Номер 648, страница 150 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 648, страница 150.

648. Запишите все четырёхзначные числа, кратные числу 5, для записи которых используют цифры 0, 3, 5, 7 (цифры не могут повторяться).

Для того чтобы найти все четырехзначные числа, кратные 5, составленные из цифр 0, 3, 5, 7 без повторений, необходимо учесть следующие условия:

1. Число является четырехзначным, следовательно, первая цифра (разряд тысяч) не может быть 0.
2. Число кратно 5, значит, его последняя цифра должна быть 0 или 5.
3. Цифры в записи числа не повторяются, поэтому каждая из цифр {0, 3, 5, 7} используется ровно один раз.

Рассмотрим два случая, основанных на последней цифре числа.

Случай 1: Последняя цифра — 0.

Если число оканчивается на 0, то для первых трех позиций остаются цифры {3, 5, 7}. Так как 0 уже использован, первая цифра гарантированно не будет нулем. Количество способов расставить три разные цифры по трем позициям равно числу перестановок $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Вот эти числа:

• 3570
• 3750
• 5370
• 5730
• 7350
• 7530

Случай 2: Последняя цифра — 5.

Если число оканчивается на 5, то для первых трех позиций остаются цифры {0, 3, 7}. На первой позиции не может стоять 0, поэтому для нее есть 2 варианта: 3 или 7. Для второй позиции также есть 2 варианта (одна из оставшихся двух цифр, включая 0). Для третьей позиции остается 1 вариант. Общее число комбинаций: $2 \times 2 \times 1 = 4$. Найдем эти числа:

• Если первая цифра 3, то из {0, 7} составляем середину числа: 3075, 3705.
• Если первая цифра 7, то из {0, 3} составляем середину числа: 7035, 7305.

Объединяем все найденные числа из обоих случаев и записываем их в порядке возрастания.

Ответ: 3075, 3570, 3705, 3750, 5370, 5730, 7035, 7305, 7350, 7530.