Страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

658. Выполните действия:

1) $(69 \cdot 63 - 10098 : 54 - 1950) : 34;$

2) $98 \cdot 38 - 1320 : 55 - 185.$

1)

Для решения данного примера необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках (умножение и деление, а затем вычитание), и в последнюю очередь — деление за скобками.

1. Первым действием выполним умножение в скобках:
$69 \cdot 63 = 4347$

2. Вторым действием выполним деление в скобках:
$10098 : 54 = 187$

3. Третьим действием выполним вычитание в скобках слева направо:
$4347 - 187 = 4160$

4. Четвертым действием закончим вычисления в скобках:
$4160 - 1950 = 2210$

5. Последним, пятым действием, выполним деление результата, полученного в скобках, на 34:
$2210 : 34 = 65$

Таким образом, значение выражения $(69 \cdot 63 - 10098 : 54 - 1950) : 34$ равно 65.

Ответ: 65

2)

В этом примере действия выполняются в следующем порядке: сначала умножение и деление (слева направо), а затем вычитание (слева направо), так как скобок нет.

1. Первым действием выполним умножение:
$98 \cdot 38 = 3724$

2. Вторым действием выполним деление:
$1320 : 55 = 24$

3. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычитание слева направо:
$3724 - 24 = 3700$

4. Четвертым действием выполним последнее вычитание:
$3700 - 185 = 3515$

Таким образом, значение выражения $98 \cdot 38 - 1320 : 55 - 185$ равно 3515.

Ответ: 3515

Задача от мудрой совы

659. В клетках таблицы размером $3 \times 3$ стоят нули. Разрешается выбрать любой квадрат размером $2 \times 2$ клетки и увеличить числа во всех его клетках на единицу. Можно ли после нескольких таких операций получить таблицу, изображённую на рисунке 165?

Рис. 165

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяются числа в ячейках таблицы при выполнении разрешенной операции.

Пусть исходная таблица $A_0$ состоит из нулей:$A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

В таблице размером $3 \times 3$ можно выделить четыре различных квадрата размером $2 \times 2$:

• Левый верхний (ЛВ)
• Правый верхний (ПВ)
• Левый нижний (ЛН)
• Правый нижний (ПН)

Пусть мы выполнили операцию увеличения чисел на единицу $k_{ЛВ}$ раз для левого верхнего квадрата, $k_{ПВ}$ раз для правого верхнего, $k_{ЛН}$ раз для левого нижнего и $k_{ПН}$ раз для правого нижнего квадрата. Числа $k_{ЛВ}, k_{ПВ}, k_{ЛН}, k_{ПН}$ должны быть целыми и неотрицательными.

Давайте посмотрим, как значение в каждой ячейке итоговой таблицы зависит от количества выполненных операций. Обозначим ячейки таблицы как $a_{ij}$, где $i$ — номер строки, а $j$ — номер столбца.

$a_{11}$ (левый верхний угол) — входит только в квадрат ЛВ. Значит, $a_{11} = k_{ЛВ}$.
$a_{13}$ (правый верхний угол) — входит только в квадрат ПВ. Значит, $a_{13} = k_{ПВ}$.
$a_{31}$ (левый нижний угол) — входит только в квадрат ЛН. Значит, $a_{31} = k_{ЛН}$.
$a_{33}$ (правый нижний угол) — входит только в квадрат ПН. Значит, $a_{33} = k_{ПН}$.
$a_{22}$ (центральная ячейка) — входит во все четыре квадрата $2 \times 2$. Значит, $a_{22} = k_{ЛВ} + k_{ПВ} + k_{ЛН} + k_{ПН}$.

Из этих равенств мы можем заметить важное свойство, которому должна удовлетворять любая таблица, полученная таким способом: значение в центральной ячейке должно быть равно сумме значений в угловых ячейках.

$a_{22} = a_{11} + a_{13} + a_{31} + a_{33}$

Теперь проверим, выполняется ли это условие для таблицы, изображенной на рисунке 165.

$A_{цель} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 \\ 7 & 18 & 9 \\ 6 & 10 & 7 \end{pmatrix}$

В этой таблице:

• Значение в левом верхнем углу: $a_{11} = 4$
• Значение в правом верхнем углу: $a_{13} = 5$
• Значение в левом нижнем углу: $a_{31} = 6$
• Значение в правом нижнем углу: $a_{33} = 7$
• Значение в центре: $a_{22} = 18$

Найдем сумму значений в угловых ячейках:

$S_{углов} = a_{11} + a_{13} + a_{31} + a_{33} = 4 + 5 + 6 + 7 = 22$

Сравним эту сумму со значением в центральной ячейке:

$S_{углов} = 22$, а $a_{22} = 18$.

Поскольку $22 \neq 18$, необходимое условие не выполняется. Следовательно, получить данную таблицу из таблицы с нулями с помощью указанных операций невозможно.

Ответ:Нет, такую таблицу получить нельзя.

1. Как узнать, делится ли число нацело на 9?

Чтобы определить, делится ли число нацело на 9, необходимо воспользоваться простым правилом, которое называется признаком делимости на 9.

Правило: Натуральное число делится на 9 без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

Чтобы применить это правило, следуйте алгоритму:
1. Возьмите число, которое нужно проверить на делимость.
2. Найдите сумму всех цифр, из которых состоит это число.
3. Проверьте, делится ли полученная сумма на 9. Если сумма сама является большим числом, вы можете повторить для нее шаг 2 (найти сумму ее цифр) до тех пор, пока не получите однозначное или небольшое двузначное число, для которого делимость очевидна.
4. Сделайте вывод: если сумма цифр делится на 9, то и исходное число делится на 9. В противном случае — не делится.

Пример 1: Проверим число 486.
Складываем его цифры: $4 + 8 + 6 = 18$.
Число 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$).
Следовательно, число 486 делится на 9. (Проверка: $486 \div 9 = 54$).

Пример 2: Проверим число 1234.
Складываем его цифры: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
Число 10 не делится на 9 без остатка.
Следовательно, число 1234 не делится на 9. (Проверка: $1234 \div 9 = 137$ и остаток 1).

Пример 3: Проверим большое число 987654.
Складываем его цифры: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39$.
Сумма 39 — все еще двузначное число. Можно повторить для него процесс: $3 + 9 = 12$.
Число 12 не делится на 9 без остатка.
Следовательно, число 987654 не делится на 9.

Почему это правило работает?
Этот признак основан на свойствах десятичной системы счисления. Любое число можно представить в виде суммы произведений его цифр на степени 10. Например, число 357 можно записать как $3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 7 \cdot 1$.
Заметим, что $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1000 = 999 + 1$ и так далее. Каждое такое число ($9$, $99$, $999$...) делится на 9.
Тогда наше число 357 можно представить так:
$3 \cdot (99 + 1) + 5 \cdot (9 + 1) + 7$
Раскроем скобки: $3 \cdot 99 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 1 + 7$
Сгруппируем слагаемые: $(3 \cdot 99 + 5 \cdot 9) + (3 + 5 + 7)$.
Выражение в первой скобке $(3 \cdot 99 + 5 \cdot 9)$ очевидно делится на 9, так как каждое слагаемое в ней кратно 9. Значит, делимость всего числа на 9 зависит только от выражения во второй скобке — $(3 + 5 + 7)$, которая и является суммой цифр исходного числа. Если эта сумма делится на 9, то и всё число делится на 9.

Ответ: Для того чтобы узнать, делится ли число нацело на 9, нужно сложить все цифры этого числа. Если полученная сумма делится на 9, то и само число делится на 9.

2. Как узнать, делится ли число нацело на 3?

Чтобы определить, делится ли число нацело на 3, необходимо воспользоваться простым правилом, которое называется признаком делимости на 3.

Правило: Число делится на 3 без остатка в том и только в том случае, если сумма всех его цифр делится на 3.

Для проверки нужно выполнить следующие шаги:

1. Взять число, которое необходимо проверить.
2. Сложить все цифры этого числа.
3. Если полученная сумма делится на 3, то и исходное число делится на 3.
4. Если сумма цифр не делится на 3, то и исходное число не делится на 3.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: Число 561

• Находим сумму его цифр: $5 + 6 + 1 = 12$.
• Число 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$).
• Следовательно, число 561 тоже делится на 3. (Проверка: $561 \div 3 = 187$).

Пример 2: Число 8794

• Находим сумму его цифр: $8 + 7 + 9 + 4 = 28$.
• Число 28 не делится на 3 без остатка ($28 \div 3 = 9$ и остаток 1).
• Следовательно, число 8794 не делится на 3.

Математическое обоснование правила

Любое число в десятичной системе можно представить как сумму произведений его цифр на степени десятки. Например, число 471 можно записать так:

$471 = 4 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 1 \cdot 1$

Представим степени десятки в виде $(9...9+1)$:

$471 = 4 \cdot (99 + 1) + 7 \cdot (9 + 1) + 1$

Раскроем скобки:

$471 = (4 \cdot 99 + 4) + (7 \cdot 9 + 7) + 1$

Сгруппируем слагаемые:

$471 = (4 \cdot 99 + 7 \cdot 9) + (4 + 7 + 1)$

Первая часть выражения, $(4 \cdot 99 + 7 \cdot 9)$, очевидно делится на 3, так как каждое слагаемое содержит множитель, кратный 3 (99 и 9). Значит, делимость всего числа 471 на 3 зависит только от второй части — суммы его цифр $(4 + 7 + 1)$. Так как $4 + 7 + 1 = 12$, а 12 делится на 3, то и всё число 471 делится на 3. Этот принцип работает для любого числа.

Ответ: Чтобы узнать, делится ли число нацело на 3, нужно сложить все цифры этого числа. Если полученная сумма делится на 3, то и само число делится на 3.