Страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

614. Запишите все значения $x$, кратные числу 4, при которых верно неравенство $18 < x < 36$.

Согласно условию, мы ищем целые значения $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $18 < x < 36$ и при этом кратны числу 4.

Это означает, что нам нужно найти все числа, которые делятся на 4 без остатка и находятся в промежутке от 18 до 36 (не включая сами эти числа).

Выпишем числа, кратные 4, и проверим, попадают ли они в заданный интервал. Для этого будем последовательно умножать 4 на целые числа:

• $4 \cdot 4 = 16$. Это значение не подходит, так как $16$ не больше $18$.
• $4 \cdot 5 = 20$. Это значение подходит, так как выполняется неравенство $18 < 20 < 36$.
• $4 \cdot 6 = 24$. Это значение подходит, так как выполняется неравенство $18 < 24 < 36$.
• $4 \cdot 7 = 28$. Это значение подходит, так как выполняется неравенство $18 < 28 < 36$.
• $4 \cdot 8 = 32$. Это значение подходит, так как выполняется неравенство $18 < 32 < 36$.
• $4 \cdot 9 = 36$. Это значение не подходит, так как неравенство строгое ($x < 36$), а $36$ не меньше $36$.

Таким образом, все значения $x$, удовлетворяющие условиям задачи, это 20, 24, 28 и 32.

Ответ: 20, 24, 28, 32.

615. Запишите все значения $x$, кратные числу 6, при которых верно неравенство $25 < x < 60$.

Необходимо найти все значения x, которые одновременно удовлетворяют двум условиям:

1. x кратно числу 6, то есть делится на 6 без остатка.
2. x удовлетворяет строгому неравенству $25 < x < 60$.

Для нахождения этих значений, мы можем перечислить числа, кратные 6, и выбрать те, которые попадают в указанный интервал.

Начнем перебор с первого числа, кратного 6, которое больше 25.

• $6 \times 4 = 24$. Это число меньше 25, поэтому не подходит.
• $6 \times 5 = 30$. Это число удовлетворяет неравенству, так как $25 < 30 < 60$.
• $6 \times 6 = 36$. Это число удовлетворяет неравенству, так как $25 < 36 < 60$.
• $6 \times 7 = 42$. Это число удовлетворяет неравенству, так как $25 < 42 < 60$.
• $6 \times 8 = 48$. Это число удовлетворяет неравенству, так как $25 < 48 < 60$.
• $6 \times 9 = 54$. Это число удовлетворяет неравенству, так как $25 < 54 < 60$.
• $6 \times 10 = 60$. Это число не удовлетворяет условию $x < 60$, так как $60 = 60$.

Таким образом, мы нашли все значения x, которые кратны 6 и находятся в заданном интервале.

Ответ: 30, 36, 42, 48, 54.

616. Запишите все значения $x$, являющиеся делителями числа 80 и при которых верно неравенство $7 < x < 40$.

Чтобы найти все значения $x$, нужно выполнить два условия. Во-первых, $x$ должен быть делителем числа 80. Во-вторых, $x$ должен удовлетворять строгому неравенству $7 < x < 40$.

1. Найдём все делители числа 80.
Делитель — это натуральное число, на которое другое число делится без остатка. Выпишем все делители числа 80 по порядку:
Для этого можно найти все пары чисел, произведение которых равно 80:
$1 \times 80 = 80$
$2 \times 40 = 80$
$4 \times 20 = 80$
$5 \times 16 = 80$
$8 \times 10 = 80$
Таким образом, все делители числа 80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80.

2. Выберем из найденных делителей те, которые удовлетворяют неравенству $7 < x < 40$.
Это означает, что искомые числа должны быть строго больше 7 и строго меньше 40. Проверим каждый делитель из полученного списка:
- 1, 2, 4, 5 — не подходят, так как они меньше 7.
- 8 — подходит, так как $7 < 8 < 40$.
- 10 — подходит, так как $7 < 10 < 40$.
- 16 — подходит, так как $7 < 16 < 40$.
- 20 — подходит, так как $7 < 20 < 40$.
- 40 — не подходит, так как условие $x < 40$ не выполняется ($40 = 40$).
- 80 — не подходит, так как оно больше 40.

Таким образом, искомые значения $x$: 8, 10, 16, 20.
Ответ: 8, 10, 16, 20.

617. Запишите все значения x, являющиеся делителями числа 98 и при которых верно неравенство $14 < x < 50$.

Для решения задачи необходимо выполнить два последовательных действия: сначала найти все делители числа 98, а затем из полученного списка выбрать те, которые удовлетворяют заданному неравенству.

1. Найдём все натуральные делители числа 98. Делитель — это число, на которое исходное число делится без остатка. Будем находить их попарно:
$98 = 1 \cdot 98$
$98 = 2 \cdot 49$
$98 = 7 \cdot 14$
Полный список делителей числа 98 в порядке возрастания: {1, 2, 7, 14, 49, 98}.

2. Теперь из этого списка {1, 2, 7, 14, 49, 98} выберем те значения $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $14 < x < 50$. Это означает, что искомое число $x$ должно быть строго больше 14 и строго меньше 50.
Проверим каждый делитель:
- Числа 1, 2, 7, 14 не подходят, так как они не больше 14.
- Число 49 подходит, так как оно больше 14 и меньше 50 ($14 < 49 < 50$).
- Число 98 не подходит, так как оно не меньше 50.

Таким образом, единственное значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям, это 49.

Ответ: 49.

618. При каком наименьшем натуральном $a$ значение выражения:

1) $48 + a$ делится нацело на 6;

2) $65 - a$ делится нацело на 8?

1) 48 + a делится нацело на 6;

Чтобы значение выражения $48 + a$ делилось нацело на 6, оно должно быть кратно 6.
Проверим делимость числа 48 на 6:
$48 \div 6 = 8$
Так как число 48 уже делится на 6, то для того, чтобы вся сумма $(48 + a)$ делилась на 6, необходимо, чтобы и слагаемое $a$ также делилось на 6.
По условию задачи, нам нужно найти наименьшее натуральное значение $a$. Натуральные числа — это числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...).
Наименьшим натуральным числом, которое делится на 6, является само число 6.
Проверим: если $a = 6$, то $48 + 6 = 54$. Число 54 делится на 6 ($54 \div 6 = 9$).
Следовательно, наименьшее натуральное $a$ равно 6.
Ответ: 6

2) 65 – a делится нацело на 8?

Чтобы значение выражения $65 - a$ делилось нацело на 8, оно должно быть кратно 8.
Поскольку $a$ — натуральное число, то $a \ge 1$, а значит, значение выражения $65 - a$ будет меньше 65.
Нам нужно найти такое число, которое меньше 65, делится на 8 и является наибольшим из таких чисел, чтобы $a$ было наименьшим.
Найдем остаток от деления 65 на 8:
$65 \div 8 = 8$ (ост. 1)
Это означает, что ближайшее число, меньшее 65 и кратное 8, можно найти, отняв от 65 этот остаток: $65 - 1 = 64$.
Действительно, $64 \div 8 = 8$.
Теперь приравняем наше выражение к 64, чтобы найти наименьшее натуральное $a$:
$65 - a = 64$
$a = 65 - 64$
$a = 1$
Число 1 является наименьшим натуральным числом.
Проверим: если $a = 1$, то $65 - 1 = 64$. Число 64 делится на 8. Условие выполняется.
Ответ: 1

619. При каком наименьшем натуральном $a$ значение выражения $53 + a$ делится нацело на 7?

По условию задачи, значение выражения $53 + a$ должно делиться нацело на 7. Это означает, что сумма $53 + a$ должна быть числом, кратным 7.

Мы ищем наименьшее натуральное число $a$. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$, поэтому $a \ge 1$. Это, в свою очередь, означает, что значение выражения $53 + a$ должно быть больше 53.

Наша задача — найти наименьшее число, которое больше 53 и делится на 7 без остатка. Найдем числа, кратные 7, которые находятся рядом с 53:
$7 \times 7 = 49$ (это число меньше 53)
$7 \times 8 = 56$ (это первое число, кратное 7, которое больше 53)

Следовательно, искомое значение выражения $53 + a$ равно 56. Теперь мы можем найти $a$, составив уравнение:
$53 + a = 56$

Решим это уравнение:
$a = 56 - 53$
$a = 3$

Поскольку мы выбрали наименьшее возможное кратное 7 (которое больше 53), найденное значение $a=3$ является наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим условию задачи.

Ответ: 3

620. Найдите число, кратное числам 9 и 11, которое больше 100. Сколько существует таких чисел?

Чтобы число было кратно одновременно числам 9 и 11, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Поскольку числа 9 и 11 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению.

$НОК(9, 11) = 9 \cdot 11 = 99$.

Следовательно, мы ищем числа, кратные 99, которые больше 100. Все такие числа можно представить в виде $99 \cdot k$, где $k$ — натуральное число.

Найдем наименьшее такое число, перебирая значения $k$. При $k=1$ получаем $99 \cdot 1 = 99$, что не больше 100. При $k=2$ получаем $99 \cdot 2 = 198$. Это число больше 100 и удовлетворяет условию.

Теперь ответим на вопрос о количестве таких чисел. Условию $99 \cdot k > 100$ удовлетворяют все натуральные числа $k \ge 2$. Так как множество натуральных чисел $k$ ($2, 3, 4, \dots$) бесконечно, то и количество чисел, кратных 9 и 11 и больших 100, также бесконечно.

Ответ: Примером такого числа является 198. Существует бесконечно много таких чисел.

621. Найдите число, кратное числам 9 и 12, которое меньше 100. Сколько существует таких чисел?

Чтобы найти число, которое кратно одновременно числам 9 и 12, необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК). Любое другое число, кратное 9 и 12, также будет кратно их НОК.

1. Найдём НОК чисел 9 и 12.

Сначала разложим числа 9 и 12 на простые множители:

$9 = 3^2$

$12 = 2^2 \cdot 3$

Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:

НОК(9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

2. Найдём все числа, кратные 36, которые меньше 100.

Будем последовательно умножать 36 на натуральные числа:

• $36 \cdot 1 = 36$ (это число меньше 100)
• $36 \cdot 2 = 72$ (это число меньше 100)
• $36 \cdot 3 = 108$ (это число больше 100, следовательно, не подходит)

Таким образом, числа, которые кратны 9 и 12 и меньше 100, это 36 и 72.

3. Подсчитаем количество таких чисел.

Мы нашли два таких числа: 36 и 72.

Ответ: Искомые числа — 36 и 72. Всего существует 2 таких числа.

622. Подберите контрпример, опровергающий гипотезу: если сумма $a + b$ делится нацело на число $k$, то каждое слагаемое также делится нацело на число $k$.

Чтобы опровергнуть гипотезу, нужно найти хотя бы один контрпример — то есть такие числа $a$, $b$ и $k$, для которых условие гипотезы выполняется, а её заключение — нет.

Формулировка гипотезы: если сумма $(a+b)$ делится нацело на число $k$, то каждое из слагаемых ($a$ и $b$) также делится нацело на $k$.

Подберём контрпример.

Пусть слагаемые будут $a=2$ и $b=4$, а число, на которое будем делить, $k=3$.

1. Проверим условие гипотезы.
   Найдём сумму $a+b$:
   $a + b = 2 + 4 = 6$
   Проверим, делится ли сумма на $k$:
   $6 \div 3 = 2$
   Сумма $6$ делится нацело на $3$. Условие гипотезы выполняется.
2. Проверим заключение гипотезы.
   Согласно гипотезе, каждое слагаемое должно делиться на $k=3$.
   Проверяем первое слагаемое $a=2$:
   $2$ не делится нацело на $3$.
   Проверяем второе слагаемое $b=4$:
   $4$ не делится нацело на $3$.
   Заключение гипотезы не выполняется, так как ни одно из слагаемых не делится на $3$.

Таким образом, мы нашли пример, где сумма делится на число, а слагаемые — нет. Это опровергает исходную гипотезу.

Ответ: Например, при $a=2$, $b=4$ и $k=3$ сумма $a+b=6$ делится на $3$, но ни $a=2$, ни $b=4$ не делятся на $3$.

623. Подберите контрпример, опровергающий гипотезу: если сумма $a + b$ не делится нацело на число $k$, то одно из слагаемых делится нацело на число $k$, а другое не делится.

Гипотеза, которую нужно опровергнуть: "если сумма $a + b$ не делится нацело на число $k$, то одно из слагаемых делится нацело на число $k$, а другое не делится".

Чтобы опровергнуть гипотезу, необходимо найти контрпример. Контрпример — это такой набор чисел $a$, $b$ и $k$, для которого условие гипотезы (посылка) истинно, а её заключение — ложно.

Условие (посылка): $a + b$ не делится на $k$.

Заключение: одно из чисел ($a$ или $b$) делится на $k$, а другое — нет.

Нам нужно, чтобы заключение было ложным. Ложным оно будет в одном из двух случаев:

• Либо оба слагаемых ($a$ и $b$) делятся на $k$.
• Либо оба слагаемых ($a$ и $b$) не делятся на $k$.

Рассмотрим первый случай: $a$ делится на $k$ и $b$ делится на $k$. В этом случае их сумма $a+b$ также будет делиться на $k$. Это противоречит условию гипотезы (что $a+b$ не делится на $k$). Значит, этот случай не может быть контрпримером.

Следовательно, для контрпримера мы должны искать такой набор чисел, где оба слагаемых $a$ и $b$ не делятся на $k$, и при этом их сумма $a+b$ тоже не делится на $k$.

Подберем такой пример.

Пусть $k = 3$.
Возьмем $a = 2$. Число $2$ не делится нацело на $3$.
Возьмем $b = 2$. Число $2$ также не делится нацело на $3$.

Теперь проверим наш пример:

1. Проверка условия. Сумма $a + b = 2 + 2 = 4$. Число $4$ не делится нацело на $k=3$. Условие гипотезы выполнено.

2. Проверка заключения. В гипотезе утверждается, что одно из слагаемых делится на $3$, а другое нет. В нашем примере ни $a=2$, ни $b=2$ не делятся на $3$. Значит, заключение гипотезы ложно.

Таким образом, мы нашли контрпример, который опровергает исходную гипотезу.

Ответ: Например, при $k = 3$, $a = 2$, $b = 2$. Сумма $a+b=4$ не делится на $3$, но при этом ни одно из слагаемых ($2$ и $2$) не делится на $3$.

624. Верно ли утверждение:

1) если число $a$ кратно 6, то оно кратно 3;

2) если число $a$ кратно 3, то оно кратно 6;

3) если число $a$ кратно числам 3 и 4, то оно кратно 12;

4) если число $a$ кратно числам 4 и 6, то оно кратно 24?

Ответ проиллюстрируйте примерами.

1) если число a кратно 6, то оно кратно 3;

Утверждение верно.
Если число $a$ кратно 6, то его можно представить в виде $a = 6 \cdot k$, где $k$ – целое число.
Поскольку $6 = 2 \cdot 3$, то мы можем переписать выражение для $a$ как $a = (2 \cdot 3) \cdot k = 3 \cdot (2k)$.
Так как $2k$ также является целым числом, то число $a$ делится на 3 без остатка, то есть кратно 3.
Пример: число 18 кратно 6 ($18 = 6 \cdot 3$). Это же число кратно 3 ($18 = 3 \cdot 6$). Другой пример: 42 кратно 6 ($42 = 6 \cdot 7$), и 42 кратно 3 ($42 = 3 \cdot 14$).
Ответ: утверждение верно.

2) если число a кратно 3, то оно кратно 6;

Утверждение неверно.
Если число $a$ кратно 3, это означает, что $a = 3 \cdot k$, где $k$ – целое число.
Чтобы число было кратно 6, оно должно быть кратно и 3, и 2 (так как $6 = 2 \cdot 3$). То есть, оно должно быть четным.
Однако не все числа, кратные 3, являются четными.
Пример (контрпример): число 9 кратно 3 ($9 = 3 \cdot 3$), но оно не кратно 6, так как при делении 9 на 6 получается остаток. Другой пример: 15 кратно 3 ($15 = 3 \cdot 5$), но не кратно 6.
Ответ: утверждение неверно.

3) если число a кратно числам 3 и 4, то оно кратно 12;

Утверждение верно.
Если число $a$ кратно одновременно числам 3 и 4, то оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).
Числа 3 и 4 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1).
Для взаимно простых чисел НОК равен их произведению: НОК(3, 4) = $3 \cdot 4 = 12$.
Следовательно, любое число, которое делится и на 3, и на 4, обязательно будет делиться и на 12.
Пример: число 24 кратно 3 ($24 = 3 \cdot 8$) и кратно 4 ($24 = 4 \cdot 6$). Это же число кратно 12 ($24 = 12 \cdot 2$). Другой пример: 36 кратно 3 ($36 = 3 \cdot 12$) и 4 ($36 = 4 \cdot 9$), и оно также кратно 12 ($36 = 12 \cdot 3$).
Ответ: утверждение верно.

4) если число a кратно числам 4 и 6, то оно кратно 24?

Утверждение неверно.
Если число $a$ кратно одновременно числам 4 и 6, то оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).
Найдем НОК для 4 и 6. Разложим числа на простые множители:
$4 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$
НОК(4, 6) = $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.
Таким образом, если число кратно 4 и 6, оно кратно 12, но не обязательно 24. Число 24 является одним из общих кратных, но не наименьшим.
Пример (контрпример): число 12 кратно 4 ($12 = 4 \cdot 3$) и кратно 6 ($12 = 6 \cdot 2$). Однако число 12 не кратно 24. Другой пример: 36 кратно 4 и 6, но не кратно 24.
Ответ: утверждение неверно.

625. При делении числа $a$ на 7 получили остаток 4. Какому условию должно удовлетворять число $b$, чтобы сумма $a + b$ была кратна 7?

По условию, при делении числа $a$ на 7 получили остаток 4. Это означает, что число $a$ можно представить в виде:
$a = 7k + 4$, где $k$ — целое число (неполное частное).

Требуется, чтобы сумма $a + b$ была кратна 7. Это значит, что сумма $a + b$ делится на 7 без остатка. Запишем это в виде:
$a + b = 7m$, где $m$ — некоторое целое число.

Чтобы найти условие для числа $b$, подставим первое выражение во второе:
$(7k + 4) + b = 7m$

Теперь выразим $b$ из этого равенства:
$b = 7m - 7k - 4$
$b = 7(m - k) - 4$

Чтобы найти остаток от деления $b$ на 7, представим $-4$ в виде, удобном для определения остатка. Мы знаем, что остаток должен быть неотрицательным.
$-4 = -7 + 3$
Подставим это в выражение для $b$:
$b = 7(m - k) - 7 + 3$
$b = 7(m - k - 1) + 3$

Обозначим $n = m - k - 1$. Поскольку $m$ и $k$ — целые числа, $n$ также является целым числом. Тогда:
$b = 7n + 3$

Это равенство по определению означает, что число $b$ при делении на 7 дает в остатке 3.
Проверка: Если остаток от деления $a$ на 7 равен 4, а остаток от деления $b$ на 7 равен 3, то остаток от деления их суммы $a+b$ на 7 равен остатку от деления суммы их остатков $(4+3)$ на 7. Так как $4+3=7$, а 7 делится на 7 с остатком 0, то и сумма $a+b$ будет кратна 7.

Ответ: Число $b$ при делении на 7 должно давать в остатке 3.

626. При делении числа $a$ на 9 получили остаток 5. Какому условию должно удовлетворять число $b$, чтобы разность $a - b$ была кратна 9?

По условию, при делении числа $a$ на 9 получается остаток 5. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком:
$a = 9k + 5$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Разность $a - b$ должна быть кратна 9. Это означает, что $a - b$ делится на 9 без остатка. Запишем это в виде равенства:
$a - b = 9m$, где $m$ — некоторое целое число.

Подставим в это равенство выражение для $a$ из первого шага:
$(9k + 5) - b = 9m$

Теперь выразим $b$ из этого уравнения, чтобы найти условие для него:
$b = 9k + 5 - 9m$
Сгруппируем слагаемые с множителем 9:
$b = 9k - 9m + 5$
$b = 9(k - m) + 5$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их разность $(k - m)$ также является целым числом. Обозначим эту разность как $n$, где $n = k - m$. Тогда равенство для $b$ примет вид:
$b = 9n + 5$

Это выражение означает, что число $b$ при делении на 9 дает в остатке 5. Таким образом, чтобы разность $a-b$ была кратна 9, числа $a$ и $b$ должны иметь одинаковые остатки при делении на 9.

Ответ: Число $b$ при делении на 9 должно давать в остатке 5.

627. При каких натуральных значениях $n$ значение выражения $15n$ кратно числу:

1) 3;

2) 5;

3) 10;

4) 11?

Для того чтобы выражение $15n$ было кратно некоторому числу, необходимо, чтобы это число являлось делителем произведения $15n$. Разложим число 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Таким образом, выражение можно записать как $3 \cdot 5 \cdot n$.

1) 3

Выражение $15n = 3 \cdot 5 \cdot n$ содержит множитель 3. Следовательно, при любом натуральном значении $n$ произведение $15n$ будет делиться на 3 без остатка.
Проверим: $ \frac{15n}{3} = \frac{3 \cdot 5 \cdot n}{3} = 5n $.
Поскольку $n$ — натуральное число, $5n$ всегда будет целым числом.
Ответ: при любом натуральном $n$.

2) 5

Выражение $15n = 3 \cdot 5 \cdot n$ содержит множитель 5. Следовательно, при любом натуральном значении $n$ произведение $15n$ будет делиться на 5 без остатка.
Проверим: $ \frac{15n}{5} = \frac{3 \cdot 5 \cdot n}{5} = 3n $.
Поскольку $n$ — натуральное число, $3n$ всегда будет целым числом.
Ответ: при любом натуральном $n$.

3) 10

Чтобы выражение $15n$ было кратно 10, оно должно делиться на 10 без остатка. Разложим 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$.
Наше выражение $15n = 3 \cdot 5 \cdot n$. Оно уже содержит множитель 5. Чтобы произведение делилось на 10, в его разложении на простые множители должен также присутствовать множитель 2. Число 15 не делится на 2, значит, на 2 должно делиться число $n$. Таким образом, $n$ должно быть чётным натуральным числом.
Например, если $n=2$, то $15 \cdot 2 = 30$, что кратно 10. Если $n=4$, то $15 \cdot 4 = 60$, что кратно 10. Если $n=1$, то $15 \cdot 1 = 15$, что не кратно 10.
Ответ: при любом чётном натуральном $n$ (т.е. $n$ кратно 2).

4) 11

Чтобы выражение $15n$ было кратно 11, оно должно делиться на 11 без остатка. Число 11 является простым.
Число 15 не делится на 11. Следовательно, для того чтобы произведение $15n$ делилось на 11, необходимо, чтобы множитель $n$ был кратен 11.
Это следует из свойства делимости: если произведение двух чисел ($15$ и $n$) делится на простое число (11), то хотя бы один из множителей должен делиться на это простое число. Так как 15 не делится на 11, то $n$ должно делиться на 11.
Ответ: при любом натуральном $n$, кратном 11.

628. При каких натуральных значениях n значение выражения:

1) $3n + 2$ кратно числу 2;

2) $4n + 3$ кратно числу 3?

1) Для того чтобы значение выражения $3n + 2$ было кратно числу 2, оно должно быть четным. Выражение представляет собой сумму двух слагаемых. Поскольку слагаемое 2 является четным, для четности всей суммы необходимо, чтобы слагаемое $3n$ также было четным. Произведение $3n$ будет четным, если хотя бы один из множителей четный. Так как 3 — число нечетное, то $n$ должно быть четным натуральным числом.
Ответ: при всех четных натуральных значениях $n$ (например, $n = 2, 4, 6, \dots$).

2) Для того чтобы значение выражения $4n + 3$ было кратно числу 3, оно должно делиться на 3 без остатка. Представим выражение в следующем виде: $4n + 3 = 3n + n + 3$. Сгруппируем слагаемые, кратные 3: $(3n + 3) + n = 3(n+1) + n$. В полученном выражении слагаемое $3(n+1)$ всегда кратно 3, так как содержит множитель 3. Следовательно, чтобы вся сумма была кратна 3, второе слагаемое $n$ также должно быть кратно 3. Таким образом, $n$ должно быть любым натуральным числом, кратным 3.
Ответ: при всех натуральных значениях $n$, кратных 3 (например, $n = 3, 6, 9, \dots$).

629. Докажите, что двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, кратно 11.

Пусть двузначное число записано двумя одинаковыми цифрами $a$. Так как число является двузначным, цифра $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых. Цифра $a$ в разряде десятков имеет значение $10 \cdot a$, а в разряде единиц – $1 \cdot a$. Таким образом, значение всего числа равно:

$10 \cdot a + a$

Упростим это выражение, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$10a + a = (10 + 1) \cdot a = 11a$

Полученное выражение $11a$ представляет собой произведение числа 11 и целого числа $a$. Согласно определению делимости, если число можно представить в виде произведения $11 \cdot k$, где $k$ – целое число, то оно кратно 11. В нашем случае $k=a$.

Следовательно, любое двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, всегда кратно 11, что и требовалось доказать.

Например:

• $44 = 10 \cdot 4 + 4 = 11 \cdot 4$. Число 44 кратно 11.
• $77 = 10 \cdot 7 + 7 = 11 \cdot 7$. Число 77 кратно 11.

Ответ: Любое двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами $a$, можно представить в виде $10a + a = 11a$. Поскольку это выражение является произведением числа 11 и целого числа $a$, оно всегда делится на 11, то есть кратно 11.