Номер 659, страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 23. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Упражнения - номер 659, страница 151.

Условие.

Задача от мудрой совы

659. В клетках таблицы размером $3 \times 3$ стоят нули. Разрешается выбрать любой квадрат размером $2 \times 2$ клетки и увеличить числа во всех его клетках на единицу. Можно ли после нескольких таких операций получить таблицу, изображённую на рисунке 165?

Рис. 165

4	6	5
7	18	9
6	10	7

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяются числа в ячейках таблицы при выполнении разрешенной операции.

Пусть исходная таблица $A_0$ состоит из нулей:$A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

В таблице размером $3 \times 3$ можно выделить четыре различных квадрата размером $2 \times 2$:

• Левый верхний (ЛВ)
• Правый верхний (ПВ)
• Левый нижний (ЛН)
• Правый нижний (ПН)

Пусть мы выполнили операцию увеличения чисел на единицу $k_{ЛВ}$ раз для левого верхнего квадрата, $k_{ПВ}$ раз для правого верхнего, $k_{ЛН}$ раз для левого нижнего и $k_{ПН}$ раз для правого нижнего квадрата. Числа $k_{ЛВ}, k_{ПВ}, k_{ЛН}, k_{ПН}$ должны быть целыми и неотрицательными.

Давайте посмотрим, как значение в каждой ячейке итоговой таблицы зависит от количества выполненных операций. Обозначим ячейки таблицы как $a_{ij}$, где $i$ — номер строки, а $j$ — номер столбца.

$a_{11}$ (левый верхний угол) — входит только в квадрат ЛВ. Значит, $a_{11} = k_{ЛВ}$.
$a_{13}$ (правый верхний угол) — входит только в квадрат ПВ. Значит, $a_{13} = k_{ПВ}$.
$a_{31}$ (левый нижний угол) — входит только в квадрат ЛН. Значит, $a_{31} = k_{ЛН}$.
$a_{33}$ (правый нижний угол) — входит только в квадрат ПН. Значит, $a_{33} = k_{ПН}$.
$a_{22}$ (центральная ячейка) — входит во все четыре квадрата $2 \times 2$. Значит, $a_{22} = k_{ЛВ} + k_{ПВ} + k_{ЛН} + k_{ПН}$.

Из этих равенств мы можем заметить важное свойство, которому должна удовлетворять любая таблица, полученная таким способом: значение в центральной ячейке должно быть равно сумме значений в угловых ячейках.

$a_{22} = a_{11} + a_{13} + a_{31} + a_{33}$

Теперь проверим, выполняется ли это условие для таблицы, изображенной на рисунке 165.

$A_{цель} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 \\ 7 & 18 & 9 \\ 6 & 10 & 7 \end{pmatrix}$

В этой таблице:

• Значение в левом верхнем углу: $a_{11} = 4$
• Значение в правом верхнем углу: $a_{13} = 5$
• Значение в левом нижнем углу: $a_{31} = 6$
• Значение в правом нижнем углу: $a_{33} = 7$
• Значение в центре: $a_{22} = 18$

Найдем сумму значений в угловых ячейках:

$S_{углов} = a_{11} + a_{13} + a_{31} + a_{33} = 4 + 5 + 6 + 7 = 22$

Сравним эту сумму со значением в центральной ячейке:

$S_{углов} = 22$, а $a_{22} = 18$.

Поскольку $22 \neq 18$, необходимое условие не выполняется. Следовательно, получить данную таблицу из таблицы с нулями с помощью указанных операций невозможно.

Ответ:Нет, такую таблицу получить нельзя.