Номер 643, страница 149 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 643, страница 149.

643. Число $c$ равно произведению натуральных чисел $a$ и $b$. Заполните таблицу.

Число $a$ Число $b$ Число $c$

чётное нечётное

чётное чётное

нечётное нечётное

нечётное нечётное чётное

нечётное нечётное нечётное

Для решения этой задачи воспользуемся правилами умножения чётных и нечётных чисел. Напомним, что число $c$ является произведением чисел $a$ и $b$ ($c = a \times b$).

• Произведение двух чётных чисел всегда чётно: чётное × чётное = чётное.
• Произведение чётного и нечётного числа всегда чётно: чётное × нечётное = чётное.
• Произведение двух нечётных чисел всегда нечётно: нечётное × нечётное = нечётно.

Из этих правил следует, что произведение будет чётным, если хотя бы один из множителей чётный. Произведение будет нечётным только в том случае, если оба множителя нечётные.

Заполним таблицу, применяя эти правила к каждой строке.

Число a: чётное, Число b: нечётное

В этом случае один из множителей ($a$) является чётным. Согласно правилам, произведение чётного числа на любое другое натуральное число всегда будет чётным.
Математически: пусть $a = 2k$ (чётное), а $b = 2m+1$ (нечётное), где $k$ и $m$ — целые числа.
Тогда $c = a \times b = 2k \times (2m+1) = 4km + 2k = 2(2km+k)$.
Поскольку $c$ является произведением 2 и целого числа, оно является чётным.
Ответ: чётное.

Число a: чётное, Число b: чётное

Оба множителя, $a$ и $b$, являются чётными. Произведение двух чётных чисел всегда является чётным.
Математически: пусть $a = 2k$ и $b = 2m$, где $k$ и $m$ — целые числа.
Тогда $c = a \times b = (2k) \times (2m) = 4km = 2(2km)$.
Результат $c$ делится на 2, следовательно, он чётный.
Ответ: чётное.

Число a: нечётное, Число b: нечётное

Оба множителя, $a$ и $b$, являются нечётными. Произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным.
Математически: пусть $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ — целые числа.
Тогда $c = a \times b = (2k+1)(2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km+k+m) + 1$.
Результат $c$ имеет вид $2n+1$, где $n=2km+k+m$, что является определением нечётного числа.
Ответ: нечётное.

Число a: нечётное, Число c: чётное

Известно, что произведение $c=a \times b$ является чётным, а один из множителей ($a$) — нечётным.
Произведение может быть чётным только в том случае, если хотя бы один из множителей чётный.
Поскольку мы знаем, что $a$ — нечётное, то для получения чётного произведения $c$ множитель $b$ обязательно должен быть чётным.
Если бы $b$ было нечётным, то произведение (нечётное × нечётное) было бы нечётным, что противоречит условию.
Ответ: чётное.

Число b: нечётное, Число c: нечётное

Известно, что произведение $c=a \times b$ является нечётным, и один из множителей ($b$) также нечётный.
Произведение является нечётным тогда и только тогда, когда оба множителя нечётные.
Поскольку нам дано, что множитель $b$ и произведение $c$ нечётны, второй множитель $a$ также должен быть нечётным.
Если бы $a$ было чётным, то произведение (чётное × нечётное) было бы чётным, что противоречит условию.
Ответ: нечётное.