Страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

668. Из чисел 7826, 1215, 4075, 2880, 3921, 9319, 6072, 8142 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 3;

2) на 9;

3) на 9 и на 5.

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости чисел.

1) на 3;

Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Проверим каждое число из данного списка:

• 7826: сумма цифр $7+8+2+6 = 23$. 23 не делится на 3.
• 1215: сумма цифр $1+2+1+5 = 9$. 9 делится на 3 ($9 \div 3 = 3$). Число подходит.
• 4075: сумма цифр $4+0+7+5 = 16$. 16 не делится на 3.
• 2880: сумма цифр $2+8+8+0 = 18$. 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$). Число подходит.
• 3921: сумма цифр $3+9+2+1 = 15$. 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$). Число подходит.
• 9319: сумма цифр $9+3+1+9 = 22$. 22 не делится на 3.
• 6072: сумма цифр $6+0+7+2 = 15$. 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$). Число подходит.
• 8142: сумма цифр $8+1+4+2 = 15$. 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$). Число подходит.

Ответ: 1215, 2880, 3921, 6072, 8142.

2) на 9;

Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9. Воспользуемся суммами цифр, которые мы уже вычислили:

• 7826: сумма цифр 23 (не делится на 9).
• 1215: сумма цифр 9 (делится на 9, $9 \div 9 = 1$). Число подходит.
• 4075: сумма цифр 16 (не делится на 9).
• 2880: сумма цифр 18 (делится на 9, $18 \div 9 = 2$). Число подходит.
• 3921: сумма цифр 15 (не делится на 9).
• 9319: сумма цифр 22 (не делится на 9).
• 6072: сумма цифр 15 (не делится на 9).
• 8142: сумма цифр 15 (не делится на 9).

Ответ: 1215, 2880.

3) на 9 и на 5.

Число должно делиться и на 9, и на 5. Мы уже нашли числа, которые делятся на 9: 1215 и 2880. Теперь проверим их на делимость на 5. Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра - 0 или 5.

• 1215: оканчивается на 5, следовательно, делится на 5. Так как оно также делится на 9, это число нам подходит.
• 2880: оканчивается на 0, следовательно, делится на 5. Так как оно также делится на 9, это число нам тоже подходит.

Ответ: 1215, 2880.

669. Найдите все значения $y$, кратные:

1) числу 3, при которых верно неравенство $143 < y < 162$;

2) числу 9, при которых верно неравенство $92 < y < 128$.

1) числу 3, при которых верно неравенство 143 < y < 162;
Нам нужно найти все значения y, которые делятся на 3 и находятся в интервале от 143 до 162, не включая концы интервала.
Для этого найдем первое целое число, большее 143, которое кратно 3. Признак делимости на 3 гласит, что число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Рассмотрим число, следующее за 143, — это 144. Сумма его цифр: $1 + 4 + 4 = 9$. Так как 9 делится на 3, то и 144 делится на 3. Число 144 удовлетворяет неравенству: $143 < 144 < 162$.
Это первое искомое значение. Чтобы найти остальные, будем последовательно прибавлять 3 к найденному числу, пока результат не выйдет за пределы указанного интервала.
$144 + 3 = 147$
$147 + 3 = 150$
$150 + 3 = 153$
$153 + 3 = 156$
$156 + 3 = 159$
Следующее число будет $159 + 3 = 162$. Это значение не удовлетворяет строгому неравенству $y < 162$.
Таким образом, все подходящие значения y это 144, 147, 150, 153, 156 и 159.
Ответ: 144, 147, 150, 153, 156, 159.

2) числу 9, при которых верно неравенство 92 < y < 128.
Нам нужно найти все значения y, которые делятся на 9 и находятся в интервале от 92 до 128, не включая концы интервала.
Найдем первое целое число, большее 92, которое кратно 9. Для этого можно разделить 92 на 9 с остатком:
$92 \div 9 = 10$ (остаток 2).
Ближайшее кратное 9, которое меньше 92, это $9 \times 10 = 90$. Следующее кратное 9 будет $90 + 9 = 99$.
Число 99 удовлетворяет неравенству: $92 < 99 < 128$.
Это первое искомое значение. Чтобы найти остальные, будем последовательно прибавлять 9 к найденному числу, пока результат не выйдет за пределы указанного интервала.
$99 + 9 = 108$
$108 + 9 = 117$
$117 + 9 = 126$
Следующее число будет $126 + 9 = 135$. Это значение больше 128 и не удовлетворяет неравенству $y < 128$.
Таким образом, все подходящие значения y это 99, 108, 117 и 126.
Ответ: 99, 108, 117, 126.

670. Найдите все значения $m$, кратные:

1) числу 3, при которых верно неравенство $324 < m < 345$;

2) числу 9, при которых верно неравенство $423 < m < 480$.

1) числу 3, при которых верно неравенство 324 < m < 345;
Требуется найти все целые числа $m$, которые кратны 3 и находятся в интервале $(324, 345)$. Это значит, что $m$ должно быть строго больше 324 и строго меньше 345.
Для решения задачи найдем первое и последнее число в заданном интервале, которое делится на 3.
Найдем первое подходящее значение $m$. Проверим нижнюю границу интервала, число 324. Сумма его цифр равна $3 + 2 + 4 = 9$. Так как 9 делится на 3, то и число 324 делится на 3. Поскольку нам нужны числа, строго большие 324, первое такое число, кратное 3, будет $324 + 3 = 327$. Это наименьшее подходящее значение $m$.
Теперь найдем наибольшее подходящее значение $m$. Проверим верхнюю границу, число 345. Сумма его цифр $3 + 4 + 5 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 345 делится на 3. Поскольку нам нужны числа, строго меньшие 345, последнее такое число, кратное 3, будет $345 - 3 = 342$.
Теперь перечислим все числа, кратные 3, от 327 до 342 включительно, прибавляя каждый раз 3:
327, 330, 333, 336, 339, 342.
Ответ: 327, 330, 333, 336, 339, 342.

2) числу 9, при которых верно неравенство 423 < m < 480.
Требуется найти все целые числа $m$, которые кратны 9 и находятся в интервале $(423, 480)$. Это значит, что $m$ должно быть строго больше 423 и строго меньше 480.
Воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Найдем первое подходящее значение $m$. Проверим нижнюю границу, число 423. Сумма его цифр $4 + 2 + 3 = 9$. Так как 9 делится на 9, то и 423 делится на 9. Первое число, кратное 9 и строго большее 423, будет $423 + 9 = 432$.
Теперь найдем наибольшее подходящее значение $m$. Разделим 480 на 9 с остатком: $480 = 9 \cdot 53 + 3$. Это значит, что наибольшее число, меньшее 480 и кратное 9, это $9 \cdot 53 = 477$.
Теперь перечислим все числа, кратные 9, от 432 до 477 включительно, прибавляя каждый раз 9:
432, 441, 450, 459, 468, 477.
Ответ: 432, 441, 450, 459, 468, 477.

671. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи):

1) $5484*$;

2) $3*6393$;

3) $79*8$.

Для того чтобы число было кратно 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр была кратна 3. Рассмотрим все возможные случаи для каждого числа, заменив звёздочку (*) на цифру $x$.

1) 54 84*
Найдем сумму известных цифр в данном числе: $5 + 4 + 8 + 4 = 21$.
Сумма всех цифр числа равна $21 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3. Поскольку число 21 уже кратно 3 ($21 = 3 \cdot 7$), то и цифра $x$ должна быть кратна 3, чтобы их сумма также была кратна 3.
Цифры, которые кратны 3: 0, 3, 6, 9.
Следовательно, вместо звёздочки можно поставить любую из этих цифр.
Ответ: 0, 3, 6, 9.

2) 3*6 393
Найдем сумму известных цифр в данном числе: $3 + 6 + 3 + 9 + 3 = 24$.
Сумма всех цифр числа равна $24 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3. Поскольку число 24 уже кратно 3 ($24 = 3 \cdot 8$), то и цифра $x$ должна быть кратна 3.
Цифры, которые кратны 3: 0, 3, 6, 9.
Следовательно, вместо звёздочки можно поставить любую из этих цифр.
Ответ: 0, 3, 6, 9.

3) 79*8
Найдем сумму известных цифр в данном числе: $7 + 9 + 8 = 24$.
Сумма всех цифр числа равна $24 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3. Поскольку число 24 уже кратно 3 ($24 = 3 \cdot 8$), то и цифра $x$ должна быть кратна 3.
Цифры, которые кратны 3: 0, 3, 6, 9.
Следовательно, вместо звёздочки можно поставить любую из этих цифр.
Ответ: 0, 3, 6, 9.

672. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 9 (рассмотрите все возможные случаи):

1) 628*1;

2) 57*582;

3) 7*51.

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

1) 62 8*1

Пусть неизвестная цифра, которую нужно поставить вместо звёздочки, равна $x$. Тогда мы получим число $628x1$. Сумма известных цифр этого числа равна: $S_{изв} = 6 + 2 + 8 + 1 = 17$. Сумма всех цифр числа равна: $S_{общ} = 17 + x$. Чтобы число $628x1$ делилось на 9, сумма его цифр $17 + x$ должна делиться на 9. Поскольку $x$ – это цифра, то $0 \le x \le 9$. Следовательно, $17 + 0 \le 17 + x \le 17 + 9$, то есть $17 \le S_{общ} \le 26$. В этом промежутке $[17; 26]$ есть только одно число, которое делится на 9, – это 18. Значит, $17 + x = 18$. Отсюда находим $x$: $x = 18 - 17 = 1$. Таким образом, вместо звёздочки нужно поставить цифру 1.

Ответ: 1.

2) 57* 582

Пусть неизвестная цифра равна $x$. Получаем число $57x582$. Сумма известных цифр этого числа: $S_{изв} = 5 + 7 + 5 + 8 + 2 = 27$. Сумма всех цифр числа: $S_{общ} = 27 + x$. Эта сумма должна делиться на 9. Так как $0 \le x \le 9$, то $27 + 0 \le 27 + x \le 27 + 9$, то есть $27 \le S_{общ} \le 36$. В промежутке $[27; 36]$ на 9 делятся два числа: 27 и 36. Рассмотрим оба возможных случая:
1. Если $27 + x = 27$, то $x = 27 - 27 = 0$.
2. Если $27 + x = 36$, то $x = 36 - 27 = 9$.
Следовательно, вместо звёздочки можно поставить цифры 0 или 9.

Ответ: 0 или 9.

3) 7*51

Пусть неизвестная цифра равна $x$. Получаем число $7x51$. Сумма известных цифр: $S_{изв} = 7 + 5 + 1 = 13$. Сумма всех цифр числа: $S_{общ} = 13 + x$. Эта сумма должна делиться на 9. Учитывая, что $0 \le x \le 9$, имеем $13 + 0 \le 13 + x \le 13 + 9$, то есть $13 \le S_{общ} \le 22$. В промежутке $[13; 22]$ только одно число делится на 9 – это 18. Значит, $13 + x = 18$. Отсюда $x = 18 - 13 = 5$. Вместо звёздочки нужно поставить цифру 5.

Ответ: 5.

673. Запишите наименьшее число, для записи которого используется только цифра 2 и которое делится нацело на 3.

Чтобы число делилось нацело на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Это основной признак делимости на 3.

По условию, искомое число состоит только из цифры 2. Мы ищем наименьшее такое число, а значит, оно должно состоять из наименьшего возможного количества цифр.

Пусть число состоит из $n$ цифр, каждая из которых равна 2.

Рассмотрим варианты:

• Если число состоит из одной цифры: 2. Сумма цифр равна 2. 2 не делится на 3.
• Если число состоит из двух цифр: 22. Сумма цифр равна $2 + 2 = 4$. 4 не делится на 3.
• Если число состоит из трёх цифр: 222. Сумма цифр равна $2 + 2 + 2 = 6$. 6 делится на 3 ($6 : 3 = 2$).

Таким образом, наименьшее число, которое состоит только из цифр 2 и делится на 3, это число 222.

Проверка: $222 / 3 = 74$.

Ответ: 222

674. Запишите наименьшее трёхзначное число, которое делится нацело на 9.

Чтобы найти наименьшее трёхзначное число, которое делится на 9, нужно следовать определённому алгоритму.

Сначала определим, какое число является наименьшим трёхзначным. Это число 100.

Далее воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9.

Проверим число 100. Сумма его цифр равна: $1 + 0 + 0 = 1$. 1 не делится на 9, следовательно, 100 не делится на 9.

Теперь будем проверять числа, следующие за 100, в порядке возрастания.

• 101: сумма цифр $1 + 0 + 1 = 2$ (не делится на 9)

• 102: сумма цифр $1 + 0 + 2 = 3$ (не делится на 9)

• 103: сумма цифр $1 + 0 + 3 = 4$ (не делится на 9)

• 104: сумма цифр $1 + 0 + 4 = 5$ (не делится на 9)

• 105: сумма цифр $1 + 0 + 5 = 6$ (не делится на 9)

• 106: сумма цифр $1 + 0 + 6 = 7$ (не делится на 9)

• 107: сумма цифр $1 + 0 + 7 = 8$ (не делится на 9)

• 108: сумма цифр $1 + 0 + 8 = 9$. Число 9 делится на 9. Следовательно, 108 — искомое число.

Также можно было найти это число, разделив 100 на 9:

$100 \div 9 = 11$ (остаток 1).

Это значит, что ближайшее меньшее число, кратное 9, — это $9 \times 11 = 99$. Чтобы найти следующее кратное 9, нужно прибавить 9:

$99 + 9 = 108$.

Это наименьшее трёхзначное число, которое делится на 9.

Ответ: 108

675. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи $627*$, чтобы полученное число делилось нацело и на 3, и на 5?

Чтобы число делилось нацело одновременно и на 3, и на 5, оно должно удовлетворять признакам делимости на 3 и на 5.

1. Признак делимости на 5:

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5. В числе 627* звёздочка стоит на месте последней цифры. Значит, вместо неё можно подставить либо 0, либо 5.

2. Признак делимости на 3:

Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Найдём сумму известных цифр в числе 627*:

$6 + 2 + 7 = 15$

Теперь проверим оба возможных варианта для звёздочки:

• Если вместо звёздочки поставить 0, то получится число 6270. Сумма его цифр будет равна $15 + 0 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), следовательно, число 6270 делится на 3. Этот вариант подходит, так как число 6270 делится и на 3, и на 5.
• Если вместо звёздочки поставить 5, то получится число 6275. Сумма его цифр будет равна $15 + 5 = 20$. Число 20 не делится на 3 без остатка ($20 \div 3 = 6$ (ост. 2)), следовательно, число 6275 не делится на 3. Этот вариант не подходит.

Единственная цифра, которая удовлетворяет обоим условиям, это 0.

Ответ: 0.

676. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 21 85*, чтобы полученное число делилось нацело на 3, но не делилось нацело на 2?

Для решения этой задачи необходимо последовательно применить два признака делимости чисел.

1. Условие: число не должно делиться нацело на 2.

Число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8). Соответственно, чтобы число 21 85* не делилось на 2, его последняя цифра (на месте звёздочки) должна быть нечётной. Таким образом, возможные варианты для звёздочки: 1, 3, 5, 7, 9.

2. Условие: число должно делиться нацело на 3.

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Вычислим сумму известных цифр в числе 21 85*:

$2 + 1 + 8 + 5 = 16$

Теперь нужно подобрать такую нечётную цифру для звёздочки, чтобы сумма $16 + *$ была кратна 3. Проверим все возможные варианты, найденные в первом пункте:

• Если подставить 1: сумма цифр $16 + 1 = 17$. 17 не делится на 3.
• Если подставить 3: сумма цифр $16 + 3 = 19$. 19 не делится на 3.
• Если подставить 5: сумма цифр $16 + 5 = 21$. 21 делится на 3 ($21 : 3 = 7$). Этот вариант подходит.
• Если подставить 7: сумма цифр $16 + 7 = 23$. 23 не делится на 3.
• Если подставить 9: сумма цифр $16 + 9 = 25$. 25 не делится на 3.

Единственная цифра, которая удовлетворяет обоим условиям, — это 5. Полученное число 21 855 не делится на 2, так как оно нечётное, и делится на 3, так как сумма его цифр равна 21.

Ответ: 5.

677. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи $347*$, чтобы полученное число делилось нацело и на $2$, и на $3$?

Чтобы число, представленное в виде $347*$, делилось нацело одновременно и на 2, и на 3, оно должно удовлетворять признакам делимости на оба этих числа.

Сначала рассмотрим признак делимости на 2. Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра является чётной. Чётные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8. Таким образом, вместо звёздочки может стоять одна из этих пяти цифр.

Теперь рассмотрим признак делимости на 3. Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Найдём сумму известных цифр в числе $347*$: $3 + 4 + 7 = 14$.

Чтобы всё число делилось на 3, сумма $14$ и цифры, стоящей на месте звёздочки, должна быть кратна 3. Теперь проверим, какая из найденных ранее чётных цифр (0, 2, 4, 6, 8) в сумме с 14 даст число, делящееся на 3.

• Если вместо звёздочки поставить 0, сумма цифр будет $14 + 0 = 14$. Число 14 на 3 не делится.
• Если вместо звёздочки поставить 2, сумма цифр будет $14 + 2 = 16$. Число 16 на 3 не делится.
• Если вместо звёздочки поставить 4, сумма цифр будет $14 + 4 = 18$. Число 18 на 3 делится ($18 : 3 = 6$). Этот вариант подходит.
• Если вместо звёздочки поставить 6, сумма цифр будет $14 + 6 = 20$. Число 20 на 3 не делится.
• Если вместо звёздочки поставить 8, сумма цифр будет $14 + 8 = 22$. Число 22 на 3 не делится.

Таким образом, единственная цифра, которая удовлетворяет обоим условиям, — это 4. Полученное число 3474 будет чётным и сумма его цифр (18) будет делиться на 3.

Ответ: 4.

678. Запишите наименьшее:

1) четырёхзначное число, кратное 3;

2) пятизначное число, кратное 9;

3) шестизначное число, кратное 3 и 2;

4) четырёхзначное число, кратное 5 и 9.

Цифры в записи числа не могут повторяться.

1) четырёхзначное число, кратное 3

Чтобы число было наименьшим, оно должно начинаться с наименьших возможных цифр. Для четырёхзначного числа это 1, 0, 2 и так далее, при условии, что цифры не повторяются. Возьмём первые три наименьшие цифры: 1, 0, 2. Их сумма равна $1 + 0 + 2 = 3$. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Пусть четвёртая цифра будет $x$. Тогда сумма всех цифр $S = 3 + x$. Чтобы $S$ было кратно 3, $x$ также должно быть кратно 3. Возможные значения для $x$: 0, 3, 6, 9. Цифры 0 и 2 уже использованы. Следующая наименьшая подходящая цифра — 3. Итак, мы имеем набор цифр {1, 0, 2, 3}. Чтобы составить из них наименьшее четырёхзначное число, расположим их в порядке возрастания, поставив 1 на первое место: 1023. Проверка: цифры не повторяются, сумма $1+0+2+3=6$, кратна 3.

Ответ: 1023.

2) пятизначное число, кратное 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Чтобы число было наименьшим, будем подбирать цифры слева направо, используя наименьшие возможные. Начнём с 102... Пусть четвёртая цифра $d$, а пятая $e$. Пробуем наименьшие возможные старшие разряды: 1023... Сумма цифр $1+0+2+3=6$. Пятая цифра $e$ должна быть такой, чтобы сумма $6+e$ делилась на 9. Это возможно, если $e=3$ (но цифра 3 уже используется) или $e=12$ (не является цифрой). Этот вариант не подходит. Пробуем следующий префикс: 1024... Сумма $1+0+2+4=7$. Для делимости на 9 пятая цифра $e$ должна быть такой, чтобы $7+e$ делилось на 9. Это возможно, если $e=2$ (уже используется) или $e=11$ (не цифра). Пробуем префикс: 1026... Сумма $1+0+2+6=9$. Для делимости на 9 пятая цифра $e$ должна быть такой, чтобы $9+e$ делилось на 9. Это возможно, если $e=0$ (уже используется) или $e=9$ (не используется). Таким образом, мы нашли набор цифр {1, 0, 2, 6, 9}. Сумма $1+0+2+6+9 = 18$, что кратно 9. Наименьшее число, составленное из этих цифр: 10269.

Ответ: 10269.

3) шестизначное число, кратное 3 и 2

Число, кратное 3 и 2, делится на 6. Это означает, что оно должно быть чётным (оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8) и сумма его цифр должна делиться на 3. Для получения наименьшего числа, начнём с наименьших цифр: 1, 0, 2, 3, 4. Сумма этих пяти цифр равна $1+0+2+3+4=10$. Пусть шестая цифра будет $x$. Сумма всех шести цифр $S = 10+x$. $S$ должна быть кратна 3. Возможные значения для $S$: 12, 15, 18, ... - Если $S=12$, то $x=2$. Цифра 2 уже используется. - Если $S=15$, то $x=5$. Цифра 5 не используется. Число должно быть чётным, а 5 — нечётная цифра, поэтому она не может быть последней. - Если $S=18$, то $x=8$. Цифра 8 не используется и является чётной. Итак, мы получили набор цифр {1, 0, 2, 3, 4, 8}. Сумма цифр 18, кратна 3. Чтобы число было чётным, оно должно оканчиваться на 0, 2, 4 или 8. Чтобы число было наименьшим, старшие разряды должны быть наименьшими, а значит, на последнее место лучше поставить наибольшую из возможных чётных цифр. Ставим 8 в конец. Из оставшихся цифр {1, 0, 2, 3, 4} составляем наименьшее пятизначное число: 10234. Итоговое число: 102348.

Ответ: 102348.

4) четырёхзначное число, кратное 5 и 9

Число, кратное 5 и 9, делится на 45. Это означает, что оно должно оканчиваться на 0 или 5, и сумма его цифр должна делиться на 9. Рассмотрим два случая. Случай 1: число оканчивается на 0. Искомое число имеет вид $abc0$. Сумма цифр $a+b+c+0$ должна быть кратна 9. Чтобы число было наименьшим, $a$ должно быть наименьшим возможным (1). Тогда $b$ — следующее наименьшее (2, так как 0 и 1 заняты). Сумма известных цифр: $1+2+0=3$. Чтобы общая сумма $3+c$ была кратна 9, $c$ должно быть равно 6. Цифра 6 не использовалась. Получаем число 1260. Случай 2: число оканчивается на 5. Искомое число имеет вид $abc5$. Сумма цифр $a+b+c+5$ должна быть кратна 9. Чтобы число было наименьшим, $a=1$, $b=0$. Сумма известных цифр: $1+0+5=6$. Чтобы общая сумма $6+c$ была кратна 9, $c$ должно быть равно 3. Цифра 3 не использовалась. Получаем число 1035. Сравнивая два полученных числа, 1260 и 1035, выбираем наименьшее.

Ответ: 1035.

679. Запишите наибольшее четырёхзначное число, которое делится нацело:

1) на 2 и на 3;

2) на 3 и на 5;

3) на 3 и на 10;

4) на 2 и на 9.

1) на 2 и на 3
Если число делится на 2 и на 3, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Так как 2 и 3 взаимно простые, $НОК(2, 3) = 2 \cdot 3 = 6$.
Найдём наибольшее четырёхзначное число (максимальное — 9999), кратное 6. Для этого разделим 9999 на 6 и возьмём целую часть от результата:
$9999 \div 6 \approx 1666,66...$ Целая часть равна 1666.
Теперь умножим целую часть на 6, чтобы найти искомое число:
$1666 \cdot 6 = 9996$.
Ответ: 9996

2) на 3 и на 5
Число должно делиться на 3 и на 5, а значит, на их НОК. $НОК(3, 5) = 3 \cdot 5 = 15$.
Найдём наибольшее четырёхзначное число, кратное 15.
$9999 \div 15 \approx 666,66...$ Целая часть равна 666.
Умножим целую часть на 15:
$666 \cdot 15 = 9990$.
Ответ: 9990

3) на 3 и на 10
Число должно делиться на 3 и на 10, следовательно, на их НОК. $НОК(3, 10) = 3 \cdot 10 = 30$.
Найдём наибольшее четырёхзначное число, кратное 30.
$9999 \div 30 \approx 333,33...$ Целая часть равна 333.
Умножим целую часть на 30:
$333 \cdot 30 = 9990$.
Ответ: 9990

4) на 2 и на 9
Число должно делиться на 2 и на 9, то есть на их НОК. $НОК(2, 9) = 2 \cdot 9 = 18$.
Найдём наибольшее четырёхзначное число, кратное 18.
$9999 \div 18 = 555,5$. Целая часть равна 555.
Умножим целую часть на 18:
$555 \cdot 18 = 9990$.
Ответ: 9990

680. Какое наименьшее число надо прибавить к данному, чтобы получить число, кратное 9:

1) 1275; 3) 25 718; 5) 10 203 040;

2) 3333; 4) 987 652; 6) 19 191 919 191?

Для решения задачи используется признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Чтобы найти наименьшее число, которое нужно прибавить к исходному числу для получения числа, кратного 9, нужно найти сумму цифр исходного числа, определить, сколько не хватает до ближайшего числа, кратного 9, и это и будет искомое число.

1) 1275;

Найдем сумму цифр числа 1275: $S = 1 + 2 + 7 + 5 = 15$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $15 \div 9 = 1$ (остаток $6$).

Чтобы сумма цифр стала кратной 9, она должна быть равна ближайшему большему числу, делящемуся на 9, то есть 18. Следовательно, к исходному числу нужно прибавить $18 - 15 = 3$. Или, что то же самое, $9$ минус остаток: $9 - 6 = 3$.

Проверка: $1275 + 3 = 1278$. Сумма цифр числа 1278 равна $1 + 2 + 7 + 8 = 18$, а 18 делится на 9.

Ответ: 3

2) 3333;

Найдем сумму цифр числа 3333: $S = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $12 \div 9 = 1$ (остаток $3$).

Наименьшее число, которое надо прибавить, равно $9 - 3 = 6$.

Проверка: $3333 + 6 = 3339$. Сумма цифр числа 3339 равна $3 + 3 + 3 + 9 = 18$, а 18 делится на 9.

Ответ: 6

3) 25 718;

Найдем сумму цифр числа 25 718: $S = 2 + 5 + 7 + 1 + 8 = 23$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $23 \div 9 = 2$ (остаток $5$).

Наименьшее число, которое надо прибавить, равно $9 - 5 = 4$.

Проверка: $25 718 + 4 = 25 722$. Сумма цифр числа 25 722 равна $2 + 5 + 7 + 2 + 2 = 18$, а 18 делится на 9.

Ответ: 4

4) 987 652;

Найдем сумму цифр числа 987 652: $S = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 2 = 37$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $37 \div 9 = 4$ (остаток $1$).

Наименьшее число, которое надо прибавить, равно $9 - 1 = 8$.

Проверка: $987 652 + 8 = 987 660$. Сумма цифр числа 987 660 равна $9 + 8 + 7 + 6 + 6 + 0 = 36$, а 36 делится на 9.

Ответ: 8

5) 10 203 040;

Найдем сумму цифр числа 10 203 040: $S = 1 + 0 + 2 + 0 + 3 + 0 + 4 + 0 = 10$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $10 \div 9 = 1$ (остаток $1$).

Наименьшее число, которое надо прибавить, равно $9 - 1 = 8$.

Проверка: $10 203 040 + 8 = 10 203 048$. Сумма цифр числа 10 203 048 равна $1 + 0 + 2 + 0 + 3 + 0 + 4 + 8 = 18$, а 18 делится на 9.

Ответ: 8

6) 19 191 919 191;

Найдем сумму цифр числа 19 191 919 191. В этом числе 6 единиц и 5 девяток.

Сумма цифр: $S = 6 \cdot 1 + 5 \cdot 9 = 6 + 45 = 51$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $51 \div 9 = 5$ (остаток $6$).

Наименьшее число, которое надо прибавить, равно $9 - 6 = 3$.

Проверка: Сумма цифр нового числа будет $51 + 3 = 54$, а 54 делится на 9 ($54 = 6 \cdot 9$).

Ответ: 3