Номер 1, страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 24. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 1, страница 151.

1. Как узнать, делится ли число нацело на 9?

Чтобы определить, делится ли число нацело на 9, необходимо воспользоваться простым правилом, которое называется признаком делимости на 9.

Правило: Натуральное число делится на 9 без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

Чтобы применить это правило, следуйте алгоритму:
1. Возьмите число, которое нужно проверить на делимость.
2. Найдите сумму всех цифр, из которых состоит это число.
3. Проверьте, делится ли полученная сумма на 9. Если сумма сама является большим числом, вы можете повторить для нее шаг 2 (найти сумму ее цифр) до тех пор, пока не получите однозначное или небольшое двузначное число, для которого делимость очевидна.
4. Сделайте вывод: если сумма цифр делится на 9, то и исходное число делится на 9. В противном случае — не делится.

Пример 1: Проверим число 486.
Складываем его цифры: $4 + 8 + 6 = 18$.
Число 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$).
Следовательно, число 486 делится на 9. (Проверка: $486 \div 9 = 54$).

Пример 2: Проверим число 1234.
Складываем его цифры: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
Число 10 не делится на 9 без остатка.
Следовательно, число 1234 не делится на 9. (Проверка: $1234 \div 9 = 137$ и остаток 1).

Пример 3: Проверим большое число 987654.
Складываем его цифры: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39$.
Сумма 39 — все еще двузначное число. Можно повторить для него процесс: $3 + 9 = 12$.
Число 12 не делится на 9 без остатка.
Следовательно, число 987654 не делится на 9.

Почему это правило работает?
Этот признак основан на свойствах десятичной системы счисления. Любое число можно представить в виде суммы произведений его цифр на степени 10. Например, число 357 можно записать как $3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 7 \cdot 1$.
Заметим, что $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1000 = 999 + 1$ и так далее. Каждое такое число ($9$, $99$, $999$...) делится на 9.
Тогда наше число 357 можно представить так:
$3 \cdot (99 + 1) + 5 \cdot (9 + 1) + 7$
Раскроем скобки: $3 \cdot 99 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 1 + 7$
Сгруппируем слагаемые: $(3 \cdot 99 + 5 \cdot 9) + (3 + 5 + 7)$.
Выражение в первой скобке $(3 \cdot 99 + 5 \cdot 9)$ очевидно делится на 9, так как каждое слагаемое в ней кратно 9. Значит, делимость всего числа на 9 зависит только от выражения во второй скобке — $(3 + 5 + 7)$, которая и является суммой цифр исходного числа. Если эта сумма делится на 9, то и всё число делится на 9.

Ответ: Для того чтобы узнать, делится ли число нацело на 9, нужно сложить все цифры этого числа. Если полученная сумма делится на 9, то и само число делится на 9.