Страница 156 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие из чисел 165, 106, 207, 253, 271, 282, 305, 315, 374, 389 делятся нацело:

1) на 2;

2) на 5;

3) на 3;

4) на 9?

1) на 2

Для определения чисел, делящихся нацело на 2, необходимо проверить последнюю цифру каждого числа. Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра является четной (0, 2, 4, 6, 8).

Рассмотрим данный ряд чисел: 165, 106, 207, 253, 271, 282, 305, 315, 374, 389.

• 165 оканчивается на 5 (нечетная).
• 106 оканчивается на 6 (четная).
• 207 оканчивается на 7 (нечетная).
• 253 оканчивается на 3 (нечетная).
• 271 оканчивается на 1 (нечетная).
• 282 оканчивается на 2 (четная).
• 305 оканчивается на 5 (нечетная).
• 315 оканчивается на 5 (нечетная).
• 374 оканчивается на 4 (четная).
• 389 оканчивается на 9 (нечетная).

Следовательно, на 2 делятся числа, оканчивающиеся на четную цифру.

Ответ: 106, 282, 374.

2) на 5

Число делится нацело на 5, если его запись оканчивается на цифру 0 или 5.

Проверим числа из списка:

• 165 оканчивается на 5.
• 106 оканчивается на 6.
• 207 оканчивается на 7.
• 253 оканчивается на 3.
• 271 оканчивается на 1.
• 282 оканчивается на 2.
• 305 оканчивается на 5.
• 315 оканчивается на 5.
• 374 оканчивается на 4.
• 389 оканчивается на 9.

Следовательно, на 5 делятся числа, оканчивающиеся на 5.

Ответ: 165, 305, 315.

3) на 3

Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Вычислим сумму цифр для каждого числа:

• 165: $1 + 6 + 5 = 12$. Сумма 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$).
• 106: $1 + 0 + 6 = 7$. Сумма 7 не делится на 3.
• 207: $2 + 0 + 7 = 9$. Сумма 9 делится на 3 ($9 \div 3 = 3$).
• 253: $2 + 5 + 3 = 10$. Сумма 10 не делится на 3.
• 271: $2 + 7 + 1 = 10$. Сумма 10 не делится на 3.
• 282: $2 + 8 + 2 = 12$. Сумма 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$).
• 305: $3 + 0 + 5 = 8$. Сумма 8 не делится на 3.
• 315: $3 + 1 + 5 = 9$. Сумма 9 делится на 3 ($9 \div 3 = 3$).
• 374: $3 + 7 + 4 = 14$. Сумма 14 не делится на 3.
• 389: $3 + 8 + 9 = 20$. Сумма 20 не делится на 3.

Следовательно, на 3 делятся числа, сумма цифр которых кратна 3.

Ответ: 165, 207, 282, 315.

4) на 9

Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Воспользуемся суммами цифр, вычисленными в предыдущем пункте:

• 165: сумма цифр 12. 12 не делится на 9.
• 106: сумма цифр 7. 7 не делится на 9.
• 207: сумма цифр 9. 9 делится на 9 ($9 \div 9 = 1$).
• 253: сумма цифр 10. 10 не делится на 9.
• 271: сумма цифр 10. 10 не делится на 9.
• 282: сумма цифр 12. 12 не делится на 9.
• 305: сумма цифр 8. 8 не делится на 9.
• 315: сумма цифр 9. 9 делится на 9 ($9 \div 9 = 1$).
• 374: сумма цифр 14. 14 не делится на 9.
• 389: сумма цифр 20. 20 не делится на 9.

Следовательно, на 9 делятся числа, сумма цифр которых кратна 9.

Ответ: 207, 315.

2. Назовите все делители числа: 1) 28; 2) 29; 3) 31.

1) 28

Делитель числа — это целое число, на которое данное число делится без остатка. Чтобы найти все делители числа 28, будем последовательно проверять натуральные числа, начиная с 1, и находить парные им делители.

$28 \div 1 = 28$. Таким образом, 1 и 28 являются делителями.

$28 \div 2 = 14$. Таким образом, 2 и 14 являются делителями.

Число 28 не делится на 3 без остатка.

$28 \div 4 = 7$. Таким образом, 4 и 7 являются делителями.

Число 28 не делится на 5 и 6 без остатка. Следующий делитель — 7, который уже найден. Это означает, что мы перечислили все возможные делители.

Перечислим все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Ответ: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

2) 29

Чтобы найти все делители числа 29, начнем проверку с 1.

$29 \div 1 = 29$. Таким образом, 1 и 29 являются делителями.

Далее проверим, есть ли у числа 29 другие делители. Для этого достаточно проверить делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{29} \approx 5.4$. Это числа 2, 3, 5.

• 29 — нечетное число, значит на 2 не делится.
• Сумма цифр числа 29 равна $2+9=11$, что не делится на 3, значит и 29 на 3 не делится.
• Число 29 не оканчивается на 0 или 5, значит на 5 не делится.

Так как число 29 не имеет других делителей, кроме 1 и самого себя, оно является простым числом.

Ответ: 1, 29.

3) 31

Чтобы найти все делители числа 31, начнем проверку с 1.

$31 \div 1 = 31$. Таким образом, 1 и 31 являются делителями.

Проверим наличие других делителей, проверяя делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{31} \approx 5.6$. Это числа 2, 3, 5.

• 31 — нечетное число, значит на 2 не делится.
• Сумма цифр числа 31 равна $3+1=4$, что не делится на 3, значит и 31 на 3 не делится.
• Число 31 не оканчивается на 0 или 5, значит на 5 не делится.

Так как число 31 не имеет других делителей, кроме 1 и самого себя, оно также является простым числом.

Ответ: 1, 31.

3. Число 204 равно произведению чисел 34 и 6. Является ли число 34 делителем числа 204? А число 6?

По условию задачи нам дано равенство: $204 = 34 \times 6$.

Число a является делителем числа b, если число b делится на a без остатка, то есть существует такое целое число c, что выполняется равенство $b = a \times c$.

Является ли число 34 делителем числа 204?

Из условия мы знаем, что $204 = 34 \times 6$. Это равенство полностью соответствует определению делителя, где $b = 204$, $a = 34$, а $c = 6$. Поскольку при делении 204 на 34 получается целое число 6, то 34 является делителем числа 204.

Проверим делением: $204 \div 34 = 6$.

Ответ: да, является.

А число 6?

Рассмотрим то же равенство: $204 = 34 \times 6$. В силу переместительного свойства умножения, мы можем записать его как $204 = 6 \times 34$.

Это равенство также соответствует определению делителя, где $b = 204$, $a = 6$, а $c = 34$. Поскольку при делении 204 на 6 получается целое число 34, то 6 является делителем числа 204.

Проверим делением: $204 \div 6 = 34$.

Ответ: да, является.

4. Чему равно частное чисел 945 и 9? Является ли полученное частное делителем числа 945?

Чему равно частное чисел 945 и 9?

Чтобы найти частное чисел 945 и 9, нужно выполнить деление числа 945 на 9. Это можно сделать в столбик или разложив делимое на удобные слагаемые.

Разложим число 945 на сумму слагаемых, каждое из которых легко делится на 9:

$945 = 900 + 45$

Теперь разделим каждое слагаемое на 9 и сложим результаты:

$945 \div 9 = (900 + 45) \div 9 = (900 \div 9) + (45 \div 9) = 100 + 5 = 105$

Таким образом, частное чисел 945 и 9 равно 105.

Ответ: 105.

Является ли полученное частное делителем числа 945?

Полученное частное — это число 105. Делителем числа называется такое число, на которое исходное число делится без остатка.

Чтобы проверить, является ли 105 делителем числа 945, нужно разделить 945 на 105 и посмотреть, будет ли результат целым числом.

Из первого вычисления мы знаем, что $945 \div 9 = 105$.

Это равенство можно представить в виде произведения: $945 = 9 \times 105$.

Из этого произведения видно, что число 945 делится на 105 нацело, и результатом этого деления будет 9.

$945 \div 105 = 9$

Поскольку результат деления (число 9) является целым числом, то 105 является делителем числа 945.

Ответ: Да, является.

5. У Пети было на 156 р. больше, чем у Димы. После того как Петя купил новую книгу, у него стало на 142 р. меньше, чем у Димы. Сколько стоила книга?

Для решения задачи обозначим переменными:

• $П$ — начальная сумма денег у Пети.
• $Д$ — сумма денег у Димы.
• $К$ — стоимость книги.

Из условия задачи составим два уравнения, описывающие ситуацию до и после покупки книги.

1. До покупки у Пети было на 156 рублей больше, чем у Димы. Это можно записать в виде уравнения:
$П = Д + 156$

2. После покупки книги, на которую Петя потратил $К$ рублей, у него осталось $(П - К)$ рублей. Эта сумма была на 142 рубля меньше, чем у Димы:
$П - К = Д - 142$

Теперь у нас есть система уравнений. Чтобы найти стоимость книги $К$, подставим выражение для $П$ из первого уравнения во второе:
$(Д + 156) - К = Д - 142$

Решим полученное уравнение. Переменная $Д$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому ее можно сократить:
$156 - К = -142$

Теперь выразим $К$:
$К = 156 - (-142)$
$К = 156 + 142$
$К = 298$

Таким образом, стоимость книги составляет 298 рублей.

Эту задачу также можно решить с помощью логических рассуждений. Разница в сумме денег между Петей и Димой изменилась с "у Пети на 156 р. больше" до "у Пети на 142 р. меньше". Общее изменение составляет сумму этих двух величин. То есть, чтобы сначала догнать Диму по деньгам, Пете нужно было потратить 156 рублей, а затем, чтобы у него стало на 142 рубля меньше, ему нужно было потратить еще 142 рубля. Общая сумма, потраченная на книгу, равна:
$156 + 142 = 298$ рублей.

Ответ: 298 рублей.

687. Среди чисел 1, 3, 6, 7, 12, 13, 21, 23, 24, 28, 29, 33, 45, 46, 47 укажите:

1) простые;

2) составные.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждое число из предложенного списка и определить, является ли оно простым или составным.

Напомним определения:
- Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.
- Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым (имеет более двух делителей).
- Число 1 не является ни простым, ни составным.

Данный нам список чисел: 1, 3, 6, 7, 12, 13, 21, 23, 24, 28, 29, 33, 45, 46, 47.

1) простые

Проверим каждое число из списка. Простое число делится без остатка только на 1 и на само себя.

• Число 3: делится только на 1 и 3. Является простым.
• Число 7: делится только на 1 и 7. Является простым.
• Число 13: делится только на 1 и 13. Является простым.
• Число 23: делится только на 1 и 23. Является простым.
• Число 29: делится только на 1 и 29. Является простым.
• Число 47: делится только на 1 и 47. Является простым.

Остальные числа из списка (кроме 1) имеют другие делители, поэтому они не являются простыми.

Ответ: 3, 7, 13, 23, 29, 47.

2) составные

Составное число имеет делители, отличные от 1 и самого себя.

• Число 6: делится на 1, 2, 3, 6. Составное, так как $6 = 2 \times 3$.
• Число 12: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. Составное, так как $12 = 3 \times 4$.
• Число 21: делится на 1, 3, 7, 21. Составное, так как $21 = 3 \times 7$.
• Число 24: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Составное, так как $24 = 4 \times 6$.
• Число 28: делится на 1, 2, 4, 7, 14, 28. Составное, так как $28 = 4 \times 7$.
• Число 33: делится на 1, 3, 11, 33. Составное, так как $33 = 3 \times 11$.
• Число 45: делится на 1, 3, 5, 9, 15, 45. Составное, так как $45 = 5 \times 9$.
• Число 46: делится на 1, 2, 23, 46. Составное, так как $46 = 2 \times 23$.

Число 1 не является составным. Простые числа, найденные в предыдущем пункте, также не являются составными.

Ответ: 6, 12, 21, 24, 28, 33, 45, 46.

688. Запишите все делители данного числа, подчеркните те из них, которые являются простыми числами:

1) $21$;

2) $30$;

3) $48$;

4) $54$.

Для решения этой задачи необходимо для каждого числа найти все его натуральные делители, а затем среди этих делителей определить, какие из них являются простыми. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя.

1) 21
Найдем все пары множителей, произведение которых равно 21:
$1 \cdot 21 = 21$
$3 \cdot 7 = 21$
Таким образом, делителями числа 21 являются: 1, 3, 7, 21.
Из этих чисел простыми являются 3 и 7, так как они делятся только на 1 и на самих себя. Число 1 не является простым по определению, а 21 делится на 3 и 7.
Подчеркнем простые делители.
Ответ: 1, 3, 7, 21.

2) 30
Найдем все пары множителей, произведение которых равно 30:
$1 \cdot 30 = 30$
$2 \cdot 15 = 30$
$3 \cdot 10 = 30$
$5 \cdot 6 = 30$
Таким образом, делителями числа 30 являются: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Из этих чисел простыми являются 2, 3 и 5.
Подчеркнем простые делители.
Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

3) 48
Найдем все пары множителей, произведение которых равно 48:
$1 \cdot 48 = 48$
$2 \cdot 24 = 48$
$3 \cdot 16 = 48$
$4 \cdot 12 = 48$
$6 \cdot 8 = 48$
Таким образом, делителями числа 48 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Из этих чисел простыми являются 2 и 3.
Подчеркнем простые делители.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

4) 54
Найдем все пары множителей, произведение которых равно 54:
$1 \cdot 54 = 54$
$2 \cdot 27 = 54$
$3 \cdot 18 = 54$
$6 \cdot 9 = 54$
Таким образом, делителями числа 54 являются: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
Из этих чисел простыми являются 2 и 3.
Подчеркнем простые делители.
Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.

689. Является ли составным число:

1) $8246$;

2) $11415$;

3) $528$;

4) $56270$?

Ответ обоснуйте.

Составное число — это натуральное число, которое имеет делители, отличные от единицы и самого себя. Чтобы доказать, что число является составным, достаточно найти хотя бы один такой делитель. Для этого воспользуемся признаками делимости.

1) 8246: Число оканчивается на четную цифру 6. Согласно признаку делимости на 2, такое число делится на 2. Поскольку 8246 имеет делитель (2), отличный от 1 и самого себя, оно является составным. Проверка: $8246 \div 2 = 4123$.
Ответ: да, является составным.

2) 11 415: Число оканчивается на цифру 5. Согласно признаку делимости на 5, такое число делится на 5. Поскольку 11 415 имеет делитель (5), отличный от 1 и самого себя, оно является составным. Проверка: $11415 \div 5 = 2283$.
Ответ: да, является составным.

3) 528: Число оканчивается на четную цифру 8. Согласно признаку делимости на 2, такое число делится на 2. Поскольку 528 имеет делитель (2), отличный от 1 и самого себя, оно является составным. Проверка: $528 \div 2 = 264$.
Ответ: да, является составным.

4) 56 270: Число оканчивается на цифру 0. Согласно признаку делимости на 10, такое число делится на 10 (а также на 2 и 5). Поскольку 56 270 имеет делитель (10), отличный от 1 и самого себя, оно является составным. Проверка: $56270 \div 10 = 5627$.
Ответ: да, является составным.

690. Разложите на простые множители число:

1) 12;

2) 42;

3) 45;

4) 72.

1) 12

Для разложения числа 12 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьшие простые числа.

12 является четным числом, поэтому делим его на 2:
$12 \div 2 = 6$

Результат 6 также является четным, снова делим на 2:
$6 \div 2 = 3$

Результат 3 — это простое число, которое делится только на само себя и на 1. Делим его на 3:
$3 \div 3 = 1$

Процесс деления завершен. Простые множители числа 12 — это делители, которые мы использовали: 2, 2 и 3.
Следовательно, разложение числа 12 на простые множители имеет вид: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ или в степенной форме $12 = 2^2 \cdot 3$.

Ответ: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.

2) 42

Разложим число 42 на простые множители.

42 — четное число, делим на 2:
$42 \div 2 = 21$

Число 21 нечетное. Проверим делимость на следующее простое число, 3. Сумма цифр числа 21 ($2+1=3$) делится на 3, значит, и 21 делится на 3:
$21 \div 3 = 7$

Число 7 является простым, делим его на 7:
$7 \div 7 = 1$

Простые множители числа 42: 2, 3 и 7.
Разложение: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

Ответ: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

3) 45

Разложим число 45 на простые множители.

45 — нечетное число. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр $4+5=9$ делится на 3, поэтому 45 делится на 3:
$45 \div 3 = 15$

Число 15 также делится на 3:
$15 \div 3 = 5$

Число 5 — простое, делим на 5:
$5 \div 5 = 1$

Простые множители числа 45: 3, 3 и 5.
Разложение: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$ или в степенной форме $45 = 3^2 \cdot 5$.

Ответ: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$.

4) 72

Разложим число 72 на простые множители.

72 — четное число, делим на 2:
$72 \div 2 = 36$

36 — четное число, делим на 2:
$36 \div 2 = 18$

18 — четное число, делим на 2:
$18 \div 2 = 9$

Число 9 нечетное. Делим его на 3:
$9 \div 3 = 3$

3 — простое число, делим на 3:
$3 \div 3 = 1$

Простые множители числа 72: 2, 2, 2, 3 и 3.
Разложение: $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ или в степенной форме $72 = 2^3 \cdot 3^2$.

Ответ: $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$.

691. Разложите на простые множители число:

1) 27;

2) 56;

3) 98;

4) 88.

1) 27;

Чтобы разложить число на простые множители, нужно последовательно делить его на простые числа, начиная с наименьшего.

Число 27 не делится на 2, так как оно нечетное.

Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 27 равна $2 + 7 = 9$. Так как 9 делится на 3, то и 27 делится на 3.

$27 : 3 = 9$

Теперь разложим число 9. Оно также делится на 3.

$9 : 3 = 3$

Число 3 — простое, поэтому деление закончено.

Таким образом, разложение числа 27 на простые множители выглядит так: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$. Это можно записать в виде степени: $3^3$.

Ответ: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$.

2) 56;

Разложим число 56. Начнем с наименьшего простого числа — 2.

Число 56 — четное, поэтому оно делится на 2.

$56 : 2 = 28$

Полученное число 28 также четное, снова делим на 2.

$28 : 2 = 14$

Число 14 тоже четное, делим его на 2.

$14 : 2 = 7$

Число 7 — простое. Разложение завершено.

Таким образом, разложение числа 56 на простые множители: $56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$. В виде степени это $2^3 \cdot 7$.

Ответ: $56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$.

3) 98;

Разложим число 98. Число четное, значит, оно делится на 2.

$98 : 2 = 49$

Теперь разложим число 49. Оно нечетное, поэтому на 2 не делится. Сумма его цифр $4+9=13$ не делится на 3. Число не оканчивается на 0 или 5, значит, не делится на 5.

Проверим следующее простое число — 7.

$49 : 7 = 7$

Число 7 — простое. Разложение завершено.

Таким образом, разложение числа 98 на простые множители: $98 = 2 \cdot 7 \cdot 7$. В виде степени это $2 \cdot 7^2$.

Ответ: $98 = 2 \cdot 7 \cdot 7$.

4) 88.

Разложим число 88. Это четное число, поэтому делим его на 2.

$88 : 2 = 44$

Полученное число 44 также четное, снова делим на 2.

$44 : 2 = 22$

Число 22 тоже четное, делим его на 2.

$22 : 2 = 11$

Число 11 — простое. Разложение завершено.

Таким образом, разложение числа 88 на простые множители: $88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11$. В виде степени это $2^3 \cdot 11$.

Ответ: $88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11$.

692. Запишите:

1) все простые числа, которые больше 10 и меньше 25;

2) все составные числа, которые больше 35 и меньше 49.

1) все простые числа, которые больше 10 и меньше 25;
Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Нам нужно найти все такие числа в интервале от 10 до 25 (не включая концы).
Рассмотрим все целые числа в этом диапазоне: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24.
Проверим каждое из них на наличие делителей, отличных от 1 и самого себя:
- 11 — делится только на 1 и 11, следовательно, это простое число.
- 12 — делится на 2, 3, 4, 6. Это составное число ($12 = 2 \cdot 6$).
- 13 — делится только на 1 и 13, следовательно, это простое число.
- 14 — делится на 2 и 7. Это составное число ($14 = 2 \cdot 7$).
- 15 — делится на 3 и 5. Это составное число ($15 = 3 \cdot 5$).
- 16 — делится на 2, 4, 8. Это составное число ($16 = 4 \cdot 4$).
- 17 — делится только на 1 и 17, следовательно, это простое число.
- 18 — делится на 2, 3, 6, 9. Это составное число ($18 = 2 \cdot 9$).
- 19 — делится только на 1 и 19, следовательно, это простое число.
- 20 — делится на 2, 4, 5, 10. Это составное число ($20 = 4 \cdot 5$).
- 21 — делится на 3 и 7. Это составное число ($21 = 3 \cdot 7$).
- 22 — делится на 2 и 11. Это составное число ($22 = 2 \cdot 11$).
- 23 — делится только на 1 и 23, следовательно, это простое число.
- 24 — делится на 2, 3, 4, 6, 8, 12. Это составное число ($24 = 4 \cdot 6$).
Таким образом, простыми числами в заданном диапазоне являются: 11, 13, 17, 19, 23.
Ответ: 11, 13, 17, 19, 23.

2) все составные числа, которые больше 35 и меньше 49.
Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Нам нужно найти все такие числа в интервале от 35 до 49 (не включая концы).
Рассмотрим все целые числа в этом диапазоне: 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48.
Проверим каждое из них, исключая простые числа:
- 36 — составное, так как делится на 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ($36 = 6 \cdot 6$).
- 37 — простое, так как делится только на 1 и 37.
- 38 — составное, так как является четным ($38 = 2 \cdot 19$).
- 39 — составное, так как сумма цифр $3+9=12$ делится на 3 ($39 = 3 \cdot 13$).
- 40 — составное, так как оканчивается на 0, значит делится на 10 и 5 ($40 = 4 \cdot 10$).
- 41 — простое, так как делится только на 1 и 41.
- 42 — составное, так как является четным ($42 = 2 \cdot 21$).
- 43 — простое, так как делится только на 1 и 43.
- 44 — составное, так как является четным ($44 = 4 \cdot 11$).
- 45 — составное, так как оканчивается на 5, значит делится на 5 ($45 = 5 \cdot 9$).
- 46 — составное, так как является четным ($46 = 2 \cdot 23$).
- 47 — простое, так как делится только на 1 и 47.
- 48 — составное, так как является четным ($48 = 6 \cdot 8$).
Таким образом, составными числами в заданном диапазоне являются: 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48.
Ответ: 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48.

693. Запишите:

1) все простые числа, которые больше 22 и меньше 38;

2) все составные числа, которые больше 60 и меньше 78.

1) все простые числа, которые больше 22 и меньше 38;

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Чтобы найти все простые числа в интервале от 22 до 38 (не включая концы), необходимо проверить каждое целое число в этом диапазоне.

Рассматриваемый диапазон чисел: от 23 до 37 включительно.

Проанализируем числа по порядку:
- 23: является простым, так как делится только на 1 и 23.
- 24: чётное, делится на 2, значит, составное.
- 25: оканчивается на 5, делится на 5, значит, составное.
- 26: чётное, делится на 2, значит, составное.
- 27: сумма цифр $2+7=9$ делится на 3, значит, составное.
- 28: чётное, делится на 2, значит, составное.
- 29: является простым, так как делится только на 1 и 29.
- 30: чётное, делится на 2, значит, составное.
- 31: является простым, так как делится только на 1 и 31.
- 32: чётное, делится на 2, значит, составное.
- 33: сумма цифр $3+3=6$ делится на 3, значит, составное.
- 34: чётное, делится на 2, значит, составное.
- 35: оканчивается на 5, делится на 5, значит, составное.
- 36: чётное, делится на 2, значит, составное.
- 37: является простым, так как делится только на 1 и 37.

Простые числа в данном интервале: 23, 29, 31, 37.

Ответ: 23, 29, 31, 37.

2) все составные числа, которые больше 60 и меньше 78.

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Чтобы найти все составные числа в интервале от 60 до 78 (не включая концы), необходимо проверить каждое целое число в этом диапазоне.

Рассматриваемый диапазон чисел: от 61 до 77 включительно.

Проанализируем числа по порядку, отсеивая простые:
- 61: простое.
- 62: составное (чётное, $62 = 2 \cdot 31$).
- 63: составное (сумма цифр $6+3=9$ делится на 3).
- 64: составное (чётное).
- 65: составное (оканчивается на 5).
- 66: составное (чётное).
- 67: простое.
- 68: составное (чётное).
- 69: составное (сумма цифр $6+9=15$ делится на 3).
- 70: составное (оканчивается на 0).
- 71: простое.
- 72: составное (чётное).
- 73: простое.
- 74: составное (чётное).
- 75: составное (оканчивается на 5).
- 76: составное (чётное).
- 77: составное (делится на 7 и 11, $77=7 \cdot 11$).

Составные числа в данном интервале: 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77.

Ответ: 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77.

694. Простым или составным числом является произведение:

1) $13 \cdot 1$;

2) $14 \cdot 1$;

3) $4 \cdot 7$;

4) $11 \cdot 13$;

5) $43 \cdot 1$;

6) $1 \cdot 111$?

Для решения этой задачи необходимо определить, является ли результат каждого произведения простым или составным числом. Напомним, что простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Составное число — это натуральное число больше 1, которое имеет более двух делителей.

1) 13 · 1
Произведение равно $13 \cdot 1 = 13$. Число 13 является простым, так как его делителями являются только 1 и 13. Ответ: простое.

2) 14 · 1
Произведение равно $14 \cdot 1 = 14$. Число 14 является составным, так как оно имеет делители, отличные от 1 и 14, например, 2 и 7 ($14 = 2 \cdot 7$). Ответ: составное.

3) 4 · 7
Произведение равно $4 \cdot 7 = 28$. Число 28 является составным, так как уже из записи произведения видно, что оно имеет делители 4 и 7. Ответ: составное.

4) 11 · 13
Произведение равно $11 \cdot 13 = 143$. Это число является составным, так как из записи произведения видно, что оно имеет делители 11 и 13. Ответ: составное.

5) 43 · 1
Произведение равно $43 \cdot 1 = 43$. Число 43 является простым, так как его делителями являются только 1 и 43. Ответ: простое.

6) 1 · 111
Произведение равно $1 \cdot 111 = 111$. Число 111 является составным. Это можно проверить с помощью признака делимости на 3: сумма цифр числа 111 равна $1 + 1 + 1 = 3$. Так как 3 делится на 3, то и само число 111 делится на 3 ($111 = 3 \cdot 37$). Ответ: составное.

695. Задумали простое число. Известно, что следующее за ним натуральное число тоже простое. Какое число задумали?

Пусть задуманное простое число — это $p$. По условию задачи, следующее за ним натуральное число, то есть $p + 1$, также является простым. Таким образом, нам нужно найти два идущих подряд натуральных числа, каждое из которых является простым.

Из двух последовательных натуральных чисел одно всегда является четным, а другое — нечетным.

Единственным четным простым числом является 2. Любое другое четное число больше 2 и делится на 2, а значит, является составным.

Следовательно, одно из чисел в паре ($p$, $p + 1$) должно быть равно 2. Рассмотрим два возможных варианта:

1. Если $p = 2$. Число 2 — простое. Следующее за ним число $p + 1 = 3$. Число 3 также является простым. Этот вариант удовлетворяет условию задачи. Задуманное число — 2.
2. Если $p + 1 = 2$. Тогда $p = 1$. Но число 1 по определению не является ни простым, ни составным. Следовательно, этот вариант не подходит.

Таким образом, единственная пара последовательных простых чисел — это 2 и 3. Задуманное число — это первое из них.

Ответ: 2

696. Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом? В случае утвердительного ответа приведите пример.

Да, сумма двух простых чисел может быть простым числом.

Чтобы это доказать, рассмотрим свойства простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Единственное четное простое число — это 2. Все остальные простые числа (3, 5, 7, 11 и т.д.) являются нечетными.

Рассмотрим два случая:

1. Если сложить два нечетных простых числа, то их сумма всегда будет четным числом (например, $3 + 5 = 8$ или $7 + 13 = 20$). Любое четное число, большее 2, является составным, так как оно делится на 2. Значит, сумма двух нечетных простых чисел не может быть простым числом.
2. Если одно из слагаемых — это четное простое число 2, а второе — нечетное простое число, то их сумма будет нечетным числом (например, $2 + 3 = 5$). Нечетное число может быть простым.

Приведем пример, подтверждающий утвердительный ответ. Возьмем простые числа 2 и 3. Найдем их сумму:

$2 + 3 = 5$

Числа 2 и 3 являются простыми. Их сумма, число 5, также является простым числом.

Ответ: Да, может. Например, $2 + 3 = 5$.