Номер 2, страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 24. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 2, страница 151.

2. Как узнать, делится ли число нацело на 3?

Чтобы определить, делится ли число нацело на 3, необходимо воспользоваться простым правилом, которое называется признаком делимости на 3.

Правило: Число делится на 3 без остатка в том и только в том случае, если сумма всех его цифр делится на 3.

Для проверки нужно выполнить следующие шаги:

1. Взять число, которое необходимо проверить.
2. Сложить все цифры этого числа.
3. Если полученная сумма делится на 3, то и исходное число делится на 3.
4. Если сумма цифр не делится на 3, то и исходное число не делится на 3.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: Число 561

• Находим сумму его цифр: $5 + 6 + 1 = 12$.
• Число 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$).
• Следовательно, число 561 тоже делится на 3. (Проверка: $561 \div 3 = 187$).

Пример 2: Число 8794

• Находим сумму его цифр: $8 + 7 + 9 + 4 = 28$.
• Число 28 не делится на 3 без остатка ($28 \div 3 = 9$ и остаток 1).
• Следовательно, число 8794 не делится на 3.

Математическое обоснование правила

Любое число в десятичной системе можно представить как сумму произведений его цифр на степени десятки. Например, число 471 можно записать так:

$471 = 4 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 1 \cdot 1$

Представим степени десятки в виде $(9...9+1)$:

$471 = 4 \cdot (99 + 1) + 7 \cdot (9 + 1) + 1$

Раскроем скобки:

$471 = (4 \cdot 99 + 4) + (7 \cdot 9 + 7) + 1$

Сгруппируем слагаемые:

$471 = (4 \cdot 99 + 7 \cdot 9) + (4 + 7 + 1)$

Первая часть выражения, $(4 \cdot 99 + 7 \cdot 9)$, очевидно делится на 3, так как каждое слагаемое содержит множитель, кратный 3 (99 и 9). Значит, делимость всего числа 471 на 3 зависит только от второй части — суммы его цифр $(4 + 7 + 1)$. Так как $4 + 7 + 1 = 12$, а 12 делится на 3, то и всё число 471 делится на 3. Этот принцип работает для любого числа.

Ответ: Чтобы узнать, делится ли число нацело на 3, нужно сложить все цифры этого числа. Если полученная сумма делится на 3, то и само число делится на 3.