Номер 627, страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 22. Делители и кратные. Упражнения - номер 627, страница 145.

Условие.

627. При каких натуральных значениях $n$ значение выражения $15n$ кратно числу:

1) 3;

2) 5;

3) 10;

4) 11?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы выражение $15n$ было кратно некоторому числу, необходимо, чтобы это число являлось делителем произведения $15n$. Разложим число 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Таким образом, выражение можно записать как $3 \cdot 5 \cdot n$.

1) 3

Выражение $15n = 3 \cdot 5 \cdot n$ содержит множитель 3. Следовательно, при любом натуральном значении $n$ произведение $15n$ будет делиться на 3 без остатка.
Проверим: $ \frac{15n}{3} = \frac{3 \cdot 5 \cdot n}{3} = 5n $.
Поскольку $n$ — натуральное число, $5n$ всегда будет целым числом.
Ответ: при любом натуральном $n$.

2) 5

Выражение $15n = 3 \cdot 5 \cdot n$ содержит множитель 5. Следовательно, при любом натуральном значении $n$ произведение $15n$ будет делиться на 5 без остатка.
Проверим: $ \frac{15n}{5} = \frac{3 \cdot 5 \cdot n}{5} = 3n $.
Поскольку $n$ — натуральное число, $3n$ всегда будет целым числом.
Ответ: при любом натуральном $n$.

3) 10

Чтобы выражение $15n$ было кратно 10, оно должно делиться на 10 без остатка. Разложим 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$.
Наше выражение $15n = 3 \cdot 5 \cdot n$. Оно уже содержит множитель 5. Чтобы произведение делилось на 10, в его разложении на простые множители должен также присутствовать множитель 2. Число 15 не делится на 2, значит, на 2 должно делиться число $n$. Таким образом, $n$ должно быть чётным натуральным числом.
Например, если $n=2$, то $15 \cdot 2 = 30$, что кратно 10. Если $n=4$, то $15 \cdot 4 = 60$, что кратно 10. Если $n=1$, то $15 \cdot 1 = 15$, что не кратно 10.
Ответ: при любом чётном натуральном $n$ (т.е. $n$ кратно 2).

4) 11

Чтобы выражение $15n$ было кратно 11, оно должно делиться на 11 без остатка. Число 11 является простым.
Число 15 не делится на 11. Следовательно, для того чтобы произведение $15n$ делилось на 11, необходимо, чтобы множитель $n$ был кратен 11.
Это следует из свойства делимости: если произведение двух чисел ($15$ и $n$) делится на простое число (11), то хотя бы один из множителей должен делиться на это простое число. Так как 15 не делится на 11, то $n$ должно делиться на 11.
Ответ: при любом натуральном $n$, кратном 11.