Страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое натуральное число называют простым?

1. Простое число — это натуральное число (целое положительное число), которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Рассмотрим несколько примеров:

• Число 7 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на 7.
• Число 11 является простым, так как его делители — это только 1 и 11.
• Число 4 не является простым, так как у него три делителя: 1, 2 и 4. Такие числа, у которых больше двух делителей, называют составными.
• Число 1 не является ни простым, ни составным, так как у него только один делитель — оно само.

Таким образом, все натуральные числа, кроме 1, делятся на простые и составные.

Ответ: Натуральное число называют простым, если оно больше 1 и делится без остатка только на 1 и на само себя.

2. Какое натуральное число называют составным?

Составным называют натуральное число, которое имеет более двух различных натуральных делителей. Иначе говоря, это натуральное число, большее единицы, которое можно представить в виде произведения двух меньших натуральных чисел.

Все натуральные числа (целые положительные числа $1, 2, 3, ...$) по количеству делителей делятся на три категории:

• Число 1. У него только один делитель — само число 1. Оно не является ни простым, ни составным.

• Простые числа. У них ровно два натуральных делителя: 1 и само число. Например, 2, 3, 5, 7, 11. Число 7 делится без остатка только на 1 и на 7.

• Составные числа. У них больше двух натуральных делителей. То есть, помимо 1 и самого себя, у них есть как минимум ещё один делитель. Например, число 12. Его делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Их шесть, что больше двух, поэтому 12 — составное число.

Формально, натуральное число $n > 1$ является составным, если существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, что $n = a \cdot b$, причём $1 < a < n$ и $1 < b < n$.

Примеры составных чисел:

• 4, так как $4 = 2 \cdot 2$. Делители: 1, 2, 4.

• 6, так как $6 = 2 \cdot 3$. Делители: 1, 2, 3, 6.

• 9, так как $9 = 3 \cdot 3$. Делители: 1, 3, 9.

• 10, так как $10 = 2 \cdot 5$. Делители: 1, 2, 5, 10.

• 15, так как $15 = 3 \cdot 5$. Делители: 1, 3, 5, 15.

Ответ: Составным называют натуральное число, которое больше 1 и имеет делители, отличные от 1 и самого себя.

3. Почему число $1$ не относят ни к простым, ни к составным числам?

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам по двум ключевым причинам, которые связаны с математическими определениями и фундаментальными теоремами.

Во-первых, это следует из определений простого и составного числа. Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Например, число 5 является простым, так как его делители — это 1 и 5. Составное число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет более двух делителей. Например, число 9 является составным, так как у него три делителя: 1, 3 и 9. Если мы применим эти определения к числу 1, то увидим, что у него есть только один натуральный делитель — само число 1. Таким образом, оно не удовлетворяет ни определению простого числа (нужно два делителя), ни определению составного (нужно больше двух делителей).

Во-вторых, и это более важная причина, исключение единицы из простых и составных чисел необходимо для корректной работы основной теоремы арифметики. Эта теорема утверждает, что любое натуральное число больше 1 либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых множителей, причем такое представление является единственным (с точностью до порядка множителей). Например, разложение числа 12 на простые множители выглядит как $12 = 2 \times 2 \times 3$. Это разложение уникально. Если бы мы признали число 1 простым, то уникальность была бы нарушена. Число 12 можно было бы записать бесконечным количеством способов: $12 = 1 \times 2 \times 2 \times 3$, или $12 = 1 \times 1 \times 2 \times 2 \times 3$, и так далее. Чтобы сохранить этот фундаментальный для теории чисел принцип единственности разложения, математики договорились не считать 1 простым числом.

Таким образом, все натуральные числа принято делить на три различные категории: число 1 (имеет один делитель), простые числа (имеют ровно два делителя) и составные числа (имеют более двух делителей).

Ответ: Число 1 не является ни простым, ни составным, так как оно имеет только один делитель, что не соответствует определению ни простого числа (которому требуется ровно два делителя), ни составного (которому требуется более двух делителей). Это также необходимо для сохранения единственности разложения чисел на простые множители в основной теореме арифметики.

4. Существует ли чётное простое число?

Да, такое число существует.

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к определениям.

Простое число — это натуральное число больше $1$, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Например, $3$, $5$, $7$, $11$.

Чётное число — это целое число, которое делится на $2$ без остатка. Например, $2$, $4$, $6$, $8$.

Теперь рассмотрим число $2$.

1. Является ли оно чётным? Да, так как $2 \div 2 = 1$. Оно делится на $2$ без остатка.

2. Является ли оно простым? Да. Его делителями являются только $1$ и само число $2$. У него ровно два делителя, что соответствует определению простого числа.

Следовательно, число $2$ является одновременно и чётным, и простым.

Стоит отметить, что это единственное чётное простое число. Любое другое чётное число, большее двух (например, $4, 6, 8, \dots$), по определению делится на $2$. Это значит, что у него уже есть как минимум три делителя: $1$, $2$ и само это число. Число, имеющее более двух делителей, является составным, а не простым.

Ответ: Да, существует. Это число $2$.

5. Назовите наименьшее простое число.

Простое число — это натуральное число (целое положительное число), которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Чтобы найти наименьшее простое число, рассмотрим натуральные числа по порядку:

• 1 — не является простым числом, так как по определению простое число должно быть больше 1. Кроме того, у него только один делитель.
• 2 — это число больше 1. Оно делится без остатка только на 1 и на 2. Следовательно, у него ровно два делителя, и оно является простым числом.

Поскольку мы начали проверку с наименьших натуральных чисел, и 2 — это первое число, которое соответствует определению простого числа, то оно и является наименьшим простым числом.

Ответ: 2

6. Любое ли составное число можно разложить на простые множители?

Да, любое составное число можно разложить на простые множители. Это утверждение является прямым следствием основной теоремы арифметики.

Основная теорема арифметики гласит, что любое натуральное число больше единицы ($n > 1$) либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Вспомним определения:
• Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: единицу и самого себя (например, 2, 3, 5, 7, 11).
• Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет другие делители, кроме единицы и самого себя (например, 4, 6, 9, 10, 12).

Поскольку составное число по определению больше 1 и не является простым, то, согласно теореме, оно должно быть представимо в виде произведения простых множителей.

Примеры разложения составных чисел на простые множители:

1. Число 18.
$18 = 2 \cdot 9$
Здесь 2 — простое число, а 9 — составное. Раскладываем 9 дальше:
$9 = 3 \cdot 3$
Таким образом, разложение числа 18 на простые множители выглядит так: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

2. Число 100.
$100 = 10 \cdot 10$
Число 10 — составное. Раскладываем его:
$10 = 2 \cdot 5$
Подставляем в исходное выражение: $100 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2$.

Этот процесс гарантированно можно применить к любому составному числу.

Ответ: Да, любое составное число можно разложить на простые множители, и такое разложение единственно (с точностью до порядка множителей).