Номер 686, страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 24. Признаки делимости на 9 и на 3. Упражнения - номер 686, страница 154.

Условие.

686. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?

Решение.

Решение 2.

Для ответа на этот вопрос, проанализируем структуру турнира и условие чередования игр.

Всего в чемпионате участвует $N=16$ команд. Каждая команда должна сыграть с каждой другой командой ровно один раз. Это означает, что каждая команда проведет $N-1 = 16-1 = 15$ игр. Поскольку в каждом туре каждая команда играет по одной игре, всего в чемпионате будет 15 туров.

Предположим, что можно составить расписание так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе (дома) и на стадионе соперника (в гостях).

Разобьем все 16 команд на две группы в зависимости от того, где они играют в первом туре:

• Группа A: 8 команд, которые играют дома в 1-м туре.
• Группа B: 8 команд, которые играют в гостях в 1-м туре.

Согласно условию чередования, во 2-м туре все команды из группы A должны играть в гостях, а все команды из группы B — дома. В 3-м туре команды из группы A снова будут играть дома, а из группы B — в гостях, и так далее.

Таким образом, для любого тура $k$ получаем:

• Если номер тура $k$ — нечётный (1, 3, 5, ..., 15), то команды группы A играют дома, а команды группы B — в гостях.
• Если номер тура $k$ — чётный (2, 4, 6, ..., 14), то команды группы A играют в гостях, а команды группы B — дома.

В каждом матче одна команда является хозяином (играет дома), а другая — гостем (играет в гостях). Из нашего разделения следует, что в любом туре (неважно, чётном или нечётном) одна команда будет из группы A, а другая — из группы B. Это означает, что на протяжении всего чемпионата команды из группы A могут играть только с командами из группы B.

Это приводит к противоречию. По условию, все команды должны сыграть между собой. Это значит, что любая команда из группы A должна сыграть не только с 8 командами из группы B, но и с остальными 7 командами из своей собственной группы A. Однако, как мы показали, при строгом чередовании "дом-гости" две команды из одной и той же группы (A или B) никогда не смогут встретиться, так как в любом туре они обе будут либо хозяевами, либо гостями.

Следовательно, составить такое расписание невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.