Страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

630. Докажите, что трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37.

Пусть $a$ — это цифра, из которой состоит трёхзначное число. Так как число является трёхзначным, то $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9.

Трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами $a$, можно представить в виде $\overline{aaa}$. В десятичной системе счисления это число равно сумме разрядных слагаемых:
$\overline{aaa} = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$.

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1 = a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$.

Таким образом, любое трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, можно представить как произведение этой цифры на число 111.

Чтобы доказать, что число $\overline{aaa}$ кратно 37 (то есть делится на 37 без остатка), необходимо показать, что произведение $a \cdot 111$ делится на 37. Согласно свойству делимости, если один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число.

Проверим, делится ли число 111 на 37:
$111 \div 37 = 3$.

Поскольку $111 = 3 \cdot 37$, мы можем переписать наше исходное число в виде:
$\overline{aaa} = a \cdot 111 = a \cdot 3 \cdot 37$.

В полученном произведении $a \cdot 3 \cdot 37$ одним из множителей является число 37. Следовательно, всё произведение делится на 37 без остатка при любом значении $a$ от 1 до 9. Это доказывает, что любое трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37.

Ответ: Трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами $a$, можно представить в виде $a \cdot 111$. Так как $111 = 3 \cdot 37$, то искомое число равно $a \cdot 3 \cdot 37$. Наличие множителя 37 в этом произведении доказывает, что исходное число всегда кратно 37.

631. К однозначному числу дописали одну цифру, в результате чего оно увеличилось в 41 раз. Какую цифру и к какому числу дописали?

Пусть $x$ — исходное однозначное число, а $y$ — дописанная цифра. Поскольку исходное число однозначное и после дописывания цифры оно увеличилось, оно не может быть нулём. Значит, $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Дописанная цифра $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Цифра $y$ дописана справа от числа $x$.

В этом случае новое двузначное число можно записать в виде $10x + y$. Согласно условию, новое число в 41 раз больше исходного:

$10x + y = 41x$

Выразим $y$:

$y = 41x - 10x$

$y = 31x$

Проверим возможные значения для $x$. Если $x = 1$, то $y = 31 \cdot 1 = 31$. Число 31 не является цифрой. Если $x$ будет больше 1, то и $y$ будет больше 31. Следовательно, этот случай не имеет решений.

2. Цифра $y$ дописана слева от числа $x$.

В этом случае $y$ становится цифрой десятков, а $x$ — цифрой единиц. Новое число можно записать как $10y + x$. Так как это двузначное число, $y$ не может быть нулём. Составим уравнение по условию задачи:

$10y + x = 41x$

Выразим $10y$:

$10y = 41x - x$

$10y = 40x$

Разделим обе части уравнения на 10:

$y = 4x$

Теперь подберём такие значения $x$ (от 1 до 9), для которых $y$ также будет являться цифрой (от 1 до 9).

Если $x = 1$, то $y = 4 \cdot 1 = 4$. Это допустимые значения для цифр. Проверим: исходное число 1, дописали слева 4, получили 41. $41 = 41 \cdot 1$. Условие выполняется.

Если $x = 2$, то $y = 4 \cdot 2 = 8$. Это также допустимые значения. Проверим: исходное число 2, дописали слева 8, получили 82. $82 = 41 \cdot 2$. Условие выполняется.

Если $x = 3$, то $y = 4 \cdot 3 = 12$. Это уже не цифра. Для всех последующих значений $x$ результат для $y$ будет ещё больше.

Таким образом, у задачи есть два возможных решения.

Ответ: К числу 1 дописали цифру 4 (слева) или к числу 2 дописали цифру 8 (слева).

632. В двузначном числе зачеркнули одну цифру, в результате чего оно уменьшилось в 17 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно условиям, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Когда в двузначном числе зачеркивают одну цифру, остается однозначное число, равное либо $a$ (если зачеркнули $b$), либо $b$ (если зачеркнули $a$). Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Зачеркнули цифру единиц.
В этом случае исходное число равно $10a + b$, а новое число равно $a$. По условию задачи, исходное число в 17 раз больше нового. Составим и решим уравнение:
$10a + b = 17a$
$b = 17a - 10a$
$b = 7a$
Поскольку $a$ и $b$ — это цифры, причем $a \ne 0$, нам нужно найти такие значения, которые удовлетворяют этому равенству.
- Если $a = 1$, то $b = 7 \cdot 1 = 7$. Это допустимые значения для цифр. Исходное число — 17.
- Если $a = 2$, то $b = 7 \cdot 2 = 14$. Это значение не является цифрой, поэтому не подходит. Для $a > 1$ значение $b$ будет еще больше.
Проверим найденный вариант: в числе 17 зачеркиваем цифру 7, получаем 1. Проверка: $17 \div 1 = 17$. Условие выполняется.
Ответ: В числе 17 зачеркнули цифру 7.

Случай 2: Зачеркнули цифру десятков.
В этом случае исходное число равно $10a + b$, а новое число равно $b$. Составим и решим уравнение по условию задачи:
$10a + b = 17b$
$10a = 17b - b$
$10a = 16b$
Разделим обе части уравнения на 2:
$5a = 8b$
Так как 5 и 8 — взаимно простые числа, из равенства следует, что $a$ должно быть кратно 8, а $b$ должно быть кратно 5. Учитывая, что $a$ и $b$ — это цифры ($a \in \{1,...,9\}$, $b \in \{0,...,9\}$):
- Единственное ненулевое значение для $a$, кратное 8, это $a=8$.
- Возможные значения для $b$, кратные 5, это $b=0$ и $b=5$.
Подставим эти варианты в уравнение $5a = 8b$:
- Если $b=0$, то $5a = 8 \cdot 0 \implies 5a=0 \implies a=0$. Этот вариант не подходит, так как число двузначное и $a \ne 0$.
- Если $b=5$, то $5a = 8 \cdot 5 \implies 5a=40 \implies a=8$. Этот вариант подходит. Исходное число — 85.
Проверим найденный вариант: в числе 85 зачеркиваем цифру 8, получаем 5. Проверка: $85 \div 5 = 17$. Условие выполняется.
Ответ: В числе 85 зачеркнули цифру 8.

633. Решите уравнение:

1) $7(x - 19) = 133;$

2) $9(213 - 2x) = 927;$

3) $1344 : (x + 26) = 32;$

4) $384 : (51 - 5x) = 24.$

1)

Дано уравнение $7(x - 19) = 133$.

В этом уравнении $(x - 19)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение 133 разделить на известный множитель 7.

$x - 19 = 133 : 7$

$x - 19 = 19$

Теперь $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности 19 прибавить вычитаемое 19.

$x = 19 + 19$

$x = 38$

Ответ: 38

2)

Дано уравнение $9(213 - 2x) = 927$.

Сначала найдем неизвестный множитель $(213 - 2x)$, разделив произведение 927 на известный множитель 9.

$213 - 2x = 927 : 9$

$213 - 2x = 103$

Теперь $2x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого 213 вычесть разность 103.

$2x = 213 - 103$

$2x = 110$

Чтобы найти $x$, нужно произведение 110 разделить на известный множитель 2.

$x = 110 : 2$

$x = 55$

Ответ: 55

3)

Дано уравнение $1344 : (x + 26) = 32$.

В данном уравнении $(x + 26)$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое 1344 разделить на частное 32.

$x + 26 = 1344 : 32$

$x + 26 = 42$

Теперь $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы 42 вычесть известное слагаемое 26.

$x = 42 - 26$

$x = 16$

Ответ: 16

4)

Дано уравнение $384 : (51 - 5x) = 24$.

Найдем неизвестный делитель $(51 - 5x)$, разделив делимое 384 на частное 24.

$51 - 5x = 384 : 24$

$51 - 5x = 16$

Теперь $5x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого 51 вычесть разность 16.

$5x = 51 - 16$

$5x = 35$

Чтобы найти $x$, нужно произведение 35 разделить на известный множитель 5.

$x = 35 : 5$

$x = 7$

Ответ: 7

634. Мастер за 4 ч изготавливает 60 деталей, а каждый из двух его учеников за 3 ч — по 24 детали. За сколько часов они втроём изготовят 93 детали?

Для решения задачи необходимо найти общую производительность мастера и двух его учеников, а затем рассчитать время, необходимое для изготовления 93 деталей.

1. Находим производительность мастера.
Мастер изготавливает 60 деталей за 4 часа. Его производительность (количество деталей в час) составляет:
$P_{мастера} = 60 \div 4 = 15$ деталей/час.

2. Находим производительность одного ученика.
Каждый ученик изготавливает 24 детали за 3 часа. Его производительность составляет:
$P_{ученика} = 24 \div 3 = 8$ деталей/час.

3. Находим общую производительность двух учеников.
Поскольку учеников двое, их общая производительность будет вдвое больше:
$P_{двух \ учеников} = 8 \times 2 = 16$ деталей/час.

4. Находим общую производительность всех троих работников.
Складываем производительность мастера и двух его учеников:
$P_{общая} = P_{мастера} + P_{двух \ учеников} = 15 + 16 = 31$ деталь/час.

5. Находим время, за которое они вместе изготовят 93 детали.
Для этого нужно разделить необходимое количество деталей на общую производительность:
$T = 93 \div P_{общая} = 93 \div 31 = 3$ часа.

Ответ: 3 часа.

635. Учащиеся пятых классов ехали на экскурсию на двух автобусах.

Когда из одного автобуса, в котором было 42 учащихся, 8 перешли во второй автобус, то в обоих автобусах учащихся стало поровну.

Сколько учащихся было во втором автобусе сначала?

Для того чтобы найти, сколько учащихся было во втором автобусе сначала, необходимо выполнить решение по действиям.

1. Вычислим, сколько учащихся осталось в первом автобусе после того, как 8 из них перешли во второй. Изначально в первом автобусе было 42 учащихся.
$42 - 8 = 34$ (учащихся) – стало в первом автобусе.

2. В условии сказано, что после этого в обоих автобусах учащихся стало поровну. Это означает, что во втором автобусе также стало 34 учащихся.

3. Количество учащихся во втором автобусе стало равным 34 после того, как в него добавилось 8 человек. Чтобы найти, сколько учащихся было во втором автобусе первоначально, нужно из 34 вычесть 8.
$34 - 8 = 26$ (учащихся) – было во втором автобусе сначала.

Проверка:
Изначально: в первом автобусе было 42 учащихся, во втором – 26.
После того как 8 учащихся перешли из первого автобуса во второй:
В первом автобусе стало: $42 - 8 = 34$ учащихся.
Во втором автобусе стало: $26 + 8 = 34$ учащихся.
$34 = 34$. Количество учащихся в автобусах сравнялось, что соответствует условию задачи.

Ответ: 26 учащихся.

636. Можно ли разложить 44 шара на 9 кучек так, чтобы количество шаров во всех кучках было различным?

Для решения этой задачи нужно определить, можно ли представить число 44 в виде суммы девяти различных натуральных чисел. Предполагается, что в каждой кучке должен быть хотя бы один шар, так как "кучка" с нулем шаров обычно не рассматривается.

Найдем минимальное количество шаров, которое необходимо, чтобы разложить их на 9 кучек с разным количеством шаров в каждой. Для этого нужно взять 9 наименьших различных натуральных чисел и найти их сумму. Эти числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Сумма этих чисел представляет собой сумму первых девяти членов арифметической прогрессии. Рассчитаем эту сумму по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n$ — количество членов, $a_1$ — первый член, а $a_n$ — последний.
$S_9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \frac{9(1 + 9)}{2} = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$

Таким образом, минимально возможное количество шаров, которое можно разложить на 9 кучек с различным количеством шаров в каждой, составляет 45 шаров.
В условии задачи дано 44 шара. Поскольку общее количество шаров (44) меньше минимально необходимого (45), то разложить их указанным образом невозможно.
$44 < 45$

Ответ: Нет, нельзя.