Страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Буквой $n$ обозначили некоторое чётное число. Чётным или нечётным является число:

1) $n + 1$;

2) $n + 2$?

По определению, любое чётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Используем это свойство для анализа выражений.

1) n + 1;
Если $n$ — чётное число, то оно следует в числовом ряду непосредственно перед нечётным числом. Прибавление единицы к чётному числу всегда даёт следующее за ним нечётное число.
Алгебраически: пусть $n = 2k$. Тогда $n + 1 = 2k + 1$. Выражение $2k + 1$ является общей формулой для любого нечётного числа.
Например, если $n = 8$, то $n + 1 = 9$ (нечётное).
Ответ: нечётным.

2) n + 2?
Если к чётному числу прибавить другое чётное число (в данном случае 2), результат всегда будет чётным.
Алгебраически: пусть $n = 2k$. Тогда $n + 2 = 2k + 2$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(k + 1)$. Поскольку $k$ — целое число, то и $k + 1$ — целое число. Обозначим $m = k+1$. Выражение принимает вид $2m$, что является общей формулой для любого чётного числа.
Например, если $n = 8$, то $n + 2 = 10$ (чётное).
Ответ: чётным.

2. Какой цифрой оканчивается произведение:

1) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7;$

2) $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13?$

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается произведение, достаточно найти последнюю цифру произведения последних цифр всех множителей.

1) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7$

В данном произведении есть множители 2 и 5. Их произведение равно $2 \cdot 5 = 10$. При умножении любого целого числа на 10, результат будет оканчиваться на 0. Так как в данном выражении присутствует множитель 10 (в виде $2 \cdot 5$), то и всё произведение будет оканчиваться на 0.

Также можно проследить это пошагово, умножая последовательно последние цифры:

$1 \cdot 2 = 2$

$2 \cdot 3 = 6$

$6 \cdot 4 = 24$. Последняя цифра – 4.

$4 \cdot 5 = 20$. Последняя цифра – 0.

Поскольку на одном из шагов последняя цифра произведения стала равна 0, то при дальнейшем умножении она останется 0.

Ответ: 0

2) $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13$

В этом произведении все множители являются нечетными числами, и среди них есть число 5. При умножении числа 5 на любое нечетное число, результат всегда будет оканчиваться на 5 (например, $5 \cdot 1 = 5$, $5 \cdot 3 = 15$, $5 \cdot 7 = 35$ и т.д.).

Поскольку все множители в этом произведении нечетные, и один из них равен 5, то всё произведение будет оканчиваться на 5.

Проверим это пошаговым умножением последних цифр множителей (последние цифры чисел $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13$ это $1, 3, 5, 7, 9, 1, 3$):

$1 \cdot 3 = 3$

$3 \cdot 5 = 15$. Последняя цифра – 5.

$5 \cdot 7 = 35$. Последняя цифра – 5.

Как только последняя цифра промежуточного произведения стала равна 5, дальнейшее умножение на любое нечетное число будет сохранять эту последнюю цифру.

Ответ: 5

3. Сколько существует двузначных чисел, кратных числу:

1) 23;

2) 41?

1) 23

Чтобы найти количество двузначных чисел, кратных 23, нужно определить, сколько раз число 23 "помещается" в диапазоне двузначных чисел (от 10 до 99). Мы можем просто перечислить кратные, умножая 23 на последовательные натуральные числа, пока результат не выйдет за пределы 99.

$23 \cdot 1 = 23$ (двузначное)

$23 \cdot 2 = 46$ (двузначное)

$23 \cdot 3 = 69$ (двузначное)

$23 \cdot 4 = 92$ (двузначное)

$23 \cdot 5 = 115$ (трехзначное, не подходит)

Таким образом, существует 4 двузначных числа, кратных 23.

Ответ: 4

2) 41

Действуем аналогично для числа 41. Найдем все его кратные, которые являются двузначными числами.

$41 \cdot 1 = 41$ (двузначное)

$41 \cdot 2 = 82$ (двузначное)

$41 \cdot 3 = 123$ (трехзначное, не подходит)

Таким образом, существует 2 двузначных числа, кратных 41.

Ответ: 2

660. Какие из чисел 48, 53, 316, 2004, 7902 делятся нацело:

1) на 3;

2) на 9?

1) на 3

Чтобы определить, делится ли число нацело на 3, необходимо воспользоваться признаком делимости на 3. Согласно этому признаку, число делится на 3 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 3. Проверим каждое из данных чисел:

- Число 48. Сумма его цифр: $4 + 8 = 12$. Поскольку 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$), то и число 48 делится на 3.

- Число 53. Сумма его цифр: $5 + 3 = 8$. Поскольку 8 не делится на 3, то и число 53 не делится на 3.

- Число 316. Сумма его цифр: $3 + 1 + 6 = 10$. Поскольку 10 не делится на 3, то и число 316 не делится на 3.

- Число 2004. Сумма его цифр: $2 + 0 + 0 + 4 = 6$. Поскольку 6 делится на 3 ($6 \div 3 = 2$), то и число 2004 делится на 3.

- Число 7902. Сумма его цифр: $7 + 9 + 0 + 2 = 18$. Поскольку 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$), то и число 7902 делится на 3.

Итак, на 3 делятся числа 48, 2004 и 7902.

Ответ: 48, 2004, 7902.

2) на 9

Чтобы определить, делится ли число нацело на 9, воспользуемся признаком делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Проверим каждое число, используя суммы цифр, которые мы уже вычислили:

- Число 48. Сумма цифр равна 12. Поскольку 12 не делится на 9, то и число 48 не делится на 9.

- Число 53. Сумма цифр равна 8. Поскольку 8 не делится на 9, то и число 53 не делится на 9.

- Число 316. Сумма цифр равна 10. Поскольку 10 не делится на 9, то и число 316 не делится на 9.

- Число 2004. Сумма цифр равна 6. Поскольку 6 не делится на 9, то и число 2004 не делится на 9.

- Число 7902. Сумма цифр равна 18. Поскольку 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), то и число 7902 делится на 9.

Итак, из всех предложенных чисел на 9 делится только число 7902.

Ответ: 7902.

661. Заполните таблицу (поставьте в третьей строке знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «–» в ином случае).

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого числа найти сумму его цифр и проверить, делится ли эта сумма на 9 без остатка. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Если число кратно 9, ставим знак «+», в противном случае — «−».

7263
Найдём сумму цифр: $7 + 2 + 6 + 3 = 18$.
Сумма цифр (18) делится на 9 без остатка ($18 \div 9 = 2$), следовательно, число 7263 кратно 9.
Ответ: Сумма цифр: 18, Кратно 9: +.

4681
Найдём сумму цифр: $4 + 6 + 8 + 1 = 19$.
Сумма цифр (19) не делится на 9 без остатка, следовательно, число 4681 не кратно 9.
Ответ: Сумма цифр: 19, Кратно 9: −.

2743
Найдём сумму цифр: $2 + 7 + 4 + 3 = 16$.
Сумма цифр (16) не делится на 9 без остатка, следовательно, число 2743 не кратно 9.
Ответ: Сумма цифр: 16, Кратно 9: −.

6885
Найдём сумму цифр: $6 + 8 + 8 + 5 = 27$.
Сумма цифр (27) делится на 9 без остатка ($27 \div 9 = 3$), следовательно, число 6885 кратно 9.
Ответ: Сумма цифр: 27, Кратно 9: +.

7227
Найдём сумму цифр: $7 + 2 + 2 + 7 = 18$.
Сумма цифр (18) делится на 9 без остатка ($18 \div 9 = 2$), следовательно, число 7227 кратно 9.
Ответ: Сумма цифр: 18, Кратно 9: +.

6350
Найдём сумму цифр: $6 + 3 + 5 + 0 = 14$.
Сумма цифр (14) не делится на 9 без остатка, следовательно, число 6350 не кратно 9.
Ответ: Сумма цифр: 14, Кратно 9: −.

Итоговая заполненная таблица:

662. Заполните таблицу (поставьте в третьей строке знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «–» в ином случае).

Для заполнения таблицы воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.

Для числа 1356

Найдем сумму цифр: $1 + 3 + 5 + 6 = 15$.

Сумма цифр 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), следовательно, число 1356 кратно 3.

Ответ: Сумма цифр: 15; Кратно 3: +.

Для числа 4813

Найдем сумму цифр: $4 + 8 + 1 + 3 = 16$.

Сумма цифр 16 не делится на 3 без остатка, следовательно, число 4813 не кратно 3.

Ответ: Сумма цифр: 16; Кратно 3: -.

Для числа 9075

Найдем сумму цифр: $9 + 0 + 7 + 5 = 21$.

Сумма цифр 21 делится на 3 ($21 \div 3 = 7$), следовательно, число 9075 кратно 3.

Ответ: Сумма цифр: 21; Кратно 3: +.

Для числа 3272

Найдем сумму цифр: $3 + 2 + 7 + 2 = 14$.

Сумма цифр 14 не делится на 3 без остатка, следовательно, число 3272 не кратно 3.

Ответ: Сумма цифр: 14; Кратно 3: -.

Для числа 6390

Найдем сумму цифр: $6 + 3 + 9 + 0 = 18$.

Сумма цифр 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$), следовательно, число 6390 кратно 3.

Ответ: Сумма цифр: 18; Кратно 3: +.

Для числа 15 684

Найдем сумму цифр: $1 + 5 + 6 + 8 + 4 = 24$.

Сумма цифр 24 делится на 3 ($24 \div 3 = 8$), следовательно, число 15 684 кратно 3.

Ответ: Сумма цифр: 24; Кратно 3: +.

Заполненная таблица:

663. Какие из цифр 1, 3, 5, 7 надо поставить вместо звёздочки, чтобы число 42*5 было кратно 3?

Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Данное нам число — $42*5$. Найдём сумму его известных цифр:
$4 + 2 + 5 = 11$.

Чтобы число $42*5$ было кратно 3, сумма $11 + *$ должна быть кратна 3, где $*$ — это одна из предложенных цифр: 1, 3, 5, 7.

Проверим каждую из предложенных цифр:

1. Если подставить цифру 1, то сумма цифр будет $11 + 1 = 12$.
Число 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$), следовательно, цифра 1 подходит.

2. Если подставить цифру 3, то сумма цифр будет $11 + 3 = 14$.
Число 14 не делится на 3 без остатка, следовательно, цифра 3 не подходит.

3. Если подставить цифру 5, то сумма цифр будет $11 + 5 = 16$.
Число 16 не делится на 3 без остатка, следовательно, цифра 5 не подходит.

4. Если подставить цифру 7, то сумма цифр будет $11 + 7 = 18$.
Число 18 делится на 3 ($18 : 3 = 6$), следовательно, цифра 7 подходит.

Таким образом, вместо звёздочки можно поставить цифры 1 или 7.

Ответ: 1 и 7.

664. Какую из цифр 5, 8, 2, 1 надо поставить вместо звёздочки, чтобы число $56*5$ было кратно 9?

Для того чтобы число было кратно 9, необходимо, чтобы сумма его цифр была кратна 9.
Заданное число имеет вид $56*5$. Найдём сумму известных цифр:
$5 + 6 + 5 = 16$
Теперь подставим каждую из предложенных цифр (5, 8, 2, 1) на место звёздочки и проверим, будет ли итоговая сумма цифр делиться на 9.
1. Если подставить цифру 5: сумма будет $16 + 5 = 21$. Число 21 не делится на 9.
2. Если подставить цифру 8: сумма будет $16 + 8 = 24$. Число 24 не делится на 9.
3. Если подставить цифру 2: сумма будет $16 + 2 = 18$. Число 18 делится на 9 ($18 : 9 = 2$). Этот вариант подходит.
4. Если подставить цифру 1: сумма будет $16 + 1 = 17$. Число 17 не делится на 9.
Таким образом, единственная цифра из предложенных, при которой число $56*5$ будет кратно 9, это цифра 2.
Ответ: 2

665. Можно ли расставить поровну на $3$ полках:

1) $40$ книг;

2) $54$ книги;

3) $49$ книг?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить, делится ли указанное количество книг на 3 без остатка. Если число делится на 3 нацело, то книги можно расставить поровну. Для проверки можно использовать признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

1) 40 книг

Проверим, делится ли число 40 на 3. Найдем сумму цифр числа 40: $4 + 0 = 4$. Число 4 не делится на 3 без остатка. Также можно выполнить деление с остатком: $40 \div 3 = 13$ (остаток 1). Поскольку остается одна книга, которую нельзя разместить, расставить 40 книг поровну на 3 полках невозможно.
Ответ: нельзя.

2) 54 книги

Проверим, делится ли число 54 на 3. Найдем сумму цифр числа 54: $5 + 4 = 9$. Число 9 делится на 3 без остатка ($9 \div 3 = 3$), следовательно, и число 54 делится на 3. Чтобы узнать, сколько книг будет на каждой полке, разделим 54 на 3: $54 \div 3 = 18$. Таким образом, на каждую из трех полок можно поставить по 18 книг.
Ответ: можно.

3) 49 книг

Проверим, делится ли число 49 на 3. Найдем сумму цифр числа 49: $4 + 9 = 13$. Число 13 не делится на 3 без остатка. При делении с остатком получим: $49 \div 3 = 16$ (остаток 1). Так как есть остаток, расставить 49 книг поровну на 3 полках невозможно.
Ответ: нельзя.

666. Можно ли нагрузить поровну на 9 автомобилей: 1) 127 ящиков; 2) 225 ящиков?

Чтобы определить, можно ли нагрузить ящики поровну на 9 автомобилей, необходимо проверить, делится ли общее количество ящиков на 9 без остатка. Для этого можно использовать признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

1) 127 ящиков;
Проверим, делится ли число 127 на 9. Найдем сумму его цифр: $1 + 2 + 7 = 10$. Число 10 не делится на 9 нацело ($10 \div 9 = 1$ с остатком 1). Следовательно, и число 127 не делится на 9 без остатка. При делении 127 на 9 получится 14 и 1 в остатке ($127 = 9 \times 14 + 1$). Это значит, что если загрузить по 14 ящиков в каждый из 9 автомобилей, один ящик останется лишним. Таким образом, погрузить 127 ящиков поровну на 9 автомобилей невозможно.
Ответ: нельзя.

2) 225 ящиков?
Проверим, делится ли число 225 на 9. Найдем сумму его цифр: $2 + 2 + 5 = 9$. Число 9 делится на 9 нацело ($9 \div 9 = 1$). Следовательно, и число 225 делится на 9 без остатка. Найдем, сколько ящиков будет в каждом автомобиле: $225 \div 9 = 25$. Таким образом, можно погрузить по 25 ящиков в каждый из 9 автомобилей.
Ответ: можно.

667. Из чисел 8937, 6585, 37 828, 44 292, 9462, 58 395, 23 646 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 3;

2) на 9;

3) на 3 и на 2.

Для того чтобы выбрать нужные числа, воспользуемся признаками делимости. Сначала для каждого числа из списка найдем сумму его цифр и определим, является ли оно четным.

• 8937: сумма цифр $8+9+3+7=27$. Число нечетное.

• 6585: сумма цифр $6+5+8+5=24$. Число нечетное.

• 37 828: сумма цифр $3+7+8+2+8=28$. Число четное.

• 44 292: сумма цифр $4+4+2+9+2=21$. Число четное.

• 9462: сумма цифр $9+4+6+2=21$. Число четное.

• 58 395: сумма цифр $5+8+3+9+5=30$. Число нечетное.

• 23 646: сумма цифр $2+3+6+4+6=21$. Число четное.

1) на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Проверим суммы цифр:

• 27 делится на 3 ($27 : 3 = 9$), значит 8937 делится на 3.

• 24 делится на 3 ($24 : 3 = 8$), значит 6585 делится на 3.

• 28 не делится на 3.

• 21 делится на 3 ($21 : 3 = 7$), значит 44 292 делится на 3.

• 21 делится на 3 ($21 : 3 = 7$), значит 9462 делится на 3.

• 30 делится на 3 ($30 : 3 = 10$), значит 58 395 делится на 3.

• 21 делится на 3 ($21 : 3 = 7$), значит 23 646 делится на 3.

Ответ: 8937, 6585, 44 292, 9462, 58 395, 23 646.

2) на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Проверим суммы цифр, которые делятся на 3:

• 27 делится на 9 ($27 : 9 = 3$), значит 8937 делится на 9.

• 24 не делится на 9.

• 21 не делится на 9.

• 30 не делится на 9.

Ответ: 8937.

3) на 3 и на 2

Число делится на 3 и на 2, если оно одновременно делится на 3 и является четным (оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8). Выберем из чисел, делящихся на 3 (найденных в пункте 1), только четные:

• 8937 — нечетное.

• 6585 — нечетное.

• 44 292 — четное.

• 9462 — четное.

• 58 395 — нечетное.

• 23 646 — четное.

Ответ: 44 292, 9462, 23 646.