Номер 632, страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 22. Делители и кратные. Упражнения - номер 632, страница 146.

Условие.

632. В двузначном числе зачеркнули одну цифру, в результате чего оно уменьшилось в 17 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно условиям, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Когда в двузначном числе зачеркивают одну цифру, остается однозначное число, равное либо $a$ (если зачеркнули $b$), либо $b$ (если зачеркнули $a$). Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Зачеркнули цифру единиц.
В этом случае исходное число равно $10a + b$, а новое число равно $a$. По условию задачи, исходное число в 17 раз больше нового. Составим и решим уравнение:
$10a + b = 17a$
$b = 17a - 10a$
$b = 7a$
Поскольку $a$ и $b$ — это цифры, причем $a \ne 0$, нам нужно найти такие значения, которые удовлетворяют этому равенству.
- Если $a = 1$, то $b = 7 \cdot 1 = 7$. Это допустимые значения для цифр. Исходное число — 17.
- Если $a = 2$, то $b = 7 \cdot 2 = 14$. Это значение не является цифрой, поэтому не подходит. Для $a > 1$ значение $b$ будет еще больше.
Проверим найденный вариант: в числе 17 зачеркиваем цифру 7, получаем 1. Проверка: $17 \div 1 = 17$. Условие выполняется.
Ответ: В числе 17 зачеркнули цифру 7.

Случай 2: Зачеркнули цифру десятков.
В этом случае исходное число равно $10a + b$, а новое число равно $b$. Составим и решим уравнение по условию задачи:
$10a + b = 17b$
$10a = 17b - b$
$10a = 16b$
Разделим обе части уравнения на 2:
$5a = 8b$
Так как 5 и 8 — взаимно простые числа, из равенства следует, что $a$ должно быть кратно 8, а $b$ должно быть кратно 5. Учитывая, что $a$ и $b$ — это цифры ($a \in \{1,...,9\}$, $b \in \{0,...,9\}$):
- Единственное ненулевое значение для $a$, кратное 8, это $a=8$.
- Возможные значения для $b$, кратные 5, это $b=0$ и $b=5$.
Подставим эти варианты в уравнение $5a = 8b$:
- Если $b=0$, то $5a = 8 \cdot 0 \implies 5a=0 \implies a=0$. Этот вариант не подходит, так как число двузначное и $a \ne 0$.
- Если $b=5$, то $5a = 8 \cdot 5 \implies 5a=40 \implies a=8$. Этот вариант подходит. Исходное число — 85.
Проверим найденный вариант: в числе 85 зачеркиваем цифру 8, получаем 5. Проверка: $85 \div 5 = 17$. Условие выполняется.
Ответ: В числе 85 зачеркнули цифру 8.