим массу полученного масла на массу сливок, из которой оно было изготовлено:

$2 \text{ кг масла} \div 9 \text{ кг сливок} = \frac{2}{9}$ кг масла на 1 кг сливок.

2. Теперь, зная выход масла с одного килограмма сливок, мы можем рассчитать, сколько масла получится из 261 кг сливок. Для этого умножим общую массу сливок на количество масла, получаемое из одного килограмма:

$261 \text{ кг сливок} \times \frac{2}{9} = \frac{261 \times 2}{9}$

3. Выполним вычисления. Удобнее сначала разделить 261 на 9, а затем умножить на 2. Проверим, делится ли 261 на 9: сумма цифр числа 261 равна $2 + 6 + 1 = 9$, что делится на 9, значит, и само число 261 делится на 9.

$261 \div 9 = 29$

Теперь умножим полученный результат на 2:

$29 \times 2 = 58$ кг.

Таким образом, из 261 кг сливок можно изготовить 58 кг масла.

Ответ: 58 кг.

527. Автомобиль расходует 8 л бензина на 100 км пути. Хватит ли 20 л бензина, чтобы доехать из Рязани до Владимира, расстояние между которыми равно 233 км?

Для того чтобы определить, хватит ли 20 литров бензина на поездку, необходимо сначала рассчитать, сколько литров потребуется на весь путь, а затем сравнить это значение с имеющимся количеством топлива.

1. Вычислим расход бензина на 1 километр.
Из условия известно, что автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 км. Чтобы найти расход на 1 км, разделим объем бензина на расстояние:
$8 \text{ л} \div 100 \text{ км} = 0,08 \text{ л/км}$

2. Рассчитаем общее количество бензина, необходимое для поездки.
Расстояние от Рязани до Владимира составляет 233 км. Умножим это расстояние на расход бензина на 1 км, чтобы найти общий необходимый объем топлива:
$233 \text{ км} \times 0,08 \text{ л/км} = 18,64 \text{ л}$

3. Сравним требуемый объем бензина с имеющимся.
Для поездки необходимо 18,64 л бензина. В наличии есть 20 л.
Сравним эти два значения:
$18,64 \text{ л} < 20 \text{ л}$
Так как количество бензина, необходимое для поездки, меньше, чем имеющееся количество, топлива хватит.

Ответ: да, 20 литров бензина хватит для поездки из Рязани во Владимир.

528. Было собрано 328 кг проса. Сколько из этого проса можно получить пшена, если из 4 кг проса получается 3 кг пшена?

Для решения этой задачи можно использовать метод пропорций. Нам известно, что из 4 кг проса получается 3 кг пшена. Нам нужно узнать, сколько пшена получится из 328 кг проса. Пусть x — это искомое количество пшена в килограммах.

Составим пропорцию, в которой отношение массы пшена к массе проса будет одинаковым в обоих случаях:

4 кг проса — 3 кг пшена

328 кг проса — x кг пшена

Математически это можно записать так:

$\frac{4}{328} = \frac{3}{x}$

Чтобы найти x, нужно произведение крайних членов пропорции (3 и 328) разделить на известный средний член (4):

$x = \frac{328 \times 3}{4}$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала узнаем, во сколько раз количество собранного проса (328 кг) больше, чем количество проса в условии (4 кг):

$328 \div 4 = 82$

2. Так как количество проса увеличилось в 82 раза, то и количество полученного пшена увеличится во столько же раз. Умножим количество пшена, получаемое из 4 кг проса, на 82:

$3 \times 82 = 246$ (кг)

Таким образом, из 328 кг проса можно получить 246 кг пшена.

Ответ: 246 кг пшена.

529. Расстояние между двумя пристанями равно 476 км. Двигаясь по течению реки, катер проходит это расстояние за 14 ч. За сколько часов он пройдёт это расстояние против течения реки, если скорость течения равна $3 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость катера по течению реки.
Скорость движения вычисляется по формуле $v = S / t$, где $S$ – расстояние, а $t$ – время.Расстояние $S = 476$ км, время по течению $t_{по} = 14$ ч.
Скорость катера по течению равна:
$v_{по} = 476 \text{ км} / 14 \text{ ч} = 34 \text{ км/ч}$.

2. Найдем собственную скорость катера.
Скорость катера по течению складывается из его собственной скорости ($v_к$) и скорости течения ($v_т$): $v_{по} = v_к + v_т$.
Собственная скорость катера будет равна разности скорости по течению и скорости течения:
$v_к = v_{по} - v_т$.
По условию, скорость течения $v_т = 3$ км/ч.$v_к = 34 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 31 \text{ км/ч}$.

3. Найдем скорость катера против течения реки.
Скорость катера против течения ($v_{пр}$) равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = v_к - v_т$.
$v_{пр} = 31 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 28 \text{ км/ч}$.

4. Найдем время, за которое катер пройдет расстояние против течения.
Используем ту же формулу $t = S / v$. Расстояние остается тем же ($S = 476$ км), а скорость будет равна скорости против течения ($v_{пр} = 28$ км/ч).
$t_{пр} = 476 \text{ км} / 28 \text{ км/ч} = 17 \text{ ч}$.

Ответ: 17 часов.

530. Расстояние между двумя портами равно 504 км. Двигаясь против течения реки, теплоход проходит это расстояние за 21 ч. За сколько часов он пройдёт это расстояние по течению реки, если скорость течения равна 2 $\text{км/ч}$?

1. Найдем скорость теплохода против течения реки. Для этого разделим расстояние на время, затраченное на путь против течения:
$v_{против} = S / t_{против} = 504 \text{ км} / 21 \text{ ч} = 24 \text{ км/ч}$

2. Скорость против течения равна собственной скорости теплохода ($v_{собств}$) минус скорость течения ($v_{теч}$). Отсюда найдем собственную скорость теплохода:
$v_{собств} = v_{против} + v_{теч} = 24 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 26 \text{ км/ч}$

3. Теперь найдем скорость теплохода по течению реки ($v_{по}$). Она равна собственной скорости плюс скорость течения:
$v_{по} = v_{собств} + v_{теч} = 26 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 28 \text{ км/ч}$

4. Зная скорость по течению и расстояние, найдем время, которое теплоход затратит на этот путь:
$t_{по} = S / v_{по} = 504 \text{ км} / 28 \text{ км/ч} = 18 \text{ ч}$

Ответ: за 18 часов теплоход пройдет это расстояние по течению реки.