Номер 3, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 25. Простые и составные числа. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 3, страница 155.

3. Почему число $1$ не относят ни к простым, ни к составным числам?

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам по двум ключевым причинам, которые связаны с математическими определениями и фундаментальными теоремами.

Во-первых, это следует из определений простого и составного числа. Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Например, число 5 является простым, так как его делители — это 1 и 5. Составное число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет более двух делителей. Например, число 9 является составным, так как у него три делителя: 1, 3 и 9. Если мы применим эти определения к числу 1, то увидим, что у него есть только один натуральный делитель — само число 1. Таким образом, оно не удовлетворяет ни определению простого числа (нужно два делителя), ни определению составного (нужно больше двух делителей).

Во-вторых, и это более важная причина, исключение единицы из простых и составных чисел необходимо для корректной работы основной теоремы арифметики. Эта теорема утверждает, что любое натуральное число больше 1 либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых множителей, причем такое представление является единственным (с точностью до порядка множителей). Например, разложение числа 12 на простые множители выглядит как $12 = 2 \times 2 \times 3$. Это разложение уникально. Если бы мы признали число 1 простым, то уникальность была бы нарушена. Число 12 можно было бы записать бесконечным количеством способов: $12 = 1 \times 2 \times 2 \times 3$, или $12 = 1 \times 1 \times 2 \times 2 \times 3$, и так далее. Чтобы сохранить этот фундаментальный для теории чисел принцип единственности разложения, математики договорились не считать 1 простым числом.

Таким образом, все натуральные числа принято делить на три различные категории: число 1 (имеет один делитель), простые числа (имеют ровно два делителя) и составные числа (имеют более двух делителей).

Ответ: Число 1 не является ни простым, ни составным, так как оно имеет только один делитель, что не соответствует определению ни простого числа (которому требуется ровно два делителя), ни составного (которому требуется более двух делителей). Это также необходимо для сохранения единственности разложения чисел на простые множители в основной теореме арифметики.