Номер 629, страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Делители и кратные. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 629, страница 145.

629. Докажите, что двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, кратно 11.

Пусть двузначное число записано двумя одинаковыми цифрами $a$. Так как число является двузначным, цифра $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых. Цифра $a$ в разряде десятков имеет значение $10 \cdot a$, а в разряде единиц – $1 \cdot a$. Таким образом, значение всего числа равно:

$10 \cdot a + a$

Упростим это выражение, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$10a + a = (10 + 1) \cdot a = 11a$

Полученное выражение $11a$ представляет собой произведение числа 11 и целого числа $a$. Согласно определению делимости, если число можно представить в виде произведения $11 \cdot k$, где $k$ – целое число, то оно кратно 11. В нашем случае $k=a$.

Следовательно, любое двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, всегда кратно 11, что и требовалось доказать.

Например:

• $44 = 10 \cdot 4 + 4 = 11 \cdot 4$. Число 44 кратно 11.
• $77 = 10 \cdot 7 + 7 = 11 \cdot 7$. Число 77 кратно 11.

Ответ: Любое двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами $a$, можно представить в виде $10a + a = 11a$. Поскольку это выражение является произведением числа 11 и целого числа $a$, оно всегда делится на 11, то есть кратно 11.