Номер 630, страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 22. Делители и кратные. Упражнения - номер 630, страница 146.

Условие.

630. Докажите, что трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37.

Решение.

Решение 2.

Пусть $a$ — это цифра, из которой состоит трёхзначное число. Так как число является трёхзначным, то $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9.

Трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами $a$, можно представить в виде $\overline{aaa}$. В десятичной системе счисления это число равно сумме разрядных слагаемых:
$\overline{aaa} = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$.

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1 = a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$.

Таким образом, любое трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, можно представить как произведение этой цифры на число 111.

Чтобы доказать, что число $\overline{aaa}$ кратно 37 (то есть делится на 37 без остатка), необходимо показать, что произведение $a \cdot 111$ делится на 37. Согласно свойству делимости, если один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число.

Проверим, делится ли число 111 на 37:
$111 \div 37 = 3$.

Поскольку $111 = 3 \cdot 37$, мы можем переписать наше исходное число в виде:
$\overline{aaa} = a \cdot 111 = a \cdot 3 \cdot 37$.

В полученном произведении $a \cdot 3 \cdot 37$ одним из множителей является число 37. Следовательно, всё произведение делится на 37 без остатка при любом значении $a$ от 1 до 9. Это доказывает, что любое трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37.

Ответ: Трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами $a$, можно представить в виде $a \cdot 111$. Так как $111 = 3 \cdot 37$, то искомое число равно $a \cdot 3 \cdot 37$. Наличие множителя 37 в этом произведении доказывает, что исходное число всегда кратно 37.