Номер 655, страница 150 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 655, страница 150.

655. Может ли число, в записи которого все цифры равны 2, делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны:

1) 1;

2) 5?

1) Да, может.
Обозначим число, в записи которого $n$ цифр 2, как $A_n$, а число, в записи которого $m$ цифр 1, как $B_m$.
Число $A_n$ можно представить в виде произведения: $A_n = \underbrace{22...2}_{n} = 2 \cdot \underbrace{11...1}_{n} = 2 \cdot B_n$.
Вопрос состоит в том, может ли число $A_n$ делиться нацело на число $B_m$. Это эквивалентно вопросу, может ли частное $\frac{A_n}{B_m} = \frac{2 \cdot B_n}{B_m}$ быть целым числом.
Это выражение будет целым числом, если $B_n$ делится на $B_m$. Существует свойство, согласно которому число, состоящее из $n$ единиц, делится на число, состоящее из $m$ единиц, тогда и только тогда, когда $n$ кратно $m$.
Следовательно, мы можем выбрать любые натуральные числа $n$ и $m$ так, чтобы $n$ было кратно $m$. Например, пусть $m=3$ (число 111), а $n=6$ (число 222222). Поскольку $6$ делится на $3$, то $A_6$ должно делиться на $B_3$.
Проверим: $222222 \div 111 = 2002$.
Другой простой пример: $22 \div 11 = 2$.
Ответ: Да, может.

2) Нет, не может.
Обозначим число, состоящее из $n$ двоек, как $A_n = \underbrace{22...2}_{n}$, а число, состоящее из $k$ пятерок, как $C_k = \underbrace{55...5}_{k}$.
Чтобы число $A_n$ делилось нацело на $C_k$, оно должно делиться на все простые делители числа $C_k$.
Любое число, запись которого состоит только из цифр 5 (например: 5, 55, 555), оканчивается на 5. Согласно признаку делимости на 5, такое число всегда делится на 5.
Следовательно, если $A_n$ делится на $C_k$, то $A_n$ также должно делиться на 5.
Однако любое число, состоящее только из цифр 2 (например: 2, 22, 222), оканчивается на 2. Число делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.
Поскольку последняя цифра числа $A_n$ всегда 2, оно не может делиться на 5.
Таким образом, число, в записи которого все цифры равны 2, не может делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны 5.
Ответ: Нет, не может.