Номер 625, страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Делители и кратные. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 625, страница 145.

625. При делении числа $a$ на 7 получили остаток 4. Какому условию должно удовлетворять число $b$, чтобы сумма $a + b$ была кратна 7?

По условию, при делении числа $a$ на 7 получили остаток 4. Это означает, что число $a$ можно представить в виде:
$a = 7k + 4$, где $k$ — целое число (неполное частное).

Требуется, чтобы сумма $a + b$ была кратна 7. Это значит, что сумма $a + b$ делится на 7 без остатка. Запишем это в виде:
$a + b = 7m$, где $m$ — некоторое целое число.

Чтобы найти условие для числа $b$, подставим первое выражение во второе:
$(7k + 4) + b = 7m$

Теперь выразим $b$ из этого равенства:
$b = 7m - 7k - 4$
$b = 7(m - k) - 4$

Чтобы найти остаток от деления $b$ на 7, представим $-4$ в виде, удобном для определения остатка. Мы знаем, что остаток должен быть неотрицательным.
$-4 = -7 + 3$
Подставим это в выражение для $b$:
$b = 7(m - k) - 7 + 3$
$b = 7(m - k - 1) + 3$

Обозначим $n = m - k - 1$. Поскольку $m$ и $k$ — целые числа, $n$ также является целым числом. Тогда:
$b = 7n + 3$

Это равенство по определению означает, что число $b$ при делении на 7 дает в остатке 3.
Проверка: Если остаток от деления $a$ на 7 равен 4, а остаток от деления $b$ на 7 равен 3, то остаток от деления их суммы $a+b$ на 7 равен остатку от деления суммы их остатков $(4+3)$ на 7. Так как $4+3=7$, а 7 делится на 7 с остатком 0, то и сумма $a+b$ будет кратна 7.

Ответ: Число $b$ при делении на 7 должно давать в остатке 3.