Страница 150 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

646. Найдите все значения x, кратные числу 5, при которых верно неравенство:

1) $38 < x < 75$;

2) $3720 < x < 3754$.

1) $38 < x < 75$

Требуется найти все числа $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: они находятся в интервале от 38 до 75 (не включая границы) и делятся на 5 без остатка (кратны 5).

Числа, кратные 5, оканчиваются на 0 или 5.

Первое целое число, которое больше 38 и оканчивается на 0 или 5, — это 40.

Последнее целое число, которое меньше 75 и оканчивается на 0 или 5, — это 70.

Теперь перечислим все числа от 40 до 70 с шагом 5:

40, 45, 50, 55, 60, 65, 70.

Ответ: 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70.

2) $3720 < x < 3754$

Ищем все числа $x$, которые строго больше 3720, строго меньше 3754 и кратны 5.

Найдем первое число, кратное 5, которое строго больше 3720. Само число 3720 кратно 5, но неравенство строгое ($3720 < x$), поэтому мы должны взять следующее кратное 5 число. Это $3720 + 5 = 3725$.

Найдем последнее число, кратное 5, которое строго меньше 3754. Ближайшее меньшее число, оканчивающееся на 0 или 5, — это 3750.

Перечислим все числа от 3725 до 3750 с шагом 5:

3725, 3730, 3735, 3740, 3745, 3750.

Ответ: 3725, 3730, 3735, 3740, 3745, 3750.

647. Найдите все значения x, кратные числу 10, при которых верно неравенство:

1) $279 < x < 320$;

2) $1465 < x < 1510$.

1) Нам нужно найти все целые числа $x$ в интервале $(279; 320)$, которые делятся на 10 без остатка. Числа, кратные 10, всегда оканчиваются на 0. Найдем первое такое число, которое больше 279. Ближайшее число, оканчивающееся на 0 и большее 279, — это 280. Проверим, подходит ли оно под условие $x < 320$: $280 < 320$, что верно. Теперь будем последовательно прибавлять 10, пока не выйдем за пределы интервала.

• $280 + 10 = 290$. $290 < 320$ (верно).
• $290 + 10 = 300$. $300 < 320$ (верно).
• $300 + 10 = 310$. $310 < 320$ (верно).
• $310 + 10 = 320$. Неравенство $320 < 320$ неверно, так как оно строгое.

Таким образом, искомые значения $x$ — это 280, 290, 300 и 310.

Ответ: 280, 290, 300, 310.

2) Нам нужно найти все целые числа $x$ в интервале $(1465; 1510)$, которые кратны 10. Такие числа должны оканчиваться на 0. Первое число, которое больше 1465 и оканчивается на 0, — это 1470. Проверим его по условию $x < 1510$: $1470 < 1510$, что верно. Будем прибавлять по 10, чтобы найти остальные значения.

• $1470 + 10 = 1480$. $1480 < 1510$ (верно).
• $1480 + 10 = 1490$. $1490 < 1510$ (верно).
• $1490 + 10 = 1500$. $1500 < 1510$ (верно).
• $1500 + 10 = 1510$. Неравенство $1510 < 1510$ неверно.

Таким образом, подходящие значения $x$ — это 1470, 1480, 1490 и 1500.

Ответ: 1470, 1480, 1490, 1500.

648. Запишите все четырёхзначные числа, кратные числу 5, для записи которых используют цифры 0, 3, 5, 7 (цифры не могут повторяться).

Для того чтобы найти все четырехзначные числа, кратные 5, составленные из цифр 0, 3, 5, 7 без повторений, необходимо учесть следующие условия:

1. Число является четырехзначным, следовательно, первая цифра (разряд тысяч) не может быть 0.
2. Число кратно 5, значит, его последняя цифра должна быть 0 или 5.
3. Цифры в записи числа не повторяются, поэтому каждая из цифр {0, 3, 5, 7} используется ровно один раз.

Рассмотрим два случая, основанных на последней цифре числа.

Случай 1: Последняя цифра — 0.

Если число оканчивается на 0, то для первых трех позиций остаются цифры {3, 5, 7}. Так как 0 уже использован, первая цифра гарантированно не будет нулем. Количество способов расставить три разные цифры по трем позициям равно числу перестановок $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Вот эти числа:

• 3570
• 3750
• 5370
• 5730
• 7350
• 7530

Случай 2: Последняя цифра — 5.

Если число оканчивается на 5, то для первых трех позиций остаются цифры {0, 3, 7}. На первой позиции не может стоять 0, поэтому для нее есть 2 варианта: 3 или 7. Для второй позиции также есть 2 варианта (одна из оставшихся двух цифр, включая 0). Для третьей позиции остается 1 вариант. Общее число комбинаций: $2 \times 2 \times 1 = 4$. Найдем эти числа:

• Если первая цифра 3, то из {0, 7} составляем середину числа: 3075, 3705.
• Если первая цифра 7, то из {0, 3} составляем середину числа: 7035, 7305.

Объединяем все найденные числа из обоих случаев и записываем их в порядке возрастания.

Ответ: 3075, 3570, 3705, 3750, 5370, 5730, 7035, 7305, 7350, 7530.

649. Запишите все трёхзначные числа, делящиеся нацело на 5, для записи которых используют цифры 0, 5, 7 (цифры могут повторяться).

Для решения этой задачи необходимо найти все трёхзначные числа, которые удовлетворяют следующим условиям:

• Число является трёхзначным.
• Число делится нацело на 5.
• В записи числа используются только цифры 0, 5, 7 (цифры могут повторяться).

Рассмотрим, какие цифры могут стоять на каждой из трёх позиций (сотни, десятки, единицы) в искомом числе.

Первая цифра (сотни):
Так как число трёхзначное, оно не может начинаться с нуля. Из доступных цифр {0, 5, 7} для первой позиции подходят только 5 и 7. Следовательно, у нас есть 2 варианта для цифры сотен.

Третья цифра (единицы):
Согласно признаку делимости на 5, число должно оканчиваться на 0 или 5. Обе эти цифры присутствуют в заданном наборе {0, 5, 7}. Таким образом, для последней цифры есть 2 варианта.

Вторая цифра (десятки):
Для второй цифры нет никаких дополнительных ограничений, кроме того, что она должна быть из заданного набора. Значит, на месте десятков может стоять любая из трёх цифр: 0, 5 или 7. Это даёт нам 3 варианта.

Общее количество таких чисел можно найти, перемножив количество вариантов для каждой позиции: $2 \text{ (сотни)} \times 3 \text{ (десятки)} \times 2 \text{ (единицы)} = 12$ чисел.

Теперь систематически перечислим все возможные комбинации.

1. Числа, оканчивающиеся на 0:

• Если первая цифра 5: 500, 550, 570.
• Если первая цифра 7: 700, 750, 770.

2. Числа, оканчивающиеся на 5:

• Если первая цифра 5: 505, 555, 575.
• Если первая цифра 7: 705, 755, 775.

Объединяя оба списка, получаем все искомые числа.

Ответ: 500, 505, 550, 555, 570, 575, 700, 705, 750, 755, 770, 775.

650. Запишите наибольшее:

1) четырёхзначное число, кратное 2;

2) пятизначное число, кратное 5;

3) шестизначное число, кратное 10.

Цифры в записи числа не могут повторяться.

1) четырёхзначное число, кратное 2

Чтобы найти наибольшее число, нужно, чтобы его старшие разряды (тысячи, сотни, десятки) содержали наибольшие возможные цифры. Важным условием является то, что все цифры в числе должны быть различны.

Искомое число — четырёхзначное. Для того чтобы оно было максимальным, цифра в разряде тысяч должна быть наибольшей из возможных, то есть 9.

Цифра в разряде сотен должна быть следующей по величине из оставшихся цифр. Так как 9 уже использована, берём 8.

Аналогично, цифра в разряде десятков должна быть следующей по убыванию, то есть 7.

На данный момент мы использовали цифры 9, 8, 7. Запись числа выглядит как 987_.

Число должно быть кратно 2. Согласно признаку делимости на 2, число должно быть чётным, то есть оканчиваться на чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8). Цифра 8 уже использована. Из оставшихся неиспользованных цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} нужно выбрать наибольшую чётную. Это цифра 6.

Таким образом, последняя цифра числа — 6. Искомое число — 9876. Оно удовлетворяет всем условиям: четырёхзначное, все его цифры различны, и оно кратно 2.

Ответ: 9876.

2) пятизначное число, кратное 5

Нужно найти наибольшее пятизначное число с неповторяющимися цифрами, которое делится на 5.

Признак делимости на 5 гласит, что число должно оканчиваться на 0 или 5. Чтобы получить наибольшее число, мы должны максимизировать цифры в старших разрядах, то есть располагать наибольшие доступные цифры слева направо. Рассмотрим оба варианта для последней цифры.

Случай 1: Число оканчивается на 0.
Последняя цифра — 0. Тогда для первых четырёх разрядов мы должны выбрать четыре самые большие цифры из оставшихся {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и расположить их в порядке убывания. Это будут 9, 8, 7, 6. Получаем число 98760.

Случай 2: Число оканчивается на 5.
Последняя цифра — 5. Тогда для первых четырёх разрядов мы должны выбрать четыре самые большие цифры из оставшихся {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} и расположить их в порядке убывания. Это будут 9, 8, 7, 6. Получаем число 98765.

Сравнивая числа, полученные в двух случаях, видим, что $98765 > 98760$.

Следовательно, наибольшее возможное число — 98765. Оно пятизначное, все цифры в нём различны, и оно кратно 5.

Ответ: 98765.

3) шестизначное число, кратное 10

Нужно найти наибольшее шестизначное число с неповторяющимися цифрами, которое делится на 10.

Согласно признаку делимости на 10, число должно оканчиваться на 0. Это значит, что последняя цифра искомого числа уже определена — это 0.

Оставшиеся пять цифр должны быть выбраны из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Чтобы составить наибольшее возможное число, нужно взять пять самых больших цифр из этого набора и расположить их в порядке убывания в старших разрядах.

Пять самых больших доступных цифр — это 9, 8, 7, 6 и 5.

Располагаем их по убыванию, а в конец ставим 0. Получаем число 987650.

Это число шестизначное, все его цифры (9, 8, 7, 6, 5, 0) различны, и оно кратно 10.

Ответ: 987650.

651. 1) Запишите шесть первых натуральных чисел, кратных 100. Обратите внимание на две последние цифры этих чисел. Сформулируйте признак делимости на 100.

2) Запишите восемь первых натуральных чисел, кратных 25. Обратите внимание на две последние цифры этих чисел. Сформулируйте признак делимости на 25.

1)

Натуральные числа, кратные 100, — это числа, которые делятся на 100 без остатка. Чтобы найти шесть первых таких чисел, мы умножаем 100 на первые шесть натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6):
$100 \cdot 1 = 100$
$100 \cdot 2 = 200$
$100 \cdot 3 = 300$
$100 \cdot 4 = 400$
$100 \cdot 5 = 500$
$100 \cdot 6 = 600$
Таким образом, первые шесть натуральных чисел, кратных 100, это 100, 200, 300, 400, 500, 600.

Рассмотрим две последние цифры этих чисел:

• 100
• 200
• 300
• 400
• 500
• 600

У каждого из этих чисел две последние цифры — нули.

Из этого наблюдения можно сформулировать признак делимости на 100: натуральное число делится на 100 тогда и только тогда, когда две его последние цифры — нули.

Ответ: Первые шесть натуральных чисел, кратных 100: 100, 200, 300, 400, 500, 600. Признак делимости на 100: натуральное число делится на 100 без остатка, если его запись оканчивается двумя нулями (00).

2)

Натуральные числа, кратные 25, — это числа, которые делятся на 25 без остатка. Чтобы найти восемь первых таких чисел, мы умножаем 25 на первые восемь натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8):
$25 \cdot 1 = 25$
$25 \cdot 2 = 50$
$25 \cdot 3 = 75$
$25 \cdot 4 = 100$
$25 \cdot 5 = 125$
$25 \cdot 6 = 150$
$25 \cdot 7 = 175$
$25 \cdot 8 = 200$
Таким образом, первые восемь натуральных чисел, кратных 25, это 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200.

Рассмотрим две последние цифры этих чисел:

• 25
• 50
• 75
• 100
• 125
• 150
• 175
• 200

Две последние цифры этих чисел образуют последовательность: 25, 50, 75, 00, 25, 50, 75, 00. Все эти комбинации (00, 25, 50, 75) соответствуют числам, которые делятся на 25.

Из этого наблюдения можно сформулировать признак делимости на 25: натуральное число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25. Это означает, что запись числа должна оканчиваться на 00, 25, 50 или 75.

Ответ: Первые восемь натуральных чисел, кратных 25: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200. Признак делимости на 25: натуральное число делится на 25 без остатка, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 25 (то есть число оканчивается на 00, 25, 50 или 75).

652. Найдите наибольшее двузначное число $x$, при котором значение выражения $x - 32$ делится нацело на 5.

По условию задачи, выражение $x - 32$ должно делиться нацело на 5. Число делится на 5 без остатка в том случае, если его последняя цифра — 0 или 5. Следовательно, результат вычитания $x - 32$ должен быть числом, которое оканчивается на 0 или 5.

Рассмотрим два возможных случая для последней цифры числа $x$:

1. Чтобы разность $x - 32$ оканчивалась на 0, последняя цифра числа $x$ должна быть 2. Например, если $x=42$, то $42 - 32 = 10$. Мы ищем наибольшее двузначное число, оканчивающееся на 2. Это число 92.

2. Чтобы разность $x - 32$ оканчивалась на 5, последняя цифра числа $x$ должна быть 7. Например, если $x=47$, то $47 - 32 = 15$. Мы ищем наибольшее двузначное число, оканчивающееся на 7. Это число 97.

Мы получили два возможных кандидата: 92 и 97. По условию, нам нужно найти наибольшее из таких чисел. Сравнивая 92 и 97, мы видим, что 97 больше.

Проверим найденное значение: если $x = 97$, то $x - 32 = 97 - 32 = 65$. Число 65 делится на 5 нацело ($65 / 5 = 13$), и 97 является наибольшим таким двузначным числом.

Ответ: 97

653. Найдите наименьшее трёхзначное число $y$, при котором значение выражения $327 + y$ является числом, кратным 10.

По условию задачи, значение выражения $327 + y$ должно быть кратным 10. Число является кратным 10, если его запись оканчивается на цифру 0.

Рассмотрим сумму $327 + y$. Последняя цифра слагаемого 327 равна 7. Чтобы сумма оканчивалась на 0, последняя цифра слагаемого $y$ должна быть такой, чтобы при сложении с 7 получилось число, оканчивающееся на 0. Такой цифрой является 3, так как $7 + 3 = 10$.

Следовательно, искомое число $y$ должно оканчиваться на 3.

Также в условии сказано, что $y$ — это наименьшее трёхзначное число. Наименьшее трёхзначное число — это 100. Нам нужно найти наименьшее трёхзначное число, которое оканчивается на 3. Перебирая числа, начиная со 100, мы находим, что таким числом является 103.

Проверим: $327 + 103 = 430$. Число 430 оканчивается на 0, следовательно, оно кратно 10. Число 103 является наименьшим трёхзначным числом, удовлетворяющим условию.

Ответ: 103

654. Может ли число, в записи которого все цифры равны 1, делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны 2?

Пусть $A$ — это число, в записи которого все цифры равны 1. Независимо от количества цифр в этом числе, его последняя цифра — 1, следовательно, число $A$ является нечётным.

Пусть $B$ — это число, в записи которого все цифры равны 2. Независимо от количества цифр в этом числе, его последняя цифра — 2, следовательно, число $B$ является чётным.

Предположим, что число $A$ делится нацело на число $B$. Это означает, что существует такое целое число $k$, что выполняется равенство: $A = k \cdot B$

Рассмотрим это равенство с точки зрения чётности. Левая часть равенства, число $A$, является нечётным. Правая часть равенства, произведение $k \cdot B$, является произведением целого числа $k$ на чётное число $B$. Произведение любого целого числа на чётное число всегда даёт в результате чётное число.

Таким образом, мы приходим к противоречию: нечётное число ($A$) должно равняться чётному числу ($k \cdot B$), что невозможно.

Следовательно, наше исходное предположение неверно. Число, в записи которого все цифры равны 1, не может делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны 2.

Ответ: нет, не может.

655. Может ли число, в записи которого все цифры равны 2, делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны:

1) 1;

2) 5?

1) Да, может.
Обозначим число, в записи которого $n$ цифр 2, как $A_n$, а число, в записи которого $m$ цифр 1, как $B_m$.
Число $A_n$ можно представить в виде произведения: $A_n = \underbrace{22...2}_{n} = 2 \cdot \underbrace{11...1}_{n} = 2 \cdot B_n$.
Вопрос состоит в том, может ли число $A_n$ делиться нацело на число $B_m$. Это эквивалентно вопросу, может ли частное $\frac{A_n}{B_m} = \frac{2 \cdot B_n}{B_m}$ быть целым числом.
Это выражение будет целым числом, если $B_n$ делится на $B_m$. Существует свойство, согласно которому число, состоящее из $n$ единиц, делится на число, состоящее из $m$ единиц, тогда и только тогда, когда $n$ кратно $m$.
Следовательно, мы можем выбрать любые натуральные числа $n$ и $m$ так, чтобы $n$ было кратно $m$. Например, пусть $m=3$ (число 111), а $n=6$ (число 222222). Поскольку $6$ делится на $3$, то $A_6$ должно делиться на $B_3$.
Проверим: $222222 \div 111 = 2002$.
Другой простой пример: $22 \div 11 = 2$.
Ответ: Да, может.

2) Нет, не может.
Обозначим число, состоящее из $n$ двоек, как $A_n = \underbrace{22...2}_{n}$, а число, состоящее из $k$ пятерок, как $C_k = \underbrace{55...5}_{k}$.
Чтобы число $A_n$ делилось нацело на $C_k$, оно должно делиться на все простые делители числа $C_k$.
Любое число, запись которого состоит только из цифр 5 (например: 5, 55, 555), оканчивается на 5. Согласно признаку делимости на 5, такое число всегда делится на 5.
Следовательно, если $A_n$ делится на $C_k$, то $A_n$ также должно делиться на 5.
Однако любое число, состоящее только из цифр 2 (например: 2, 22, 222), оканчивается на 2. Число делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.
Поскольку последняя цифра числа $A_n$ всегда 2, оно не может делиться на 5.
Таким образом, число, в записи которого все цифры равны 2, не может делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны 5.
Ответ: Нет, не может.

656. Миша купил 6 одинаковых блокнотов и получил 56 р. сдачи. Для покупки 9 таких блокнотов ему не хватило 16 р. Сколько рублей стоит один блокнот?

Для решения задачи введем переменную.

Пусть $x$ – стоимость одного блокнота в рублях.

Сумму денег, которая была у Миши, можно выразить двумя способами на основе условий задачи.

1. Когда Миша купил 6 блокнотов, он потратил $6x$ рублей и у него осталось 56 рублей сдачи. Следовательно, изначально у него было $6x + 56$ рублей.

2. Для покупки 9 блокнотов, которые стоят $9x$ рублей, ему не хватило 16 рублей. Это значит, что у него было $9x - 16$ рублей.

Так как количество денег у Миши было одним и тем же, мы можем приравнять эти два выражения:

$6x + 56 = 9x - 16$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения – в другую.

$56 + 16 = 9x - 6x$

$72 = 3x$

Найдем $x$:

$x = \frac{72}{3}$

$x = 24$

Таким образом, стоимость одного блокнота составляет 24 рубля.

Проверка:

1. Найдем, сколько денег было у Миши, используя первое условие: $6 \cdot 24 + 56 = 144 + 56 = 200$ рублей.

2. Проверим второе условие: стоимость 9 блокнотов составляет $9 \cdot 24 = 216$ рублей.

3. У Миши было 200 рублей, значит, ему не хватило $216 - 200 = 16$ рублей.

Результаты проверки соответствуют условиям задачи, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 24 рубля.

657. Два насоса одновременно выкачивали воду из бассейна. Один насос за минуту выкачивал 200 л воды, а второй — 140 л. Сколько времени работали насосы и сколько литров воды выкачал каждый из них, если первый насос выкачал на 240 л больше, чем второй?

Для решения задачи сначала определим разницу в производительности двух насосов. Это покажет, на сколько литров больше воды первый насос выкачивает за одну минуту по сравнению со вторым.

1. Находим разницу в производительности:

$200 \text{ л/мин} - 140 \text{ л/мин} = 60 \text{ л/мин}$

Это значит, что каждую минуту работы первый насос выкачивает на 60 литров воды больше, чем второй.

Сколько времени работали насосы

2. По условию задачи, первый насос выкачал на 240 литров воды больше, чем второй. Зная, что разница в 60 литров накапливается каждую минуту, мы можем найти общее время работы насосов. Для этого нужно общую разницу в объеме разделить на разницу в производительности за минуту:

$\frac{240 \text{ л}}{60 \text{ л/мин}} = 4 \text{ мин}$

Ответ: Насосы работали 4 минуты.

Сколько литров воды выкачал каждый из них

3. Теперь, зная время работы (4 минуты), можно вычислить общий объем воды, который выкачал каждый насос. Для этого производительность каждого насоса умножим на время его работы.

Объем воды, выкачанный первым насосом:

$200 \text{ л/мин} \times 4 \text{ мин} = 800 \text{ л}$

Объем воды, выкачанный вторым насосом:

$140 \text{ л/мин} \times 4 \text{ мин} = 560 \text{ л}$

Для проверки можно найти разницу между объемами, которые выкачали насосы: $800 \text{ л} - 560 \text{ л} = 240 \text{ л}$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: Первый насос выкачал 800 литров воды, а второй насос выкачал 560 литров воды.