Номер 624, страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 22. Делители и кратные. Упражнения - номер 624, страница 145.

Условие.

624. Верно ли утверждение:

1) если число $a$ кратно 6, то оно кратно 3;

2) если число $a$ кратно 3, то оно кратно 6;

3) если число $a$ кратно числам 3 и 4, то оно кратно 12;

4) если число $a$ кратно числам 4 и 6, то оно кратно 24?

Ответ проиллюстрируйте примерами.

Решение.

Решение 2.

1) если число a кратно 6, то оно кратно 3;

Утверждение верно.
Если число $a$ кратно 6, то его можно представить в виде $a = 6 \cdot k$, где $k$ – целое число.
Поскольку $6 = 2 \cdot 3$, то мы можем переписать выражение для $a$ как $a = (2 \cdot 3) \cdot k = 3 \cdot (2k)$.
Так как $2k$ также является целым числом, то число $a$ делится на 3 без остатка, то есть кратно 3.
Пример: число 18 кратно 6 ($18 = 6 \cdot 3$). Это же число кратно 3 ($18 = 3 \cdot 6$). Другой пример: 42 кратно 6 ($42 = 6 \cdot 7$), и 42 кратно 3 ($42 = 3 \cdot 14$).
Ответ: утверждение верно.

2) если число a кратно 3, то оно кратно 6;

Утверждение неверно.
Если число $a$ кратно 3, это означает, что $a = 3 \cdot k$, где $k$ – целое число.
Чтобы число было кратно 6, оно должно быть кратно и 3, и 2 (так как $6 = 2 \cdot 3$). То есть, оно должно быть четным.
Однако не все числа, кратные 3, являются четными.
Пример (контрпример): число 9 кратно 3 ($9 = 3 \cdot 3$), но оно не кратно 6, так как при делении 9 на 6 получается остаток. Другой пример: 15 кратно 3 ($15 = 3 \cdot 5$), но не кратно 6.
Ответ: утверждение неверно.

3) если число a кратно числам 3 и 4, то оно кратно 12;

Утверждение верно.
Если число $a$ кратно одновременно числам 3 и 4, то оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).
Числа 3 и 4 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1).
Для взаимно простых чисел НОК равен их произведению: НОК(3, 4) = $3 \cdot 4 = 12$.
Следовательно, любое число, которое делится и на 3, и на 4, обязательно будет делиться и на 12.
Пример: число 24 кратно 3 ($24 = 3 \cdot 8$) и кратно 4 ($24 = 4 \cdot 6$). Это же число кратно 12 ($24 = 12 \cdot 2$). Другой пример: 36 кратно 3 ($36 = 3 \cdot 12$) и 4 ($36 = 4 \cdot 9$), и оно также кратно 12 ($36 = 12 \cdot 3$).
Ответ: утверждение верно.

4) если число a кратно числам 4 и 6, то оно кратно 24?

Утверждение неверно.
Если число $a$ кратно одновременно числам 4 и 6, то оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).
Найдем НОК для 4 и 6. Разложим числа на простые множители:
$4 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$
НОК(4, 6) = $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.
Таким образом, если число кратно 4 и 6, оно кратно 12, но не обязательно 24. Число 24 является одним из общих кратных, но не наименьшим.
Пример (контрпример): число 12 кратно 4 ($12 = 4 \cdot 3$) и кратно 6 ($12 = 6 \cdot 2$). Однако число 12 не кратно 24. Другой пример: 36 кратно 4 и 6, но не кратно 24.
Ответ: утверждение неверно.