Номер 6, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 25. Простые и составные числа. Вопросы - номер 6, страница 155.

Условие.

6. Любое ли составное число можно разложить на простые множители?

Решение.

Решение 2.

Да, любое составное число можно разложить на простые множители. Это утверждение является прямым следствием основной теоремы арифметики.

Основная теорема арифметики гласит, что любое натуральное число больше единицы ($n > 1$) либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Вспомним определения:
• Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: единицу и самого себя (например, 2, 3, 5, 7, 11).
• Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет другие делители, кроме единицы и самого себя (например, 4, 6, 9, 10, 12).

Поскольку составное число по определению больше 1 и не является простым, то, согласно теореме, оно должно быть представимо в виде произведения простых множителей.

Примеры разложения составных чисел на простые множители:

1. Число 18.
$18 = 2 \cdot 9$
Здесь 2 — простое число, а 9 — составное. Раскладываем 9 дальше:
$9 = 3 \cdot 3$
Таким образом, разложение числа 18 на простые множители выглядит так: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

2. Число 100.
$100 = 10 \cdot 10$
Число 10 — составное. Раскладываем его:
$10 = 2 \cdot 5$
Подставляем в исходное выражение: $100 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2$.

Этот процесс гарантированно можно применить к любому составному числу.

Ответ: Да, любое составное число можно разложить на простые множители, и такое разложение единственно (с точностью до порядка множителей).