Страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

681. Запишите, используя по одному разу каждую из цифр 0, 1, 4, 7, наибольшее и наименьшее четырёхзначные числа, кратные 15.

Чтобы число было кратно 15, оно должно одновременно делиться на 3 и на 5. Используем признаки делимости для решения этой задачи.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.Найдем сумму данных нам цифр: 0, 1, 4, 7.$0 + 1 + 4 + 7 = 12$Сумма цифр равна 12, а 12 делится на 3. Следовательно, любое четырехзначное число, составленное из этих цифр, будет делиться на 3.

Признак делимости на 5: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.Из предложенных цифр {0, 1, 4, 7} нам подходит только 0. Значит, искомое число должно оканчиваться на 0.

Таким образом, нам нужно составить четырехзначные числа, у которых последняя цифра — 0, а первые три — это перестановки цифр 1, 4, 7.

Чтобы получить наибольшее число, нужно расположить оставшиеся цифры (1, 4, 7) в старших разрядах в порядке убывания. Самую большую цифру 7 ставим на первое место, следующую (4) — на второе, и наименьшую (1) — на третье. Последняя цифра — 0.Получаем число 7410.Проверка: $7410 \div 15 = 494$.

Ответ: 7410.

Чтобы получить наименьшее число, нужно расположить оставшиеся цифры (1, 4, 7) в старших разрядах в порядке возрастания. Самую маленькую цифру 1 ставим на первое место, следующую (4) — на второе, и наибольшую (7) — на третье. Последняя цифра — 0.Получаем число 1470.Проверка: $1470 \div 15 = 98$.

Ответ: 1470.

682. Папа Карло купил три одинаковых пакета сока и пачку масла за 45 сольдо, несколько одинаковых пачек печенья по 24 сольдо, шесть коробоков спичек. Может ли вся покупка стоить 260 сольдо?

Чтобы ответить на этот вопрос, составим математическое выражение для общей стоимости покупки.

Общая стоимость покупки складывается из:

• стоимости трёх пакетов сока и пачки масла: 45 сольдо;
• стоимости нескольких пачек печенья по 24 сольдо за каждую;
• стоимости шести коробков спичек.

Пусть $N$ – это количество купленных пачек печенья, а $M$ – это цена одного коробка спичек в сольдо. Поскольку $N$ – это количество пачек, а $M$ – это цена, они должны быть целыми положительными числами.

Тогда общая стоимость покупки ($C$) может быть выражена формулой: $C = 45 + 24 \times N + 6 \times M$

По условию задачи, мы должны проверить, может ли общая стоимость быть равной 260 сольдо. Подставим это значение в наше уравнение: $260 = 45 + 24 \times N + 6 \times M$

Теперь найдем, сколько денег было потрачено на печенье и спички вместе, вычтя из общей суммы стоимость сока и масла: $24 \times N + 6 \times M = 260 - 45$ $24 \times N + 6 \times M = 215$

Рассмотрим левую часть уравнения. Каждое слагаемое в выражении $24 \times N + 6 \times M$ делится на 6, так как $24$ делится на 6 и $6$ делится на 6. Это означает, что вся сумма должна быть кратна 6. Мы можем вынести общий множитель 6 за скобки: $6 \times (4 \times N + M) = 215$

Из этого уравнения следует, что число 215 должно делиться на 6 без остатка. Проверим это. Число делится на 6, если оно делится одновременно и на 2, и на 3.

• Число 215 является нечетным (оканчивается на 5), поэтому оно не делится на 2.
• Сумма цифр числа 215 равна $2 + 1 + 5 = 8$. Так как 8 не делится на 3, то и 215 не делится на 3.

Поскольку число 215 не делится на 6, мы приходим к противоречию. Левая часть уравнения, $6 \times (4 \times N + M)$, всегда будет делиться на 6, а правая часть, 215, — нет. Следовательно, не существует таких целых чисел $N$ и $M$, которые удовлетворяли бы этому уравнению.

Ответ: нет, вся покупка не может стоить 260 сольдо.

683. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки $A(1)$, $B(7)$, $C(3)$, $D(9)$. На этом же луче отметьте точки, которые удалены от точки $B$:

1) на три единичных отрезка;

2) на восемь единичных отрезков.

Найдите координаты этих точек.

Сначала начертим координатный луч, который начинается в точке O с координатой 0. Отметим на нем заданные точки: A(1), C(3), B(7) и D(9).

Для нахождения точек, удаленных от точки B(7) на определенное расстояние, нужно рассмотреть два направления: вправо (увеличение координаты) и влево (уменьшение координаты) от точки B.

1) Найдем точки, удаленные от точки B(7) на три единичных отрезка.

Первая точка находится на 3 единичных отрезка правее точки B. Ее координата равна сумме координаты точки B и расстояния: $7 + 3 = 10$.

Вторая точка находится на 3 единичных отрезка левее точки B. Ее координата равна разности координаты точки B и расстояния: $7 - 3 = 4$.

Обе точки с координатами 4 и 10 являются неотрицательными, поэтому они лежат на координатном луче.

Ответ: 4 и 10.

2) Найдем точки, удаленные от точки B(7) на восемь единичных отрезков.

Первая точка находится на 8 единичных отрезков правее точки B. Ее координата: $7 + 8 = 15$.

Вторая возможная точка находится на 8 единичных отрезков левее точки B. Ее координата: $7 - 8 = -1$.

Координатный луч содержит только неотрицательные числа (координаты больше или равны нулю). Поэтому точка с координатой -1 не лежит на этом луче. Следовательно, решением является только одна точка.

Ответ: 15.

684. В магазине есть лимоны, апельсины и мандарины, всего 740 кг. Если бы продали 55 кг лимонов, 36 кг апельсинов и 34 кг мандаринов, то оставшиеся массы лимонов, апельсинов и мандаринов оказались бы равными. Сколько килограммов фруктов каждого вида есть в магазине?

Пусть $x$ кг — это масса каждого вида фруктов, которая осталась бы после продажи. Тогда, согласно условию, изначальные массы фруктов в магазине можно выразить следующим образом:

Изначальная масса лимонов: $(x + 55)$ кг.

Изначальная масса апельсинов: $(x + 36)$ кг.

Изначальная масса мандаринов: $(x + 34)$ кг.

Общая масса всех фруктов в магазине составляет 740 кг. Составим уравнение, сложив изначальные массы всех фруктов, и решим его:

$(x + 55) + (x + 36) + (x + 34) = 740$

$3x + (55 + 36 + 34) = 740$

$3x + 125 = 740$

$3x = 740 - 125$

$3x = 615$

$x = 615 \div 3$

$x = 205$

Итак, после продажи осталось бы по 205 кг каждого вида фруктов. Теперь найдем изначальную массу каждого вида, подставив найденное значение $x$ в выражения для изначальных масс.

Лимоны: $205 + 55 = 260$ кг.

Апельсины: $205 + 36 = 241$ кг.

Мандарины: $205 + 34 = 239$ кг.

Для проверки сложим полученные массы: $260 + 241 + 239 = 740$ кг, что соответствует общему весу фруктов по условию задачи.

Ответ: в магазине было 260 кг лимонов, 241 кг апельсинов и 239 кг мандаринов.

685. Вычислите:

1) $5330 : 65 - (192 - 84) : 6;$

2) $6290 : 85 + (53000 - 48184) : 56.$

1) $5330 : 65 – (192 – 84) : 6$

Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем деление и умножение (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

1. Первым действием выполним вычитание в скобках:
$192 - 84 = 108$

2. Теперь выполним первое деление:
$5330 : 65 = 82$

3. Выполним второе деление:
$108 : 6 = 18$

4. Последним действием выполним вычитание результатов:
$82 - 18 = 64$

Таким образом, выражение равно:
$5330 : 65 – (192 – 84) : 6 = 82 - 108 : 6 = 82 - 18 = 64$

Ответ: 64

2) $6290 : 85 + (53 000 – 48 184) : 56$

Решим пример, соблюдая правильный порядок выполнения математических операций.

1. Сначала выполним действие в скобках (вычитание):
$53 000 - 48 184 = 4816$

2. Далее выполним первое деление:
$6290 : 85 = 74$

3. Теперь выполним второе деление:
$4816 : 56 = 86$

4. Последним шагом выполним сложение полученных результатов:
$74 + 86 = 160$

Полная последовательность вычислений выглядит так:
$6290 : 85 + (53 000 – 48 184) : 56 = 74 + 4816 : 56 = 74 + 86 = 160$

Ответ: 160

686. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?

Для ответа на этот вопрос, проанализируем структуру турнира и условие чередования игр.

Всего в чемпионате участвует $N=16$ команд. Каждая команда должна сыграть с каждой другой командой ровно один раз. Это означает, что каждая команда проведет $N-1 = 16-1 = 15$ игр. Поскольку в каждом туре каждая команда играет по одной игре, всего в чемпионате будет 15 туров.

Предположим, что можно составить расписание так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе (дома) и на стадионе соперника (в гостях).

Разобьем все 16 команд на две группы в зависимости от того, где они играют в первом туре:

• Группа A: 8 команд, которые играют дома в 1-м туре.
• Группа B: 8 команд, которые играют в гостях в 1-м туре.

Согласно условию чередования, во 2-м туре все команды из группы A должны играть в гостях, а все команды из группы B — дома. В 3-м туре команды из группы A снова будут играть дома, а из группы B — в гостях, и так далее.

Таким образом, для любого тура $k$ получаем:

• Если номер тура $k$ — нечётный (1, 3, 5, ..., 15), то команды группы A играют дома, а команды группы B — в гостях.
• Если номер тура $k$ — чётный (2, 4, 6, ..., 14), то команды группы A играют в гостях, а команды группы B — дома.

В каждом матче одна команда является хозяином (играет дома), а другая — гостем (играет в гостях). Из нашего разделения следует, что в любом туре (неважно, чётном или нечётном) одна команда будет из группы A, а другая — из группы B. Это означает, что на протяжении всего чемпионата команды из группы A могут играть только с командами из группы B.

Это приводит к противоречию. По условию, все команды должны сыграть между собой. Это значит, что любая команда из группы A должна сыграть не только с 8 командами из группы B, но и с остальными 7 командами из своей собственной группы A. Однако, как мы показали, при строгом чередовании "дом-гости" две команды из одной и той же группы (A или B) никогда не смогут встретиться, так как в любом туре они обе будут либо хозяевами, либо гостями.

Следовательно, составить такое расписание невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.