Страница 140 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

575. В мессенджере* одно SMS-сообщение может состоять не более чем из 64 символов. На какое количество SMS-сообщений мессенджер разобьёт текст, содержащий 280 символов?

По условию задачи, общий объем текста составляет 280 символов, а одно SMS-сообщение может содержать не более 64 символов.

Чтобы определить, на сколько сообщений будет разбит текст, необходимо общее количество символов в тексте разделить на максимальное количество символов в одном сообщении.

Выполним деление с остатком:

$280 \div 64$

Найдем, сколько полных сообщений получится:

$64 \times 4 = 256$

$64 \times 5 = 320$

Таким образом, 4 полных сообщения будут отправлены. Посчитаем, сколько символов останется после отправки четырех полных сообщений:

$280 - 256 = 24$

Результат деления $280$ на $64$ равен $4$ с остатком $24$. Это означает, что для отправки всего текста потребуется 4 полных сообщения и еще одно сообщение для оставшихся 24 символов.

Следовательно, общее количество SMS-сообщений будет:

$4 + 1 = 5$

Ответ: 5

576. Заполните таблицу.

Делимое: 22, Делитель: 6, Неполное частное: , Остаток:

Делимое: 45, Делитель: 7, Неполное частное: , Остаток:

Делимое: , Делитель: 5, Неполное частное: 2, Остаток: 3

Делимое: , Делитель: 8, Неполное частное: 3, Остаток: 5

Для заполнения таблицы необходимо выполнить вычисления для каждой строки, используя связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Основная формула: Делимое = (Делитель $\times$ Неполное частное) + Остаток, при этом Остаток < Делитель.

В этой строке известны делимое (22) и делитель (6). Нам нужно найти неполное частное и остаток. Для этого выполним деление с остатком. Разделим 22 на 6. Ближайшее к 22 число, которое меньше его и делится на 6 без остатка, — это 18 ($6 \times 3 = 18$). Таким образом, неполное частное равно 3. Теперь найдем остаток, вычтя из делимого произведение делителя на неполное частное: $22 - 18 = 4$. Остаток должен быть меньше делителя, и действительно $4 < 6$.

Ответ: Неполное частное = 3, Остаток = 4.

Здесь даны делимое (45) и делитель (7). Аналогично предыдущему пункту, находим неполное частное и остаток. Делим 45 на 7. Ближайшее к 45 число, которое меньше его и делится на 7 без остатка, — это 42 ($7 \times 6 = 42$). Следовательно, неполное частное равно 6. Остаток находим так: $45 - 42 = 3$. Проверяем условие: остаток меньше делителя ($3 < 7$).

Ответ: Неполное частное = 6, Остаток = 3.

В этой строке известны делитель (5), неполное частное (2) и остаток (3). Требуется найти делимое. Для этого воспользуемся основной формулой деления с остатком: Делимое = (Делитель $\times$ Неполное частное) + Остаток. Подставим наши значения: Делимое = $5 \times 2 + 3$. Вычисляем: $10 + 3 = 13$.

Ответ: Делимое = 13.

Здесь даны делитель (8), неполное частное (3) и остаток (5). Находим делимое по той же формуле: Делимое = (Делитель $\times$ Неполное частное) + Остаток. Подставляем значения: Делимое = $8 \times 3 + 5$. Вычисляем: $24 + 5 = 29$.

Ответ: Делимое = 29.

Таким образом, заполненная таблица выглядит следующим образом:

577. Найдите делимое, если делитель равен 18, неполное частное – 4, а остаток – 11.

Для того чтобы найти делимое, необходимо воспользоваться формулой деления с остатком. Делимое равно произведению делителя на неполное частное, к которому прибавлен остаток.

Общая формула выглядит так:

$a = b \cdot q + r$

где:

• $a$ — делимое (искомое число),
• $b$ — делитель,
• $q$ — неполное частное,
• $r$ — остаток.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• Делитель ($b$) = 18
• Неполное частное ($q$) = 4
• Остаток ($r$) = 11

Подставим эти значения в формулу:

$a = 18 \cdot 4 + 11$

Теперь выполним вычисления по порядку:

1. Сначала выполним умножение:

$18 \cdot 4 = 72$

2. Затем к полученному результату прибавим остаток:

$72 + 11 = 83$

Таким образом, искомое делимое равно 83.

Ответ: 83

578. Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1596; 67 389; 240 750. Выскажите гипотезу, чему равен остаток при делении числа на 10, и обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза.

Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1596; 67 389; 240 750

Чтобы найти остаток от деления натурального числа на 10, нужно выполнить деление с остатком. Остаток от деления на 10 — это число, которое остается после вычитания из исходного числа максимально возможного числа, кратного 10.

Для числа 31: $31 = 30 + 1 = 3 \cdot 10 + 1$. Остаток равен 1.
Для числа 47: $47 = 40 + 7 = 4 \cdot 10 + 7$. Остаток равен 7.
Для числа 53: $53 = 50 + 3 = 5 \cdot 10 + 3$. Остаток равен 3.
Для числа 148: $148 = 140 + 8 = 14 \cdot 10 + 8$. Остаток равен 8.
Для числа 1596: $1596 = 1590 + 6 = 159 \cdot 10 + 6$. Остаток равен 6.
Для числа 67 389: $67 389 = 67 380 + 9 = 6738 \cdot 10 + 9$. Остаток равен 9.
Для числа 240 750: $240 750 = 240 750 + 0 = 24075 \cdot 10 + 0$. Остаток равен 0.

Ответ: остатки от деления чисел 31, 47, 53, 148, 1596, 67 389, 240 750 на 10 равны соответственно 1, 7, 3, 8, 6, 9, 0.

Выскажите гипотезу, чему равен остаток при делении числа на 10, и обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза

Гипотеза: Остаток от деления натурального числа на 10 всегда равен последней цифре этого числа (цифре в разряде единиц).

Обоснование гипотезы: Эта гипотеза верна. Любое натуральное число в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы двух слагаемых: первое — это число, полученное из исходного отбрасыванием последней цифры и умноженное на 10 (оно всегда оканчивается на 0), а второе — это сама последняя цифра. Например, $148 = 14 \cdot 10 + 8$ или $67 389 = 6738 \cdot 10 + 9$.

В общем виде любое натуральное число $N$ можно записать как $N = 10 \cdot q + r$, где $q$ — это неполное частное, а $r$ — остаток, причем $0 \le r < 10$. В десятичной системе счисления запись числа, например $...d_2d_1d_0$, эквивалентна сумме $... + d_2 \cdot 10^2 + d_1 \cdot 10^1 + d_0$. Все члены этой суммы, кроме последнего ($d_0$), содержат множитель 10 и, следовательно, делятся на 10 нацело: $... + d_2 \cdot 100 + d_1 \cdot 10 = 10 \cdot (... + d_2 \cdot 10 + d_1)$. Таким образом, остаток от деления всего числа на 10 определяется последним слагаемым, которое и является последней цифрой числа, $d_0$.

Ответ: Гипотеза состоит в том, что остаток от деления натурального числа на 10 равен его последней цифре. Эта гипотеза верна.

579. Найдите остаток при делении на 100 числа: 101; 118; 256; 508; 1957. Выскажите гипотезу, чему равен остаток при делении числа на 100, и обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза.

101
Чтобы найти остаток от деления числа на 100, представим делимое в виде $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое (101), $b$ — делитель (100), $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток, причем $0 \le r < 100$.
$101 = 100 \cdot 1 + 1$
Здесь неполное частное равно 1, а остаток равен 1.
Ответ: 1

118
Выполним деление с остатком для числа 118:
$118 = 100 \cdot 1 + 18$
Неполное частное равно 1, остаток равен 18.
Ответ: 18

256
Выполним деление с остатком для числа 256:
$256 = 100 \cdot 2 + 56$
Неполное частное равно 2, остаток равен 56.
Ответ: 56

508
Выполним деление с остатком для числа 508:
$508 = 100 \cdot 5 + 8$
Неполное частное равно 5, остаток равен 8.
Ответ: 8

1957
Выполним деление с остатком для числа 1957:
$1957 = 100 \cdot 19 + 57$
Неполное частное равно 19, остаток равен 57.
Ответ: 57

Выскажите гипотезу, чему равен остаток при делении числа на 100
Проанализировав полученные результаты, можно заметить закономерность:
При делении 101 на 100 остаток равен 1 (последние две цифры "01").
При делении 118 на 100 остаток равен 18 (последние две цифры "18").
При делении 256 на 100 остаток равен 56 (последние две цифры "56").
При делении 508 на 100 остаток равен 8 (последние две цифры "08").
При делении 1957 на 100 остаток равен 57 (последние две цифры "57").
Во всех случаях остаток от деления на 100 совпадает с числом, которое образовано двумя последними цифрами исходного числа.

Гипотеза: Остаток от деления любого натурального числа на 100 равен числу, образованному двумя его последними цифрами.

Обоснование гипотезы: Любое натуральное число $N$ можно представить в виде суммы $N = 100 \cdot k + m$, где $m$ — это число, составленное из двух последних цифр числа $N$ (таким образом, $0 \le m \le 99$), а $k$ — это целое неотрицательное число, полученное из $N$ отбрасыванием двух последних цифр. Например, $1957 = 100 \cdot 19 + 57$. Первое слагаемое ($100 \cdot k$) всегда делится на 100 без остатка. Следовательно, остаток от деления числа $N$ на 100 равен остатку от деления числа $m$ на 100. Так как $m$ по определению меньше 100 ($0 \le m < 100$), то остаток от деления $m$ на 100 равен самому числу $m$. Таким образом, гипотеза верна.
Ответ: Остаток от деления натурального числа на 100 равен числу, которое образовано двумя последними цифрами этого числа.

580. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства $a = bq + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток, если $a = 82, b = 8$.

Для того чтобы выразить делимое через неполное частное, делитель и остаток, необходимо найти неполное частное $q$ и остаток $r$ от деления делимого $a$ на делитель $b$.

По условию дано:
Делимое $a = 82$.
Делитель $b = 8$.

1. Выполним деление с остатком числа 82 на 8.
$82 \div 8$
Ближайшее к 82 число, меньшее его и делящееся на 8 без остатка, это 80.
$80 \div 8 = 10$.
Таким образом, неполное частное $q = 10$.

2. Найдем остаток $r$. Для этого вычтем из делимого произведение делителя и неполного частного:
$r = a - b \cdot q$
$r = 82 - 8 \cdot 10 = 82 - 80 = 2$.
Остаток $r = 2$.

3. Подставим найденные значения $q = 10$ и $r = 2$ в формулу $a = bq + r$:
$82 = 8 \cdot 10 + 2$.

Проверим равенство: $8 \cdot 10 + 2 = 80 + 2 = 82$. Равенство верно.

Ответ: $82 = 8 \cdot 10 + 2$

581. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства $a = bq + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток, если $a = 45$, $b = 7$.

Задача состоит в том, чтобы представить делимое $a$ в виде равенства $a = bq + r$, используя заданные значения делимого и делителя.

Дано:
Делимое $a = 45$
Делитель $b = 7$

Чтобы найти неполное частное $q$ и остаток $r$, необходимо выполнить деление $a$ на $b$ с остатком.

1. Найдём неполное частное $q$. Для этого разделим 45 на 7 и возьмём целую часть от результата.
$45 \div 7 = 6$ (и некоторый остаток).
Проверим: $7 \cdot 6 = 42$, это меньше, чем 45. $7 \cdot 7 = 49$, это больше, чем 45.
Следовательно, неполное частное $q = 6$.

2. Найдём остаток $r$. Остаток вычисляется как разность между делимым и произведением делителя на неполное частное.
$r = a - b \cdot q$
$r = 45 - 7 \cdot 6 = 45 - 42 = 3$.
Остаток $r=3$ должен быть меньше делителя $b=7$, что верно ($3 < 7$).

3. Теперь подставим все известные и найденные значения в исходное равенство $a = bq + r$:
$45 = 7 \cdot 6 + 3$.

Ответ: $45 = 7 \cdot 6 + 3$.

582. При каком наименьшем натуральном $a$ значение выражения $96 - a$ при делении на 9 даёт остаток 4?

По условию задачи, значение выражения $96 - a$ при делении на 9 даёт остаток 4. Это означает, что существует такое целое неотрицательное число $k$ (неполное частное), что выполняется равенство: $96 - a = 9k + 4$

Выразим из этого уравнения переменную $a$: $a = 96 - (9k + 4)$ $a = 96 - 4 - 9k$ $a = 92 - 9k$

Нам необходимо найти наименьшее натуральное значение $a$. Натуральные числа — это целые положительные числа, следовательно, $a \ge 1$. Подставим это неравенство в полученную формулу: $92 - 9k \ge 1$

Решим это неравенство относительно $k$: $92 - 1 \ge 9k$ $91 \ge 9k$ $k \le \frac{91}{9}$ $k \le 10\frac{1}{9}$

Поскольку $k$ является целым числом, его наибольшее возможное значение — 10. Чтобы найти наименьшее натуральное значение $a$ по формуле $a = 92 - 9k$, необходимо вычесть из 92 как можно большее число. Это достигается при наибольшем возможном значении $k$.

Подставим $k=10$ в формулу для $a$: $a = 92 - 9 \cdot 10 = 92 - 90 = 2$

Проверим полученный результат. Если $a=2$, то выражение $96 - a$ равно $96 - 2 = 94$. При делении 94 на 9 получаем: $94 = 9 \cdot 10 + 4$. Остаток равен 4, что соответствует условию задачи. Таким образом, наименьшее натуральное значение $a$ равно 2.

Ответ: 2

583. При каком наименьшем натуральном $a$ значение выражения $a + 24$ при делении на 5 даёт остаток 2?

Согласно условию задачи, выражение $a + 24$ при делении на 5 даёт остаток 2. Это можно записать в виде сравнения по модулю (конгруэнции):

$a + 24 \equiv 2 \pmod{5}$

Чтобы упростить это выражение, сначала найдём остаток от деления числа 24 на 5:

$24 = 5 \cdot 4 + 4$

Остаток равен 4, следовательно, $24 \equiv 4 \pmod{5}$. Подставим это в наше исходное сравнение:

$a + 4 \equiv 2 \pmod{5}$

Теперь, чтобы найти $a$, вычтем 4 из обеих частей сравнения:

$a \equiv 2 - 4 \pmod{5}$

$a \equiv -2 \pmod{5}$

Остаток принято считать неотрицательным числом. Чтобы найти эквивалентный положительный остаток, прибавим к -2 модуль сравнения, то есть 5:

$a \equiv -2 + 5 \pmod{5}$

$a \equiv 3 \pmod{5}$

Это означает, что число $a$ при делении на 5 должно давать остаток 3. Нам необходимо найти наименьшее натуральное значение $a$. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Числа, которые дают остаток 3 при делении на 5, образуют ряд: 3, 8, 13, 18, и так далее.

Наименьшим натуральным числом в этом ряду является 3.

Проверка:

Если $a = 3$, то значение выражения $a + 24$ будет равно $3 + 24 = 27$.

Разделим 27 на 5: $27 = 5 \cdot 5 + 2$. Остаток равен 2, что соответствует условию задачи.

Ответ: 3

584. Катя разделила число 211 на некоторое число и получила в остатке 26. На какое число делила Катя?

Пусть искомое число, на которое Катя делила, будет $b$. По условию, при делении числа 211 на $b$ в остатке получилось 26. Обозначим неполное частное как $q$.

Запишем это в виде формулы деления с остатком:

$211 = b \cdot q + 26$

Основное правило деления с остатком гласит, что остаток всегда должен быть меньше делителя. В нашем случае это означает:

$26 < b$

Теперь найдем произведение $b \cdot q$ из основного уравнения:

$b \cdot q = 211 - 26$

$b \cdot q = 185$

Из этого следует, что искомый делитель $b$ должен быть одним из делителей числа 185. Найдем все натуральные делители числа 185. Для этого разложим его на простые множители:

$185 = 5 \cdot 37$

Делителями числа 185 являются числа: 1, 5, 37, 185.

Теперь из этих делителей нужно выбрать те, которые удовлетворяют условию $b > 26$.

Сравним каждый делитель с числом 26:

1 не больше 26.

5 не больше 26.

37 больше 26.

185 больше 26.

Следовательно, Катя могла делить на число 37 или на число 185.

Проверим оба варианта:

1. Если делитель равен 37: $211 \div 37 = 5$ (ост. 26). Это верно, так как $37 \cdot 5 + 26 = 185 + 26 = 211$, и остаток $26 < 37$.

2. Если делитель равен 185: $211 \div 185 = 1$ (ост. 26). Это верно, так как $185 \cdot 1 + 26 = 185 + 26 = 211$, и остаток $26 < 185$.

Оба числа подходят под условие задачи.

Ответ: 37 или 185.