Страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое число называют наибольшим общим делителем двух чисел?

Наибольшим общим делителем (сокращенно НОД) двух натуральных чисел называют самое большое натуральное число, на которое оба этих числа делятся без остатка.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, нужно найти все делители для каждого из них, затем выписать общие делители и выбрать из них самый большой.

Рассмотрим пример для чисел 18 и 30:
1. Находим все натуральные делители числа 18. Это числа: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
2. Находим все натуральные делители числа 30. Это числа: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
3. Выбираем общие делители для 18 и 30. Это числа: 1, 2, 3, 6.
4. Самое большое из этих общих делителей — это число 6.
Следовательно, наибольший общий делитель чисел 18 и 30 равен 6. Это записывается так: $НОД(18, 30) = 6$.

Ответ: Наибольшим общим делителем двух чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка оба исходных числа.

2. Какие числа называют взаимно простыми?

наибольший общий делитель двух чисел, одно из кото

Взаимно простыми называют два натуральных числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы. Иными словами, их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Для того чтобы определить, являются ли два числа $a$ и $b$ взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель. Если $НОД(a, b) = 1$, то числа взаимно простые.

Пример 1: Возьмем числа 8 и 9.
Делители числа 8: {1, 2, 4, 8}.
Делители числа 9: {1, 3, 9}.
Единственный общий делитель — это 1. Значит, $НОД(8, 9) = 1$. Следовательно, числа 8 и 9 являются взаимно простыми. Важно отметить, что сами числа не обязаны быть простыми. В данном примере и 8, и 9 — составные числа.

Пример 2: Возьмем числа 12 и 15.
Делители числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Делители числа 15: {1, 3, 5, 15}.
Общие делители — это 1 и 3. Наибольший общий делитель равен 3. Значит, $НОД(12, 15) = 3$. Так как НОД не равен 1, числа 12 и 15 не являются взаимно простыми.

Ответ: Взаимно простыми называют натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1.

3. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых кратно другому?

Пусть даны два натуральных числа, которые мы обозначим как $a$ и $b$.

По условию задачи, одно из этих чисел кратно другому. Допустим, что число $a$ кратно числу $b$. Это означает, что $a$ делится на $b$ без остатка. Такое соотношение можно записать в виде формулы: $a = k \cdot b$, где $k$ — некоторое натуральное число ($k \ge 1$).

Нам необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) этих двух чисел. НОД($a$, $b$) — это самое большое натуральное число, на которое делятся и $a$, и $b$.

Рассмотрим множество делителей числа $b$. Любой делитель числа $b$ также будет являться делителем и числа $a$. Докажем это. Пусть $d$ — любой делитель числа $b$. Тогда по определению делителя, $b = m \cdot d$ для некоторого целого числа $m$. Подставим это выражение для $b$ в нашу исходную формулу: $a = k \cdot b = k \cdot (m \cdot d) = (k \cdot m) \cdot d$. Это равенство показывает, что число $a$ также делится на $d$ без остатка.

Таким образом, любой делитель числа $b$ является также и делителем числа $a$. Это означает, что множество всех общих делителей чисел $a$ и $b$ полностью совпадает с множеством всех делителей числа $b$.

Наибольший общий делитель — это самый большой из всех общих делителей. Поскольку множество общих делителей совпадает с множеством делителей числа $b$, нам нужно найти самый большой делитель числа $b$. Наибольшим делителем любого натурального числа является само это число.

Следовательно, НОД($a$, $b$) = $b$.

Из условия $a = k \cdot b$ (где $k \ge 1$) следует, что $a \ge b$. Таким образом, число $b$ является меньшим из двух чисел (или равным, если $k=1$).

Пример: Возьмем числа 36 и 12. Число 36 кратно 12, так как $36 = 3 \cdot 12$. Делители числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Делители числа 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. Общие делители: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Наибольший из общих делителей — 12. НОД(36, 12) = 12. Как мы и доказали, НОД равен меньшему из двух чисел.

Ответ: Наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых кратно другому, равен меньшему из этих чисел.

4. Какое число называют наименьшим общим кратным двух чисел?

Наименьшим общим кратным (сокращенно НОК) двух натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Чтобы лучше понять это определение, рассмотрим его составляющие:

Кратное числа. Число называется кратным для данного числа a, если оно делится на a нацело. Например, для числа 7 кратными являются числа 7, 14, 21, 28, 35 и так далее.

Общее кратное. Это число, которое является кратным для каждого из рассматриваемых чисел. Например, для чисел 4 и 6 общими кратными будут числа, которые делятся и на 4, и на 6 одновременно: 12, 24, 36, 48 и так далее.

Наименьшее общее кратное. Это самое маленькое положительное число из всех общих кратных. Для чисел 4 и 6 наименьшим общим кратным является 12. Математически это записывается как $НОК(4, 6) = 12$.

Пример нахождения НОК для чисел 8 и 12:
1. Выпишем последовательно числа, кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
2. Выпишем последовательно числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, ...
3. Найдем первое (наименьшее) число, которое встречается в обеих последовательностях. Это число 24.
Следовательно, $НОК(8, 12) = 24$.

Ответ: Наименьшим общим кратным двух чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

5. Чему равно наименьшее общее кратное двух чисел, одно из которых является делителем другого?

Для ответа на этот вопрос давайте сначала разберем основные понятия.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наименьшее натуральное число, которое делится нацело и на $a$, и на $b$. Обозначается как НОК($a$, $b$).

Делитель: число $a$ является делителем числа $b$, если $b$ можно разделить на $a$ без остатка. Это значит, что существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство $b = k \cdot a$. Из этого равенства также следует, что $b \ge a$. Число $b$ в этом случае называется кратным для числа $a$.

В условии задачи даны два числа, одно из которых является делителем другого. Обозначим эти числа как $a$ и $b$. Пусть для определенности число $a$ является делителем числа $b$. Тогда, согласно определению, $b$ делится на $a$ без остатка.

Нам необходимо найти НОК($a$, $b$). По определению НОК, искомое число должно быть кратно как $a$, так и $b$. Давайте проверим, подходит ли число $b$ на роль общего кратного:

1. Делится ли $b$ на $a$? Да, это следует из условия, что $a$ — делитель $b$.
2. Делится ли $b$ на $b$? Да, любое число делится само на себя ($b = 1 \cdot b$).

Таким образом, число $b$ является общим кратным для чисел $a$ и $b$.

Теперь выясним, является ли $b$ наименьшим общим кратным. Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ по определению должно делиться на $b$. Наименьшим натуральным числом, которое делится на $b$, является само число $b$. Все остальные числа, кратные $b$ (например, $2b$, $3b$ и т.д.), будут больше, чем $b$.

Следовательно, так как $b$ является общим кратным для $a$ и $b$ и одновременно наименьшим из всех возможных кратных числа $b$, то оно и будет наименьшим общим кратным для пары чисел $a$ и $b$.

Пример:
Возьмем числа 7 и 21. Число 7 является делителем числа 21, так как $21 = 3 \cdot 7$.
Найдем НОК(7, 21).
Кратные числа 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...
Кратные числа 21: 21, 42, 63, ...
Общими кратными являются числа 21, 42, и т.д. Наименьшее из них — 21. Это большее из двух исходных чисел.

Таким образом, если одно из двух чисел является делителем другого, то их наименьшее общее кратное равно большему из этих двух чисел (то есть тому числу, которое является кратным).

Ответ: Наименьшее общее кратное этих двух чисел равно большему из них (тому, которое делится на другое).

6. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

6.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо разобраться в определениях взаимно простых чисел и наименьшего общего кратного (НОК).

Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы. Иными словами, их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Например, числа 7 и 10 являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей, кроме 1. $НОД(7, 10) = 1$. Точно так же числа 15 и 28 являются взаимно простыми ($15 = 3 \cdot 5$, $28 = 2^2 \cdot 7$), у них нет общих простых множителей, поэтому $НОД(15, 28) = 1$.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) двух любых натуральных чисел $a$ и $b$ существует фундаментальная формула:
$НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$

Поскольку мы рассматриваем взаимно простые числа, мы знаем, что их $НОД(a, b) = 1$. Подставим это значение в формулу:
$НОК(a, b) \cdot 1 = a \cdot b$

Упростив это выражение, мы получаем правило для нахождения НОК взаимно простых чисел:
$НОК(a, b) = a \cdot b$

Таким образом, наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

Пример: Найти НОК взаимно простых чисел 9 и 11.
Так как $НОД(9, 11) = 1$, то $НОК(9, 11) = 9 \cdot 11 = 99$.

Ответ: Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

1. Назовите два числа, одно из которых:

1) на 72 больше другого;

2) на 51 меньше другого;

3) в 9 раз меньше другого;

4) в 4 раза больше другого.

1) на 72 больше другого;

Для решения этой задачи нужно найти два числа, разница между которыми равна 72. Обозначим меньшее число как $x$. Тогда большее число будет равно $x + 72$. Мы можем выбрать любое значение для $x$.
Например, пусть $x = 10$.
Тогда второе число будет $10 + 72 = 82$.
Проверим: $82 - 10 = 72$. Число 82 действительно на 72 больше, чем 10.

Ответ: 10 и 82.

2) на 51 меньше другого;

Это условие аналогично предыдущему. Если одно число на 51 меньше другого, значит, разница между ними равна 51. Обозначим меньшее число как $y$. Тогда большее число будет равно $y + 51$. Выберем произвольное значение для $y$.
Например, пусть $y = 20$.
Тогда второе число будет $20 + 51 = 71$.
Проверим: $71 - 20 = 51$. Число 20 на 51 меньше, чем 71.

Ответ: 20 и 71.

3) в 9 раз меньше другого;

В этом случае одно число получается делением другого на 9. Обозначим меньшее число как $a$. Тогда большее число будет равно $9 \times a$. Выберем любое значение для $a$ (кроме нуля).
Например, пусть $a = 5$.
Тогда второе число будет $9 \times 5 = 45$.
Проверим: $45 / 5 = 9$. Число 5 в 9 раз меньше, чем 45.

Ответ: 5 и 45.

4) в 4 раза больше другого.

Здесь одно число получается умножением другого на 4. Обозначим меньшее число как $b$. Тогда большее число будет равно $4 \times b$. Выберем любое значение для $b$ (кроме нуля).
Например, пусть $b = 7$.
Тогда второе число будет $4 \times 7 = 28$.
Проверим: $28 / 7 = 4$. Число 28 в 4 раза больше, чем 7.

Ответ: 28 и 7.

2. Какие из следующих уравнений не имеют корней:

1) $2x = x;$

2) $0x = 0;$

3) $3 - x = 3;$

4) $0x = 6;$

5) $x \cdot x = x;$

6) $8x = 0?$

Проанализируем каждое уравнение, чтобы определить, имеет ли оно корни.

1) $2x = x$
Перенесем $x$ из правой части уравнения в левую, изменив знак:
$2x - x = 0$
$x = 0$
Уравнение имеет один корень.
Ответ: уравнение имеет корень ($x=0$).

2) $0x = 0$
Левая часть уравнения, $0 \cdot x$, равна нулю при любом значении $x$. Так как правая часть также равна нулю, мы получаем тождество $0 = 0$, которое верно для любого числа.
Следовательно, любое число является корнем этого уравнения.
Ответ: уравнение имеет бесконечно много корней.

3) $3 - x = 3$
Вычтем 3 из обеих частей уравнения:
$3 - x - 3 = 3 - 3$
$-x = 0$
Умножив обе части на -1, получим:
$x = 0$
Уравнение имеет один корень.
Ответ: уравнение имеет корень ($x=0$).

4) $0x = 6$
Левая часть уравнения, $0 \cdot x$, равна нулю при любом значении $x$. Правая часть равна 6. Мы получаем равенство $0 = 6$, которое является неверным.
Не существует такого значения $x$, при котором это равенство было бы верным.
Ответ: уравнение не имеет корней.

5) $x \cdot x = x$
Перепишем уравнение: $x^2 = x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x - 1 = 0$
Отсюда получаем два корня: $x = 0$ и $x = 1$.
Ответ: уравнение имеет корни ($x=0$ и $x=1$).

6) $8x = 0$
Разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{0}{8}$
$x = 0$
Уравнение имеет один корень.
Ответ: уравнение имеет корень ($x=0$).

Таким образом, единственное уравнение из списка, которое не имеет корней, — это уравнение под номером 4.

3. Для озеленения улицы длиной 3 км на одной из её сторон посадили деревья на расстоянии 20 м друг от друга. Сколько деревьев было посажено? Чему равно расстояние между первым и пятым деревьями?

Сколько деревьев было посажено?

1. Для начала переведем длину улицы в метры, чтобы все единицы измерения были одинаковыми. В одном километре 1000 метров, поэтому:
$3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$.

2. Теперь найдем, сколько промежутков по 20 метров помещается на всей длине улицы. Для этого разделим общую длину на расстояние между деревьями:
$3000 \text{ м} \div 20 \text{ м} = 150$ (промежутков).

3. Важно помнить, что количество деревьев на одно больше, чем количество промежутков между ними, так как первое дерево стоит в самом начале отрезка. Следовательно, к количеству промежутков нужно прибавить единицу:
$150 + 1 = 151$ (дерево).

Ответ: было посажено 151 дерево.

Чему равно расстояние между первым и пятым деревьями?

1. Чтобы найти расстояние между первым и пятым деревьями, нужно определить количество промежутков между ними. Между первым и пятым деревом находится $5 - 1 = 4$ промежутка.

2. Длина каждого такого промежутка составляет 20 метров. Умножим количество промежутков на их длину, чтобы найти общее расстояние:
$4 \times 20 \text{ м} = 80 \text{ м}$.

Ответ: расстояние между первым и пятым деревьями равно 80 м.

705. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 12 и 18;

2) 24 и 30;

3) 6 и 36;

4) 48 и 64;

5) 35 и 18;

6) 14, 21 и 28.

1) 12 и 18;

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) разложим числа 12 и 18 на простые множители.

Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.

Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

Общими множителями в разложениях являются 2 и 3. Для нахождения НОД необходимо перемножить общие множители, взяв каждый с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения. Наименьшая степень для 2 - это 1, для 3 - это 1.

НОД(12, 18) = $2^1 \cdot 3^1 = 6$.

Ответ: 6

2) 24 и 30;

Разложим числа 24 и 30 на простые множители.

Разложение числа 24: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Разложение числа 30: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Общими множителями являются 2 и 3. Наименьшие показатели степени для них - 1.

НОД(24, 30) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

3) 6 и 36;

Разложим числа 6 и 36 на простые множители. Можно также заметить, что 36 делится на 6 без остатка ($36 = 6 \cdot 6$). В таком случае, если одно число делится на другое, то их НОД равен меньшему из этих чисел.

Проверим разложением на множители:

Разложение числа 6: $6 = 2 \cdot 3$.

Разложение числа 36: $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$.

Общие множители - 2 и 3. Наименьшие степени - 1 и 1.

НОД(6, 36) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

4) 48 и 64;

Разложим числа 48 и 64 на простые множители.

Разложение числа 48: $48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.

Разложение числа 64: $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Единственный общий простой множитель - это 2. Наименьшая степень, в которой он входит в оба разложения, - это 4.

НОД(48, 64) = $2^4 = 16$.

Ответ: 16

5) 35 и 18;

Разложим числа 35 и 18 на простые множители.

Разложение числа 35: $35 = 5 \cdot 7$.

Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

У этих чисел нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(35, 18) = 1.

Ответ: 1

6) 14, 21 и 28.

Разложим на простые множители все три числа.

Разложение числа 14: $14 = 2 \cdot 7$.

Разложение числа 21: $21 = 3 \cdot 7$.

Разложение числа 28: $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.

Единственный общий простой множитель для всех трех чисел - это 7. Он входит в каждое разложение в первой степени.

НОД(14, 21, 28) = 7.

Ответ: 7

706. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) $16$ и $24$;

2) $15$ и $60$;

3) $10$ и $15$;

4) $45$ и $56$;

5) $21$ и $49$;

6) $12$, $18$ и $24$.

1) 16 и 24
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, разложим их на простые множители.
Разложение числа 16: $16 = 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$.
Разложение числа 24: $24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$.
Теперь найдем общие простые множители в этих разложениях и возьмем каждый из них в наименьшей степени, в которой он встречается.
Общий множитель — 2. Наименьшая степень для 2 — это 3 (из разложения $2^3 \times 3$).
Следовательно, НОД(16, 24) = $2^3 = 8$.
Ответ: 8

2) 15 и 60
Заметим, что число 60 делится на 15 без остатка: $60 \div 15 = 4$. Если одно из чисел делится на другое, то меньшее из этих чисел и является их наибольшим общим делителем.
Таким образом, НОД(15, 60) = 15.
Этот же результат можно получить, разложив числа на простые множители:
$15 = 3 \times 5$
$60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5$
Общие множители: 3 и 5. В обоих разложениях они стоят в первой степени.
НОД(15, 60) = $3 \times 5 = 15$.
Ответ: 15

3) 10 и 15
Разложим числа на простые множители:
$10 = 2 \times 5$
$15 = 3 \times 5$
Единственный общий простой множитель — это 5.
Следовательно, НОД(10, 15) = 5.
Ответ: 5

4) 45 и 56
Разложим числа на простые множители:
$45 = 5 \times 9 = 5 \times 3^2$
$56 = 7 \times 8 = 7 \times 2^3$
В разложениях этих чисел нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1.
НОД(45, 56) = 1.
Ответ: 1

5) 21 и 49
Разложим числа на простые множители:
$21 = 3 \times 7$
$49 = 7 \times 7 = 7^2$
Общий простой множитель — 7. Наименьшая степень, в которой он встречается, — первая (в разложении числа 21).
НОД(21, 49) = 7.
Ответ: 7

6) 12, 18 и 24
Разложим все три числа на простые множители:
$12 = 2 \times 6 = 2^2 \times 3$
$18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$
$24 = 3 \times 8 = 3 \times 2^3$
Найдем общие простые множители для всех трех чисел и выберем для каждого наименьшую степень.
Общий множитель 2. Наименьшая степень: $2^1$ (в разложении числа 18).
Общий множитель 3. Наименьшая степень: $3^1$ (в разложениях чисел 12 и 24).
Перемножим эти множители: НОД(12, 18, 24) = $2^1 \times 3^1 = 6$.
Ответ: 6