Страница 149 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

638. Купили несколько наборов фломастеров, по 5 штук в каждом. Могли ли купить:

1) 30 фломастеров;

2) 24 фломастера;

3) 45 фломастеров?

По условию задачи, фломастеры продаются в наборах по 5 штук в каждом. Это означает, что общее количество купленных фломастеров должно быть кратно 5, то есть делиться на 5 без остатка. Число делится на 5 без остатка, если оно оканчивается на 0 или 5. Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) 30 фломастеров

Чтобы узнать, можно ли купить 30 фломастеров, нужно проверить, делится ли число 30 на 5 нацело. $30 \div 5 = 6$ Поскольку в результате деления мы получаем целое число (6), это означает, что можно купить ровно 6 наборов.

Ответ: да, могли.

2) 24 фломастера

Проверим, делится ли число 24 на 5 без остатка. $24 \div 5 = 4.8$ Результат не является целым числом, так как $4 \cdot 5 = 20$, а $5 \cdot 5 = 25$. Купить 4.8 набора невозможно.

Ответ: нет, не могли.

3) 45 фломастеров

Проверим, делится ли число 45 на 5 нацело. $45 \div 5 = 9$ Результат — целое число (9), значит, можно было купить ровно 9 наборов.

Ответ: да, могли.

639. Какие из чисел 68, 395, 760, 943, 1270, 2625, 9042, 7121, 1734:

1) не делятся нацело на 2;

2) кратны 10;

3) делятся нацело на 5, но не делятся нацело на 10?

Для решения задачи проанализируем данный ряд чисел: 68, 395, 760, 943, 1270, 2625, 9042, 7121, 1734, используя признаки делимости.

1) не делятся нацело на 2;

Признак делимости на 2 гласит, что число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра является четной. То есть, последняя цифра $d \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$. Соответственно, числа, которые не делятся нацело на 2, должны оканчиваться на нечетную цифру, то есть $d \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$. Из данного списка чисел выберем те, которые оканчиваются на нечетную цифру: 395 (оканчивается на 5), 943 (оканчивается на 3), 2625 (оканчивается на 5) и 7121 (оканчивается на 1).

Ответ: 395, 943, 2625, 7121.

2) кратны 10;

Признак делимости на 10: число кратно 10 (делится на 10 без остатка), если его запись оканчивается на цифру 0. В исходном ряду чисел найдем те, что оканчиваются на 0. Это числа 760 и 1270.

Ответ: 760, 1270.

3) делятся нацело на 5, но не делятся нацело на 10?

Для выполнения этого условия необходимо применить два признака делимости. Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра 0. Нам нужно найти числа, которые делятся на 5, но при этом не делятся на 10. Это означает, что их последняя цифра должна быть 5, но не 0. В данном ряду найдем числа, оканчивающиеся на 5: это 395 и 2625.

Ответ: 395, 2625.

640. Из чисел 34, 467, 435, 860, 648, 5465, 8216, 2405, 1020, 246 370 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 2;

2) на 5;

3) на 10.

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел делятся на 2, 5 и 10, необходимо применить признаки делимости для каждого случая. Исходный ряд чисел: 34, 467, 435, 860, 648, 5465, 8216, 2405, 1020, 246 370.

641. Назовите:

1) два чётных числа, которые не кратны 5;

2) два чётных числа, которые кратны 5;

3) два нечётных числа, которые не кратны 5;

4) два нечётных числа, которые кратны 5.

1) два чётных числа, которые не кратны 5;

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Признаком чётного числа является его окончание на одну из цифр: 0, 2, 4, 6, 8.
Число, не кратное 5, — это число, которое не делится на 5 без остатка. Такие числа не оканчиваются на 0 или 5.
Чтобы найти число, удовлетворяющее обоим условиям, нужно выбрать чётное число, которое не оканчивается на 0. Таким образом, искомые числа должны оканчиваться на 2, 4, 6 или 8.
Примеры: 8 и 22.
Проверка: 8 — чётное ($8/2 = 4$), не оканчивается на 0 или 5, значит не кратно 5. 22 — чётное ($22/2 = 11$), не оканчивается на 0 или 5, значит не кратно 5.
Ответ: 8 и 22.

2) два чётных числа, которые кратны 5;

Искомые числа должны быть одновременно чётными (оканчиваться на 0, 2, 4, 6, 8) и кратными 5 (оканчиваться на 0 или 5).
Единственная цифра, которая удовлетворяет обоим условиям, — это 0. Следовательно, любое число, являющееся одновременно чётным и кратным 5, должно оканчиваться на 0.
Примеры: 20 и 50.
Проверка: 20 оканчивается на 0, значит оно чётное ($20/2 = 10$) и кратно 5 ($20/5 = 4$). 50 оканчивается на 0, значит оно чётное ($50/2 = 25$) и кратно 5 ($50/5 = 10$).
Ответ: 20 и 50.

3) два нечётных числа, которые не кратны 5;

Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2 без остатка. Оно оканчивается на 1, 3, 5, 7 или 9.
Число, не кратное 5, не оканчивается на 0 или 5.
Чтобы число удовлетворяло обоим условиям, оно должно быть нечётным и не оканчиваться на 5. Таким образом, искомые числа должны оканчиваться на 1, 3, 7 или 9.
Примеры: 11 и 23.
Проверка: 11 — нечётное ($11/2 = 5.5$), не оканчивается на 0 или 5, значит не кратно 5. 23 — нечётное ($23/2 = 11.5$), не оканчивается на 0 или 5, значит не кратно 5.
Ответ: 11 и 23.

4) два нечётных числа, которые кратны 5.

Искомые числа должны быть одновременно нечётными (оканчиваться на 1, 3, 5, 7, 9) и кратными 5 (оканчиваться на 0 или 5).
Единственная цифра, которая удовлетворяет обоим условиям, — это 5. Следовательно, любое число, являющееся одновременно нечётным и кратным 5, должно оканчиваться на 5.
Примеры: 15 и 45.
Проверка: 15 оканчивается на 5, значит оно нечётное ($15/2 = 7.5$) и кратно 5 ($15/5 = 3$). 45 оканчивается на 5, значит оно нечётное ($45/2 = 22.5$) и кратно 5 ($45/5 = 9$).
Ответ: 15 и 45.

642. Верно ли утверждение:

1) сумма двух чётных чисел является чётным числом;

2) сумма двух нечётных чисел является нечётным числом;

3) сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом;

4) если сумма двух чисел является чётным числом, то и слагаемые — чётные числа;

5) произведение двух чётных чисел является чётным числом;

6) произведение двух нечётных чисел является нечётным числом;

7) произведение чётного и нечётного чисел является нечётным числом?

1) сумма двух чётных чисел является чётным числом;
Да, это утверждение верно. Чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число. Пусть у нас есть два чётных числа: $a = 2n$ и $b = 2m$, где $n$ и $m$ — целые числа. Их сумма равна $a + b = 2n + 2m = 2(n + m)$. Поскольку сумма двух целых чисел $(n + m)$ также является целым числом, то результат $2(n + m)$ является чётным числом. Например, $4 + 8 = 12$.
Ответ: Верно.

2) сумма двух нечётных чисел является нечётным числом;
Нет, это утверждение неверно. Нечётное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — целое число. Пусть у нас есть два нечётных числа: $a = 2n + 1$ и $b = 2m + 1$. Их сумма равна $a + b = (2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2(n + m + 1)$. Поскольку $(n + m + 1)$ является целым числом, то результат $2(n + m + 1)$ является чётным числом, а не нечётным. Например, $3 + 5 = 8$.
Ответ: Неверно.

3) сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом;
Да, это утверждение верно. Пусть чётное число равно $a = 2n$, а нечётное — $b = 2m + 1$. Их сумма равна $a + b = 2n + (2m + 1) = 2(n + m) + 1$. Это выражение по определению является нечётным числом. Например, $4 + 7 = 11$.
Ответ: Верно.

4) если сумма двух чисел является чётным числом, то и слагаемые — чётные числа;
Нет, это утверждение неверно. Сумма двух чисел может быть чётной в двух случаях: когда оба слагаемых чётные (пункт 1) или когда оба слагаемых нечётные (пункт 2). Утверждение не учитывает второй случай. В качестве контрпримера можно привести сумму двух нечётных чисел: $3 + 7 = 10$. Сумма $10$ — чётное число, но слагаемые $3$ и $7$ — нечётные.
Ответ: Неверно.

5) произведение двух чётных чисел является чётным числом;
Да, это утверждение верно. Пусть у нас есть два чётных числа: $a = 2n$ и $b = 2m$. Их произведение равно $a \cdot b = (2n) \cdot (2m) = 4nm = 2(2nm)$. Поскольку $2nm$ — целое число, результат является чётным числом. Например, $2 \cdot 6 = 12$.
Ответ: Верно.

6) произведение двух нечётных чисел является нечётным числом;
Да, это утверждение верно. Пусть у нас есть два нечётных числа: $a = 2n + 1$ и $b = 2m + 1$. Их произведение равно $a \cdot b = (2n + 1)(2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = 2(2nm + n + m) + 1$. Это выражение по определению является нечётным числом. Например, $3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: Верно.

7) произведение чётного и нечётного чисел является нечётным числом?
Нет, это утверждение неверно. Пусть чётное число равно $a = 2n$, а нечётное — $b = 2m + 1$. Их произведение равно $a \cdot b = (2n)(2m + 1) = 4nm + 2n = 2(2nm + n)$. Поскольку $2nm + n$ — целое число, результат является чётным числом, а не нечётным. Например, $4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: Неверно.

643. Число $c$ равно произведению натуральных чисел $a$ и $b$. Заполните таблицу.

Число $a$ Число $b$ Число $c$

чётное нечётное

чётное чётное

нечётное нечётное

нечётное нечётное чётное

нечётное нечётное нечётное

Для решения этой задачи воспользуемся правилами умножения чётных и нечётных чисел. Напомним, что число $c$ является произведением чисел $a$ и $b$ ($c = a \times b$).

• Произведение двух чётных чисел всегда чётно: чётное × чётное = чётное.
• Произведение чётного и нечётного числа всегда чётно: чётное × нечётное = чётное.
• Произведение двух нечётных чисел всегда нечётно: нечётное × нечётное = нечётно.

Из этих правил следует, что произведение будет чётным, если хотя бы один из множителей чётный. Произведение будет нечётным только в том случае, если оба множителя нечётные.

Заполним таблицу, применяя эти правила к каждой строке.

В этом случае один из множителей ($a$) является чётным. Согласно правилам, произведение чётного числа на любое другое натуральное число всегда будет чётным.
Математически: пусть $a = 2k$ (чётное), а $b = 2m+1$ (нечётное), где $k$ и $m$ — целые числа.
Тогда $c = a \times b = 2k \times (2m+1) = 4km + 2k = 2(2km+k)$.
Поскольку $c$ является произведением 2 и целого числа, оно является чётным.
Ответ: чётное.

Оба множителя, $a$ и $b$, являются чётными. Произведение двух чётных чисел всегда является чётным.
Математически: пусть $a = 2k$ и $b = 2m$, где $k$ и $m$ — целые числа.
Тогда $c = a \times b = (2k) \times (2m) = 4km = 2(2km)$.
Результат $c$ делится на 2, следовательно, он чётный.
Ответ: чётное.

Оба множителя, $a$ и $b$, являются нечётными. Произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным.
Математически: пусть $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ — целые числа.
Тогда $c = a \times b = (2k+1)(2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km+k+m) + 1$.
Результат $c$ имеет вид $2n+1$, где $n=2km+k+m$, что является определением нечётного числа.
Ответ: нечётное.

Известно, что произведение $c=a \times b$ является чётным, а один из множителей ($a$) — нечётным.
Произведение может быть чётным только в том случае, если хотя бы один из множителей чётный.
Поскольку мы знаем, что $a$ — нечётное, то для получения чётного произведения $c$ множитель $b$ обязательно должен быть чётным.
Если бы $b$ было нечётным, то произведение (нечётное × нечётное) было бы нечётным, что противоречит условию.
Ответ: чётное.

Известно, что произведение $c=a \times b$ является нечётным, и один из множителей ($b$) также нечётный.
Произведение является нечётным тогда и только тогда, когда оба множителя нечётные.
Поскольку нам дано, что множитель $b$ и произведение $c$ нечётны, второй множитель $a$ также должен быть нечётным.
Если бы $a$ было чётным, то произведение (чётное × нечётное) было бы чётным, что противоречит условию.
Ответ: нечётное.

644. Запишите все нечётные значения x, при которых верно неравенство:

1) $273 < x < 290$;

2) $2725 < x < 2737$.

1)

Требуется найти все нечётные значения $x$, для которых верно неравенство $273 < x < 290$.

Это означает, что $x$ должен быть целым числом, которое больше 273 и меньше 290. Кроме того, $x$ должен быть нечётным.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289.

Нечётные числа — это числа, которые оканчиваются на 1, 3, 5, 7 или 9. Выберем из списка такие числа:
275, 277, 279, 281, 283, 285, 287, 289.

Ответ: 275, 277, 279, 281, 283, 285, 287, 289.

2)

Требуется найти все нечётные значения $x$, для которых верно неравенство $2725 < x < 2737$.

Это означает, что $x$ должен быть целым числом, которое больше 2725 и меньше 2737. Кроме того, $x$ должен быть нечётным.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: 2726, 2727, 2728, 2729, 2730, 2731, 2732, 2733, 2734, 2735, 2736.

Выберем из этого списка нечётные числа:
2727, 2729, 2731, 2733, 2735.

Ответ: 2727, 2729, 2731, 2733, 2735.

645. Запишите все чётные значения x, при которых верно неравенство:

1) $134 < x < 160$;

2) $489 < x < 502$.

1) Рассматривается неравенство $134 < x < 160$.

Необходимо найти все чётные целые числа $x$, которые больше 134, но меньше 160.

Первое целое число, следующее за 134, это 135. Оно нечётное.

Следующее за ним число, 136, является чётным. Это первое подходящее значение для $x$.

Последнее целое число перед 160, это 159. Оно нечётное.

Предшествующее ему число, 158, является чётным. Это последнее подходящее значение для $x$.

Таким образом, нам нужно перечислить все чётные числа от 136 до 158 включительно:

136, 138, 140, 142, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158.

Ответ: 136, 138, 140, 142, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158.

2) Рассматривается неравенство $489 < x < 502$.

Необходимо найти все чётные целые числа $x$, которые больше 489, но меньше 502.

Первое целое число, следующее за 489, это 490. Оно чётное, следовательно, это первое искомое значение $x$.

Последнее целое число перед 502, это 501. Оно нечётное.

Предшествующее ему число, 500, является чётным. Это последнее искомое значение $x$.

Таким образом, нам нужно перечислить все чётные числа от 490 до 500 включительно:

490, 492, 494, 496, 498, 500.

Ответ: 490, 492, 494, 496, 498, 500.