Страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой цифрой должна оканчиваться запись натурального числа, чтобы оно делилось нацело на 10?

Для того чтобы натуральное число делилось нацело (без остатка) на 10, оно должно быть кратным числу 10. Это означает, что такое число можно представить в виде произведения $10 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Рассмотрим несколько примеров таких чисел:
$10 \cdot 1 = 10$
$10 \cdot 5 = 50$
$10 \cdot 12 = 120$
$10 \cdot 345 = 3450$

Из примеров видно, что при умножении любого натурального числа на 10 к его записи справа дописывается ноль. Следовательно, любое число, которое делится на 10, будет оканчиваться на цифру 0.

Это свойство является признаком делимости на 10: натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра в его записи — это 0.

Ответ: 0.

2. Какие числа называют чётными? нечётными?

Какие числа называют чётными? Чётными называют целые числа, которые делятся на 2 без остатка. Любое чётное число $n$ можно представить в виде формулы $n = 2k$, где $k$ — любое целое число. Например, чётными являются числа: -4, -2, 0, 2, 4, 10, 38. Практический признак для натуральных чисел: число является чётным, если его последняя цифра — это 0, 2, 4, 6 или 8. Ответ: Целые числа, которые делятся на 2 без остатка.

Какие числа называют нечётными? Нечётными называют целые числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Любое нечётное число $n$ можно представить в виде формулы $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число. Например, нечётными являются числа: -5, -1, 1, 3, 7, 11, 29. Практический признак для натуральных чисел: число является нечётным, если его последняя цифра — это 1, 3, 5, 7 или 9. Ответ: Целые числа, которые не делятся на 2 без остатка (при делении на 2 дают в остатке 1).

3. Какие цифры называют чётными? нечётными?

чётными
Чётные цифры — это цифры, которые обозначают числа, делящиеся на 2 без остатка. Любое целое число, которое оканчивается на одну из этих цифр, также является чётным.
К чётным цифрам относятся: $0, 2, 4, 6, 8$.
Например, число 156 является чётным, так как его последняя цифра (6) — чётная.
Ответ: чётными называют цифры 0, 2, 4, 6, 8.

нечётными
Нечётные цифры — это цифры, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Любое целое число, которое оканчивается на одну из этих цифр, является нечётным.
К нечётным цифрам относятся: $1, 3, 5, 7, 9$.
Например, число 943 является нечётным, так как его последняя цифра (3) — нечётная.
Ответ: нечётными называют цифры 1, 3, 5, 7, 9.

4. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 2 или нет?

Чтобы по записи натурального числа установить, делится ли оно нацело на 2, нужно посмотреть на его последнюю цифру (цифру, стоящую в разряде единиц).

Правило делимости на 2

Натуральное число делится нацело на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2. То есть, если число оканчивается на одну из цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Такие числа называются четными.

Если последняя цифра числа не делится на 2 (то есть оканчивается на 1, 3, 5, 7, 9), то и само число не делится нацело на 2. Такие числа называются нечетными.

Математическое обоснование

Любое натуральное число можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Возьмем для примера число 4786:

$4786 = 4000 + 700 + 80 + 6 = 4 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 6$

В общем виде любое натуральное число $N$, состоящее из цифр $a_k a_{k-1} ... a_1 a_0$, можно записать так:

$N = a_k \cdot 10^k + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + ... + a_1 \cdot 10 + a_0$

Все слагаемые в этой сумме, кроме последнего ($a_0$), содержат множитель 10. Вынесем его за скобки:

$N = 10 \cdot (a_k \cdot 10^{k-1} + a_{k-1} \cdot 10^{k-2} + ... + a_1) + a_0$

Первое слагаемое, $10 \cdot (...)$, всегда делится на 2, так как один из его множителей — число 10, которое делится на 2 ($10 = 2 \cdot 5$). Следовательно, делимость всей суммы $N$ на 2 полностью зависит от того, делится ли на 2 второе слагаемое, то есть последняя цифра $a_0$.

Если $a_0$ — четная цифра (0, 2, 4, 6, 8), то она делится на 2, и вся сумма (число $N$) тоже будет делиться на 2.

Если $a_0$ — нечетная цифра (1, 3, 5, 7, 9), то она не делится на 2, и вся сумма (число $N$) также не будет делиться на 2.

Примеры

Число 1358 оканчивается на 8. Цифра 8 делится на 2, значит, и число 1358 делится на 2 ($1358 : 2 = 679$).

Число 990 оканчивается на 0. Цифра 0 делится на 2, значит, и число 990 делится на 2 ($990 : 2 = 495$).

Число 765 оканчивается на 5. Цифра 5 не делится на 2, значит, и число 765 не делится на 2 ($765 : 2 = 382$ и остаток 1).

Число 24871 оканчивается на 1. Цифра 1 не делится на 2, значит, и число 24871 не делится на 2 ($24871 : 2 = 12435$ и остаток 1).

Ответ: Чтобы установить, делится ли натуральное число нацело на 2, нужно посмотреть на его последнюю цифру. Если последняя цифра числа — 0, 2, 4, 6 или 8, то число делится на 2. Если последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9, то число не делится на 2.

5. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 5 или нет?

Для того чтобы по записи натурального числа установить, делится ли оно нацело на 5, необходимо посмотреть на последнюю цифру в его десятичной записи. Это правило называется признаком делимости на 5.

Обоснование правила:
Любое натуральное число N можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Например, число, состоящее из цифр $a_n a_{n-1} ... a_1 a_0$, можно записать так:
$N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$
Все слагаемые в этой сумме, кроме последнего ($a_0$), содержат множитель 10 или его степень. Мы можем вынести 10 за скобки для всех членов, кроме последнего:
$N = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \dots + a_1) + a_0$
Первое слагаемое, $10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1)$, всегда делится на 5 без остатка, так как один из его множителей, число 10, делится на 5 ($10 = 2 \cdot 5$).
Следовательно, делимость всего числа N на 5 зависит исключительно от того, делится ли на 5 его последнее слагаемое — последняя цифра $a_0$.
Среди цифр от 0 до 9 на 5 делятся только 0 и 5. Таким образом, чтобы всё число делилось на 5, его запись должна оканчиваться на 0 или 5.

Примеры:

• Число 345 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5. Проверка: $345 : 5 = 69$.
• Число 1290 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 5. Проверка: $1290 : 5 = 258$.
• Число 783 оканчивается на 3. Так как 3 не является ни 0, ни 5, число 783 не делится на 5 нацело. Проверка: $783 : 5 = 156$ (остаток 3).

Ответ: Натуральное число делится нацело на 5 в том и только в том случае, если его десятичная запись оканчивается на цифру 0 или 5.

1. Верно ли утверждение:

1) число $17$ является делителем числа $34$;

2) число $5$ является делителем числа $35$;

3) число $45$ является кратным числа $10$;

4) число $17$ кратно числу $2$?

1) число 17 является делителем числа 34;

Делителем числа называется такое число, на которое исходное число делится без остатка. Чтобы проверить данное утверждение, необходимо разделить 34 на 17.

$34 \div 17 = 2$

Поскольку в результате деления получилось целое число (2), утверждение является верным.
Ответ: утверждение верно.

2) число 5 является делителем числа 35;

Аналогично предыдущему пункту, проверим, делится ли 35 на 5 без остатка.

$35 \div 5 = 7$

Результат деления — целое число (7), следовательно, 5 является делителем 35.
Ответ: утверждение верно.

3) число 45 является кратным числа 10;

Кратным числа называется такое число, которое делится на данное число без остатка. Чтобы проверить утверждение, разделим 45 на 10.

$45 \div 10 = 4.5$

Результат деления (4.5) не является целым числом. Это значит, что 45 не делится на 10 без остатка. Следовательно, 45 не является кратным числу 10.
Ответ: утверждение неверно.

4) число 17 кратно числу 2?

Чтобы проверить, кратно ли число 17 числу 2, нужно разделить 17 на 2. Числа, кратные 2, являются четными.

$17 \div 2 = 8.5$

Поскольку результат деления не является целым числом (или, другими словами, число 17 является нечетным), оно не кратно числу 2.
Ответ: утверждение неверно.

2. Назовите четыре натуральных числа, для которых делителем является число:

1) 2;

2) 7.

1) 2
Чтобы найти натуральные числа, для которых число 2 является делителем, нужно найти числа, кратные 2, то есть те, которые делятся на 2 без остатка. Это все четные натуральные числа. Для нахождения таких чисел можно умножить 2 на любое натуральное число $n$. Формула таких чисел: $2 \times n$, где $n \in \mathbb{N}$.
Возьмем первые четыре натуральных числа для $n$: 1, 2, 3, 4.
$2 \times 1 = 2$
$2 \times 2 = 4$
$2 \times 3 = 6$
$2 \times 4 = 8$
Четыре таких числа: 2, 4, 6, 8.
Ответ: 2, 4, 6, 8.

2) 7
Аналогично, чтобы найти натуральные числа, для которых число 7 является делителем, нужно найти числа, кратные 7. Для этого можно умножить 7 на любое натуральное число $n$. Формула таких чисел: $7 \times n$, где $n \in \mathbb{N}$.
Возьмем первые четыре натуральных числа для $n$: 1, 2, 3, 4.
$7 \times 1 = 7$
$7 \times 2 = 14$
$7 \times 3 = 21$
$7 \times 4 = 28$
Четыре таких числа: 7, 14, 21, 28.
Ответ: 7, 14, 21, 28.

3. Назовите четыре натуральных числа, кратных числу:

1) 5;

2) 11.

1) Чтобы найти натуральные числа, кратные числу 5, необходимо число 5 умножить на любое натуральное число (1, 2, 3, 4, ...). Кратное число — это число, которое делится на данное число без остатка. Возьмем первые четыре натуральных числа для нахождения четырех кратных.
$5 \cdot 1 = 5$
$5 \cdot 2 = 10$
$5 \cdot 3 = 15$
$5 \cdot 4 = 20$
Таким образом, мы получили четыре натуральных числа, которые кратны 5.
Ответ: 5, 10, 15, 20.

2) Аналогично найдем четыре натуральных числа, кратных числу 11. Для этого умножим 11 на первые четыре натуральных числа.
$11 \cdot 1 = 11$
$11 \cdot 2 = 22$
$11 \cdot 3 = 33$
$11 \cdot 4 = 44$
Таким образом, мы получили четыре натуральных числа, которые кратны 11.
Ответ: 11, 22, 33, 44.

4. Назовите в порядке возрастания все делители числа:

1) $6$;

2) $14$;

3) $40$;

4) $9$;

5) $7$.

1) 6;

Делителем натурального числа называется натуральное число, на которое оно делится без остатка. Чтобы найти все делители числа 6, будем последовательно проверять натуральные числа, начиная с 1, и находить парные им делители.

$6 \div 1 = 6$. Следовательно, 1 и 6 являются делителями.

$6 \div 2 = 3$. Следовательно, 2 и 3 являются делителями.

Следующее число для проверки — 3, но оно уже найдено в паре с 2. Это означает, что мы нашли все делители.

Расположим их в порядке возрастания: 1, 2, 3, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

2) 14;

Найдем все делители числа 14, проверяя числа, на которые 14 делится без остатка.

$14 \div 1 = 14$. Делители: 1 и 14.

$14 \div 2 = 7$. Делители: 2 и 7.

Числа от 3 до 6 не являются делителями 14, так как при делении на них получается остаток. Следующий возможный делитель — 7, который уже найден.

Расположим все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 7, 14.

Ответ: 1, 2, 7, 14.

3) 40;

Найдем все делители числа 40. Для этого будем находить пары чисел, произведение которых равно 40.

$1 \times 40 = 40$. Делители: 1, 40.

$2 \times 20 = 40$. Делители: 2, 20.

40 на 3 не делится.

$4 \times 10 = 40$. Делители: 4, 10.

$5 \times 8 = 40$. Делители: 5, 8.

Числа 6 и 7 не являются делителями 40. Следующее число 8 уже найдено в паре с 5. Это означает, что мы нашли все делители.

Перечислим все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Ответ: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

4) 9;

Найдем все делители числа 9.

$9 \div 1 = 9$. Делители: 1 и 9.

9 на 2 не делится.

$9 \div 3 = 3$. Делитель: 3.

Расположим все найденные делители в порядке возрастания: 1, 3, 9.

Ответ: 1, 3, 9.

5) 7.

Найдем все делители числа 7.

Число 7 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.

$7 \div 1 = 7$.

$7 \div 7 = 1$.

Таким образом, делителями числа 7 являются 1 и 7.

Расположим их в порядке возрастания: 1, 7.

Ответ: 1, 7.

637. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «-» в ином случае).

Число 24 53 60 78 79 96 142 241 495 7207

Чётное число

Чтобы заполнить таблицу, необходимо определить, является ли каждое из предложенных чисел чётным.

Признак чётности числа: число является чётным, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. В этом случае, согласно условию, в таблицу нужно поставить знак «+».

Если последняя цифра числа — 1, 3, 5, 7 или 9, то число является нечётным. В этом случае в таблицу нужно поставить знак «−».

Применим это правило к каждому числу из таблицы:

• Число 24 оканчивается на 4, следовательно, оно чётное. Ставим «+».
• Число 53 оканчивается на 3, следовательно, оно нечётное. Ставим «−».
• Число 60 оканчивается на 0, следовательно, оно чётное. Ставим «+».
• Число 78 оканчивается на 8, следовательно, оно чётное. Ставим «+».
• Число 79 оканчивается на 9, следовательно, оно нечётное. Ставим «−».
• Число 96 оканчивается на 6, следовательно, оно чётное. Ставим «+».
• Число 142 оканчивается на 2, следовательно, оно чётное. Ставим «+».
• Число 241 оканчивается на 1, следовательно, оно нечётное. Ставим «−».
• Число 495 оканчивается на 5, следовательно, оно нечётное. Ставим «−».
• Число 7207 оканчивается на 7, следовательно, оно нечётное. Ставим «−».

Заполненная таблица представлена ниже.

Ответ: